【数学】陕西省渭南市校联协作体2025-2026学年高二上学期期末学业水平质量评估试题试题（学生版+解析版）

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一、单项选择题（本题共小题，每小题4分，共28分.每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 已知直线，，则“”是"”的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2. 若直线：与：交于，两点，则的最小值为（ ）
A. 3B. 6C. D.
3. 已知圆与圆有且只有2条公切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，交另一条渐近线于点，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
6. 已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. C. 15D. 60
7. 从分别标有数字，，，，的5张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，分别为线段与线段上的点，则线段长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，在直三棱柱中，，，点满足，其中，则（ ）
A. 当时，最小值为
B. 当时，三棱锥体积为定值
C. 当时，存在两个点使得平面与平面的夹角为
D. 当时，有且仅有一个点，使得
10. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 以为直径圆与准线相切
B. 若点，则的最小值为5
C. 若直线倾斜角为，则
D. 点为线段中点，则点的坐标可以是
11. 甲、乙两人开展乒乓球对抗赛，约定对抗赛最多进行3场，先累计获胜两场者赢得本次对抗赛．每场比赛仅分胜负，无平局，甲每场获胜的概率为，乙每场获胜的概率为，且各场比赛结果相互独立．下列说法正确的是（ ）
A. 本次对抗赛恰好进行2场就结束的概率为
B. 甲最终赢得本次对抗赛的概率为
C. 若事件为“对抗赛恰好进行2场结束”，事件为“甲赢得对抗赛”，则事件与事件是相互独立事件
D. 本次对抗赛恰好进行3场结束且甲赢得本次对抗赛的概率为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________．
13. 已知抛物线的焦点为，则点到准线的距离为______，过点作倾斜角为锐角的直线，直线与抛物线交于不同的两点，，过点作直线的垂线交准线于点，若，则直线的倾斜角为______.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________．
四、解答题：（本题共5小题，共77分：15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤）
15. 已知圆，直线．
（1）求证：不论为何值时直线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）（i）求证：直线与圆相交；
（ii）求出截得弦长最短时直线的方程．
16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，点分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知椭圆：（）过点，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，．直线，分别与轴交于点，．判断和的大小关系，并说明理由．
18. 甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响．
（1）记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求；
（2）记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望．
19. 国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为，且每轮比赛的结果相互独立．
（1）若比赛结束时恰好进行了3轮比赛，求甲班团队获得冠军的概率；
（2）（i）若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数的分布列及数学期望；
（ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率．