湖北省黄冈市2022-2023学年高二上学期期中数学试题

2022年秋季高二年级阶段性质量抽测

数学

本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知空间向量，，且与垂直，则x等于（    ）

A.4 B.1 C.3 D.2

2.点到直线的最大距离为（    ）

A.0 B.1 C. D.

3.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期.将青铜器中饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（    ）

A. B. C. D.

4.甲、乙两人一起去游天堂寨风景区，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选3个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是（    ）

A. B. C. D.

5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

6.过直线上的点P作圆的两条切线，，当直线，关于直线对称时，两切点间的距离为（    ）

A.1 B.2 C. D.

7.已知正方形的边长为4，平面，，E是中点，F是靠近A的四等分点，则点B到平面的距离为（    ）

A. B. C. D.

8.平面平面，，，，，平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（    ）

A.至少有1个红球与都是红球 B.恰有1个红球与恰有2个红球

C.至少有1个红球与至少有1个白球 D.至多有1个红球与恰有2个红球

10.若构成空间的一个基底，则下列向量可以作为空间的另一个基底的是（    ）

A.  B.

C.  D.

11.已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（    ）

A.0 B. C. D.

12.已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（    ）

A.四边形的面积最小值为

B.M为圆C上一动点，则最小值为

C.最短时，弦直线方程为

D.最短时，弦长为

三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为______.

14.由曲线围成的图形的面积为______.

15.数学考试的多项选择题，学生作答时可以从A、B、C、D四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个.得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是，若某同学不会做该题目，随机选择一个、两个或三个选项，则该同学能得分的概率是______.

16.在棱长为6的正方体中，，点P在正方体的表面上移动，且满足，当P在上时，______；满足条件的所有点P构成的平面图形的周长为______.

四、解答题（共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知空间三点，，，设，，

（1）求与的夹角的余弦值；

（2）若向量与互相垂直，求k的值.

18.（12分）已知在中，点，的角平分线为，边上的中线所在直线的为，求边所在直线l的一般式方程.

19.（12分）已知圆，直线.

（1）求证：直线l与圆C恒有两个交点；

（2）若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.

20.（12分）9月23日，2022年中国农民丰收节湖北主会场启动仪式在麻城市成功举行，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，麻城市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数；

（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.

（ⅰ）现计划从第四组和第五组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长.求选出的两人来自同个一组的概率.

（ⅱ）若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在所有人的方差.

21.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点M在椭圆上，且满足轴，.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交椭圆于A，B两点，以线段为直径的圆过，求k的值.

22.（12分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，平面平面，，，

（1）求证：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值；

（3）在线段上确定点D，使得，并求三棱锥的体积.

黄冈市2022年秋高二阶段性质量抽测

数学试题答案

一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）

二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分）

三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13. 14. 15.

16.（2分），（3分）

四、解答题（共6题，共70分）

17.解：（1），

.

.

与的夹角的余弦值为.

（2），

，

.

即，或.

18.解：设，在角平分线上①

、C中点在中线上，②

联立①②解得，，

设B点关于角平分线的对称点为

，③

B、N中点在上④

联立③④解得，

l即为，化简有

19.解：（1）直线

可变形为

，解得

故直线经过的定点为.

将点代入圆的方程有

点在圆C的内部，直线1与圆C恒有两交点.

（2）由（1）知，

，当时面积最大.

此时为等腰直角三角形，面积最大值为.

此时点C到直线l的距离，

可以取到.

.

，或.

故所求直线l的方程为或.

20.解：（1）由题意可知：，，

解得，；

平均数等于.

第80百分位数为77.54分

（2）（ⅰ）根据分层抽样，和的频率比为，

故在和中分别选取4人和1人，分别设为，，，.和，则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有，，，，，，，，，，共10个，即，记事件“两人来自不同组”，

则事件A包含的样本点有，，，共4个，即，

（ⅱ）设第二组、第三组的平均数与方差分别为，，，.

成绩在的平均数.

成绩在的方差

.

故估计成绩在的方差是145.

21.解：（1）由离心率为，得，即，又，可得，

即椭圆方程为

点M在椭圆上，且轴，故把代入椭圆方程，

可得点M的坐标为，

由，

，从而，

所以椭圆的方程为

（2）由（1）知，，设，，

，，

依题意有

又联立直线与椭圆得

，又得.

，即.

解得，满足

故或.

22.解：（1）证明：因为四边形为正方形，.

平面平面，且垂直于这两个平面的交线，

平面.

又平面.

（2）由（1）知，.

由题意知，，，所以.

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，.

，，.

设平面的法向量为，

则即

取，则，，

平面的一个法向量为.

设平面的一个法向量为，

则即

取，则，，

平面的一个法向量为.

.

平面与平面夹角的余弦值为.

（3）假设是线段上一点，且，

.

解得，，，

.

由，得，解得，此时

此时