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浙江省宁波市九校2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题（含答案详解）
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这是一份浙江省宁波市九校2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题（含答案详解），共26页。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角；
【详解】解：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，设倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：A
2. 设一组样本数据 SKIPIF 1 < 0 的均值为2，方差为 SKIPIF 1 < 0 ，则数据 SKIPIF 1 < 0 的均值和方差分别为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合平均数与方差的计算公式，即可求解.
【详解】根据题意，易知新数据的平均数为 SKIPIF 1 < 0 ；
方差为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3. 设 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.
【详解】向量 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，选项C正确.
故选：C．
4. 对空间中任意一点 SKIPIF 1 < 0 和不共线的三点 SKIPIF 1 < 0 ，能得到 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】用向量来判定点 SKIPIF 1 < 0 在平面内 SKIPIF 1 < 0 ，只需要满足： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
【详解】因为A、B、C三点不共线，则 SKIPIF 1 < 0 不共线，
若 SKIPIF 1 < 0 四点共面，则存在唯一的一组实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，变形得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不在平面 SKIPIF 1 < 0 内，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不在平面 SKIPIF 1 < 0 内，故选项C错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不在平面 SKIPIF 1 < 0 内，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
故选： SKIPIF 1 < 0
5. 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 内一点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 恰好被 SKIPIF 1 < 0 平分，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合 SKIPIF 1 < 0 的关系，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得答案.
【详解】解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 0C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，对原式进行求导，然后令 SKIPIF 1 < 0 ，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故选:A
7. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 具有相同的焦点，离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点､顶点､中心平分为若干条等长线段，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意确定椭圆顶点坐标、双曲线顶点坐标、焦点用 SKIPIF 1 < 0 表示，进而可求解.
【详解】不妨设焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
根据题意，若双曲线的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有椭圆的左右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线左右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故D错误，
故选:B.
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，其中 SKIPIF 1 < 0 为常数且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】首先求得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，可知 SKIPIF 1 < 0 单调递增，分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下，说明存在 SKIPIF 1 < 0 的区间，可知 SKIPIF 1 < 0 不合题意；当 SKIPIF 1 < 0 时，根据 SKIPIF 1 < 0 单调性可求得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可整理得到结果.
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 ，从而分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性，进而由单调性确定最小值.
二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）其中点 SKIPIF 1 < 0 是不重合两个定点），则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 若圆 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
D. 设动点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 代入关系式 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为一个圆，可判断AB；利用圆心 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可判断C；利用 SKIPIF 1 < 0 ，转化为圆心 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离加上圆 SKIPIF 1 < 0 的半径后，再平方再减去25可判断D.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确 SKIPIF 1 < 0
过圆心 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线与圆相交，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 之间的圆弧上有两个点到直线直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，在直线 SKIPIF 1 < 0 的另一侧的圆上还有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，共有4个点，故C错误；
设动点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即求圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的平方减去25的最大值，转化为圆心 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离加上圆 SKIPIF 1 < 0 的半径后，再平方再减去25即可，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. 平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0
D. 平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的正切值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，得到各点的坐标，结合空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选:BC
11. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 是过焦点且与 SKIPIF 1 < 0 垂直的弦，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，将抛物线方程写出标准形式，求出准线方程，A错误；
B选项，设出直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立后，根据韦达定理求出两根之积；
C选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合两根之积，求出 SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况，结合两根之和求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求出直线的斜率；
D选项，利用焦点弦长公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而结合斜率关系求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
设过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与抛物线 SKIPIF 1 < 0 联立得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
由焦点弦长公式可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是过焦点且与 SKIPIF 1 < 0 垂直的弦，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，若整数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 大小关系可能为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 两边同时取对数，令 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 求导得出单调性，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的单调性，即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 两边同时取对数，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
由复合函数“同增异减”的原则，可知，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则可能 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则可能 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但因为 SKIPIF 1 < 0 为整数，
而在区间 SKIPIF 1 < 0 不存在正整数，所以 SKIPIF 1 < 0 不成立.
故选：BCD.
第II卷
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲乙丙三人进行射击练习，已知甲乙丙击中目标的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则三人中至少有两人击中目标的概率为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意，分别求得三人均未击中目标与只有一人击中目标的概率，然后用 SKIPIF 1 < 0 减去其概率之和，即可得到结果.
【详解】根据题意，三人均未击中目标的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；
只有一人击中目标的概率为 SKIPIF 1 < 0
所以三人中至少有两人击中目标的概率为 SKIPIF 1 < 0
故答案为: SKIPIF 1 < 0
14. 过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据联立后弦长公式和换元法以及二次函数得最值即可求解.
【详解】①当直线斜率存在时，
设直线方程为： SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，
则原式 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则原式 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时取得最大值，
此时， SKIPIF 1 < 0 .
②当直线斜率不存在时，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故填： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面为边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，则平面 SKIPIF 1 < 0 上任意一点到底面 SKIPIF 1 < 0 中心距离的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由面到点的距离的最小值转化为点到面的距离的最小值，建立合适的空间直角坐标系，由点到面的距离即可求得平面 SKIPIF 1 < 0 上任意一点到底面 SKIPIF 1 < 0 中心距离的最小值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面为边长为2的正方形，连接 SKIPIF 1 < 0 且相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 中心， SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 的交线， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 点为原点，以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
代入距离公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】法一：利用同构得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用导函数求出其最小值，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
法二：先代入 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再构造函数，证明其必要性即可.
【详解】法一： SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方后变形得到 SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，也是最小值，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
法二： SKIPIF 1 < 0 中令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，只要证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 显然成立，
以下是证明过程：构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
只要证 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故只要 SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上：可得 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 2022年10月16日至10月22日中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开，会后各地掀起了学习贯彻二十大精神的热潮.某中学在进行二十大精神学习讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，其中成绩分组区间是：第一组 SKIPIF 1 < 0 ，第二组 SKIPIF 1 < 0 ，第三组 SKIPIF 1 < 0 ，第四组 SKIPIF 1 < 0 ，第五组 SKIPIF 1 < 0 ，并整理得到如下频率分布直方图，已知图中前三个组的频率依次构成等差数列.
（1）求这部分学生成绩的中位数､平均数（保留一位小数）；
（2）为了更好的了解学生对二十大精神的掌握情况，学校决定在成绩较高的第四､五组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人作为校二十大精神的宣传员，求85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率.
【答案】（1）中位数为 SKIPIF 1 < 0 ，平均数为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合平均数，中位数的定义，代入计算，即可得到结果.
（2）根据题意，结合古典概型的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
设中位数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故中位数为 SKIPIF 1 < 0
平均数为
SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
由分层抽样得最终5名学生中第四组有4人､第五组有1人
故85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率为 SKIPIF 1 < 0
18. ①圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切；②圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.
已知圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且__________.
（1）求圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，求弦 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）若选①，设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，求出圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离可得圆的半径，再由 SKIPIF 1 < 0 可求出圆心坐标，从而可求出圆的方程；若选②，设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，求出圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离，再由弦长，弦心距和半径的关系列方程可求出圆心和半径，从而可求得圆的方程；
（2）先利用对称的关系求出圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，再由 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，从而可求出其轨迹方程.
【小问1详解】
选①设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0
所以圆C： SKIPIF 1 < 0
选②设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，圆C： SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
设圆心（3，2）关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以圆 SKIPIF 1 < 0 ，
因为过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点，等价于 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解，利用判别式大于零求解即可；
（2） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，转化为求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，利用导数即可得答案.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上都递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0
20. 已知直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 边中点，将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别沿着 SKIPIF 1 < 0 翻折，形成三棱锥 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）先证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据线面垂直的判定可证结论成立；
（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，根据线面角的正弦值的向量公式可求出结果.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，如图：
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
21. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恰好经过右顶点.
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的一点，连接 SKIPIF 1 < 0 分别与双曲线相交于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的虚轴端点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求出双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）[法一]记 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的方程联立，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，代入化简得 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
[法二]设点 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，同理表示出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，即可求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【小问1详解】
因为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恰好经过右顶点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
[法一]记 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，代入化简得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 不过 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
[法二]设点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
同理由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
则直线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点个数的讨论；求得 SKIPIF 1 < 0 后，根据 SKIPIF 1 < 0 的正负可确定 SKIPIF 1 < 0 的单调性和最值，由此可得 SKIPIF 1 < 0 的图象；分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下，根据交点个数确定 SKIPIF 1 < 0 零点个数；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，求导后可证得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，从而确定 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 单调性可证得 SKIPIF 1 < 0 ，从而将所证不等式转化为 SKIPIF 1 < 0 ；
不等式右侧部分恰为方程 SKIPIF 1 < 0 的两根 SKIPIF 1 < 0 之差的绝对值，即 SKIPIF 1 < 0 的形式，则可结合 SKIPIF 1 < 0 的变形形式，构造 SKIPIF 1 < 0 ，求导后，结合零点存在定理可求得 SKIPIF 1 < 0 的单调性，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，其两根为 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，结合韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得结论.
【小问1详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 零点个数即为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点个数；
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
由此可得 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个不同交点；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有唯一交点；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 无交点；
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有唯一零点；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点.
【小问2详解】
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关系可知： SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
则只需证 SKIPIF 1 < 0 即可，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则两根为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数零点个数、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够利用极值点偏移求解方法确定 SKIPIF 1 < 0 ，从而将所证不等式进行放缩，进一步通过构造函数的方式证得不等式.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角；
【详解】解：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，设倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：A
2. 设一组样本数据 SKIPIF 1 < 0 的均值为2，方差为 SKIPIF 1 < 0 ，则数据 SKIPIF 1 < 0 的均值和方差分别为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合平均数与方差的计算公式，即可求解.
【详解】根据题意，易知新数据的平均数为 SKIPIF 1 < 0 ；
方差为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3. 设 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.
【详解】向量 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，选项C正确.
故选：C．
4. 对空间中任意一点 SKIPIF 1 < 0 和不共线的三点 SKIPIF 1 < 0 ，能得到 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】用向量来判定点 SKIPIF 1 < 0 在平面内 SKIPIF 1 < 0 ，只需要满足： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
【详解】因为A、B、C三点不共线，则 SKIPIF 1 < 0 不共线，
若 SKIPIF 1 < 0 四点共面，则存在唯一的一组实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，变形得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不在平面 SKIPIF 1 < 0 内，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不在平面 SKIPIF 1 < 0 内，故选项C错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不在平面 SKIPIF 1 < 0 内，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
故选： SKIPIF 1 < 0
5. 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 内一点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 恰好被 SKIPIF 1 < 0 平分，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合 SKIPIF 1 < 0 的关系，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得答案.
【详解】解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 0C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，对原式进行求导，然后令 SKIPIF 1 < 0 ，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故选:A
7. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 具有相同的焦点，离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点､顶点､中心平分为若干条等长线段，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意确定椭圆顶点坐标、双曲线顶点坐标、焦点用 SKIPIF 1 < 0 表示，进而可求解.
【详解】不妨设焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
根据题意，若双曲线的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有椭圆的左右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线左右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故D错误，
故选:B.
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，其中 SKIPIF 1 < 0 为常数且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】首先求得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，可知 SKIPIF 1 < 0 单调递增，分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下，说明存在 SKIPIF 1 < 0 的区间，可知 SKIPIF 1 < 0 不合题意；当 SKIPIF 1 < 0 时，根据 SKIPIF 1 < 0 单调性可求得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可整理得到结果.
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 ，从而分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性，进而由单调性确定最小值.
二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）其中点 SKIPIF 1 < 0 是不重合两个定点），则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 若圆 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
D. 设动点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 代入关系式 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为一个圆，可判断AB；利用圆心 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可判断C；利用 SKIPIF 1 < 0 ，转化为圆心 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离加上圆 SKIPIF 1 < 0 的半径后，再平方再减去25可判断D.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确 SKIPIF 1 < 0
过圆心 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线与圆相交，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 之间的圆弧上有两个点到直线直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，在直线 SKIPIF 1 < 0 的另一侧的圆上还有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，共有4个点，故C错误；
设动点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即求圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的平方减去25的最大值，转化为圆心 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离加上圆 SKIPIF 1 < 0 的半径后，再平方再减去25即可，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. 平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0
D. 平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的正切值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，得到各点的坐标，结合空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选:BC
11. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 是过焦点且与 SKIPIF 1 < 0 垂直的弦，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，将抛物线方程写出标准形式，求出准线方程，A错误；
B选项，设出直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立后，根据韦达定理求出两根之积；
C选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合两根之积，求出 SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况，结合两根之和求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求出直线的斜率；
D选项，利用焦点弦长公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而结合斜率关系求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
设过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与抛物线 SKIPIF 1 < 0 联立得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
由焦点弦长公式可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是过焦点且与 SKIPIF 1 < 0 垂直的弦，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，若整数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 大小关系可能为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 两边同时取对数，令 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 求导得出单调性，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的单调性，即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 两边同时取对数，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
由复合函数“同增异减”的原则，可知，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则可能 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则可能 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但因为 SKIPIF 1 < 0 为整数，
而在区间 SKIPIF 1 < 0 不存在正整数，所以 SKIPIF 1 < 0 不成立.
故选：BCD.
第II卷
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲乙丙三人进行射击练习，已知甲乙丙击中目标的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则三人中至少有两人击中目标的概率为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意，分别求得三人均未击中目标与只有一人击中目标的概率，然后用 SKIPIF 1 < 0 减去其概率之和，即可得到结果.
【详解】根据题意，三人均未击中目标的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；
只有一人击中目标的概率为 SKIPIF 1 < 0
所以三人中至少有两人击中目标的概率为 SKIPIF 1 < 0
故答案为: SKIPIF 1 < 0
14. 过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据联立后弦长公式和换元法以及二次函数得最值即可求解.
【详解】①当直线斜率存在时，
设直线方程为： SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，
则原式 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则原式 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时取得最大值，
此时， SKIPIF 1 < 0 .
②当直线斜率不存在时，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故填： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面为边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，则平面 SKIPIF 1 < 0 上任意一点到底面 SKIPIF 1 < 0 中心距离的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由面到点的距离的最小值转化为点到面的距离的最小值，建立合适的空间直角坐标系，由点到面的距离即可求得平面 SKIPIF 1 < 0 上任意一点到底面 SKIPIF 1 < 0 中心距离的最小值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面为边长为2的正方形，连接 SKIPIF 1 < 0 且相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 中心， SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 的交线， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 点为原点，以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
代入距离公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】法一：利用同构得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用导函数求出其最小值，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
法二：先代入 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再构造函数，证明其必要性即可.
【详解】法一： SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方后变形得到 SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，也是最小值，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
法二： SKIPIF 1 < 0 中令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，只要证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 显然成立，
以下是证明过程：构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
只要证 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故只要 SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上：可得 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 2022年10月16日至10月22日中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开，会后各地掀起了学习贯彻二十大精神的热潮.某中学在进行二十大精神学习讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，其中成绩分组区间是：第一组 SKIPIF 1 < 0 ，第二组 SKIPIF 1 < 0 ，第三组 SKIPIF 1 < 0 ，第四组 SKIPIF 1 < 0 ，第五组 SKIPIF 1 < 0 ，并整理得到如下频率分布直方图，已知图中前三个组的频率依次构成等差数列.
（1）求这部分学生成绩的中位数､平均数（保留一位小数）；
（2）为了更好的了解学生对二十大精神的掌握情况，学校决定在成绩较高的第四､五组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人作为校二十大精神的宣传员，求85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率.
【答案】（1）中位数为 SKIPIF 1 < 0 ，平均数为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合平均数，中位数的定义，代入计算，即可得到结果.
（2）根据题意，结合古典概型的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
设中位数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故中位数为 SKIPIF 1 < 0
平均数为
SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
由分层抽样得最终5名学生中第四组有4人､第五组有1人
故85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率为 SKIPIF 1 < 0
18. ①圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切；②圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.
已知圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且__________.
（1）求圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，求弦 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）若选①，设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，求出圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离可得圆的半径，再由 SKIPIF 1 < 0 可求出圆心坐标，从而可求出圆的方程；若选②，设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，求出圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离，再由弦长，弦心距和半径的关系列方程可求出圆心和半径，从而可求得圆的方程；
（2）先利用对称的关系求出圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，再由 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，从而可求出其轨迹方程.
【小问1详解】
选①设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0
所以圆C： SKIPIF 1 < 0
选②设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，圆C： SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
设圆心（3，2）关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以圆 SKIPIF 1 < 0 ，
因为过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点，等价于 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解，利用判别式大于零求解即可；
（2） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，转化为求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，利用导数即可得答案.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上都递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0
20. 已知直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 边中点，将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别沿着 SKIPIF 1 < 0 翻折，形成三棱锥 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）先证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据线面垂直的判定可证结论成立；
（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，根据线面角的正弦值的向量公式可求出结果.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，如图：
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
21. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恰好经过右顶点.
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的一点，连接 SKIPIF 1 < 0 分别与双曲线相交于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的虚轴端点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求出双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）[法一]记 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的方程联立，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，代入化简得 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
[法二]设点 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，同理表示出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，即可求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【小问1详解】
因为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恰好经过右顶点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
[法一]记 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，代入化简得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 不过 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
[法二]设点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
同理由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
则直线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点个数的讨论；求得 SKIPIF 1 < 0 后，根据 SKIPIF 1 < 0 的正负可确定 SKIPIF 1 < 0 的单调性和最值，由此可得 SKIPIF 1 < 0 的图象；分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下，根据交点个数确定 SKIPIF 1 < 0 零点个数；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，求导后可证得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，从而确定 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 单调性可证得 SKIPIF 1 < 0 ，从而将所证不等式转化为 SKIPIF 1 < 0 ；
不等式右侧部分恰为方程 SKIPIF 1 < 0 的两根 SKIPIF 1 < 0 之差的绝对值，即 SKIPIF 1 < 0 的形式，则可结合 SKIPIF 1 < 0 的变形形式，构造 SKIPIF 1 < 0 ，求导后，结合零点存在定理可求得 SKIPIF 1 < 0 的单调性，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，其两根为 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，结合韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得结论.
【小问1详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 零点个数即为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点个数；
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
由此可得 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个不同交点；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有唯一交点；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 无交点；
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有唯一零点；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点.
【小问2详解】
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关系可知： SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
则只需证 SKIPIF 1 < 0 即可，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则两根为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数零点个数、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够利用极值点偏移求解方法确定 SKIPIF 1 < 0 ，从而将所证不等式进行放缩，进一步通过构造函数的方式证得不等式.
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