湖北黄冈市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题+答案

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题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１
答案 C C Ｄ Ｃ A B C D BD ACD BCD
二、填空题
12. 8 13. 14.
部分小题解析：
8.【解析】设点 ， ，则 表示直线 上
的动点 到直线 和点 的距离之和，易知点 关于直线 的对称点 ，所
以 ，选择 D.
11.【解析】对于 A，由图易知 ，A 错误；对于 B，取 的中点 ，
连结 ，则过 B，E，D１的截面为 ，由于长方体的中心在截面 上，由长
方 体 对 称 性 知 截 面 两 侧 的 体 积 相 等 ， B 正 确 ； 对 于 C， 设 线 段 的 中 点 为 ， 则
，C 正确；对于 D，当 时，
点 Q 的轨迹是以 A 为球心的球面与长方体表面的交线，分别研究各个面可得 4 段圆弧，
面 和面 上均为半径为 1，圆心角为 的圆弧，面 和面 上均为半
径为 ，圆心角为 的圆弧，所以点 Q 的轨迹长度为 ，D 正确，
所以选择 BCD.
14.【解析】结合空间直角坐标系易知点集 中的点数为 个．从 中任取一点
满足 说明 构成等差数列，设公差为 ．当 时，符合条件
的点（如（１，１，１））共有８个；当 时，符合条件的点（如（１，２，３））共
个；当 时，符合条件的点（如（１，３，５））共 个；当 时，符
合条件的点（如（１，４，７））共 个；当 时，无符合条件的点；所以从 中任
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取一点 满足 的点共有 个。所以根据古典概型定义知所
求事件的概率 ．
三、解答题
15.【解析】（１）因为 ，所以 ………………………3 分
所以 外接圆圆心 D 是 AB 的中点．
所以 ，半径 ． ……………………………………………5 分
所以圆 D 的标准方程为 ． ……………………………………………6 分
（2）设圆心 D 到直线 的距离为 ，则 ， …………………………………7 分
由题意知， ，当且仅当 时等号成立. ………………………………9 分
所以 的最大值为 . ………………………………………………………………10 分
因为 ，所以 …………………………………………………………………12 分
所以直线 的方程为 . ……………………………………………………………13 分
16.【解析】（1）记“甲答对第 道题”为事件 ，P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,P(A4)=0.2,
“甲答完第 3 题就入围”为事件 A，
则
所以甲答完第 3 题就入围的概率为 0.46. ……………………………………………7 分
（2）记“甲没入围”为事件 B，
…………………………………………………………15 分
17.【解析】（1）因为 ， ，所以
所以 ……4 分
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所以当 时， ； …………………………………………………………5 分
又因为 也符合 ， …………………………………………………………6 分
故数列 的通项公式 …………………………………………………………7 分
（2）因为 …………………………………………………………8 分
于是，
…………………………………10 分
相减得，
………………………………………13 分
所以 . ………………………………………………………………………15 分
18.【解析】（1）因为 ， ， ，所以 ，
又 ，平面 PAD∩平面 PBC=l，所以 ，
又因为 ，所以 l//平面 ABCD. …………………………5 分
（ 2） 因 为 平 面 ABCD⊥平 面 PAD， ， 平 面 ABCD 平 面 PAD= ，
所以 ………………………………………………………………………7 分
分别取 中点 ， ，所以 ，则
所以
所以当点 P 在半圆上运动时，
所以点 E 为三棱锥 P-BCD 外接球球心，半径 ……………………………………9 分
所以三棱锥 P-BCD 外接球的表面积 . ……………………………………10 分
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（3）由（2）可建立 O 为圆心 OA 为 x 轴 OE 为 y 轴的空间直角坐标系，如图所示,设
，
则 ， ， ， ，
， ， ， …………………11 分
取平面 的法向量
设平面 的法向量 ，
由 ，取 …………………13 分
所以
令 ，代入上式得 ，
所以 ，即 ， ，所以 ………………15 分
所以 ，
所以
即直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值为 . ……………………………………17 分
19.【解析】（1）设点 ，则 ，
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整理得， ………………………………………………………………………3 分
又因为 ，所以点 的轨迹 的方程为 …………………………4 分
（2）由题意可设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得， , 恒成立，
所以 …………………………………………5 分
因为 ，所以 ……………………………………7 分
代入①②两式得，
消去 得 ，
结合 知 ，所以 ………………………………………………9 分
所以直线 的方程为 . ……………………………………………10 分
（3）直线 的方程为 …………………………………………11 分
直线 的方程为 …………………………………………12 分
当 时，两式相除得，
所以 ……………………………………14 分
由①②式可得 ， ……………………………………15 分
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所以 ，
所以 .
所以点 在定直线 上. ………………………………………………………17 分
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