2025-2026学年湖南省长沙市高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市高二（上）期末数学模拟试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若AC=CD=BD=3，二面角A−l−B的大小为120°，则AB=( )
A. 3
B. 3 2
C. 3 3
D. 6
2.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)且a⊥b，b//c，则|a+b|=( )
A. 2 2B. 3C. 10D. 4
3.过点P(−1,−2)的直线l可表示为m(x+1)+n(y+2)=0，若直线l与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
4.设m∈R，过定点A的动直线x+my+1=0和过定点B的动直线mx−y−m−2=0交于点P，则下列说法正确的是( )
A. 点P的轨迹是一条线段B. |PA|+|PB|的最大值为2
C. |PA||PB|的最大值为4D. 点P到直线AB的距离的最大值为2 2
5.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点.若|AB|=|AF1|，且双曲线E的离心率为 3，则cs∠BAF1=( )
A. 3 78B. −3 78C. −12D. 12
6.已知无穷数列{an}的通项公式为an=(−1)n−14n(2n−1)(2n+1)，其前n项和为Tn，若对于任意n∈N∗，有(Tn−λ)(Tn+1−λ)lnx恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知向量a=(9,9,6),b=(1,1,0)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 ．
12.如图，“爱心”图案是由函数f(x)=−x2+k的图象的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成.若该图案经过点(− 6,0)，点M是该图案上一动点，N是其图象上点M关于直线y=x的对称点，连接MN，则|MN|的最大值为______．
13.已知无穷数列{an}的首项a1>1，对任意正整数m，n，满足am+n=aman，记Gn={x−y|x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]}，若对n∈N∗集合Gn是闭区间，则a1的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题15分)
若数列A：a1，a2，…，an(n≥3)中ai∈N∗(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n−1，ak+1+ak−1>2ak恒成立，则称数列A为“U−数列”．
(1)若数列1，x，y，7为“U−数列”，写出所有可能的x，y；
(2)若“U−数列”A：a1，a2，…，an中，a1=1，an=2081，求n的最大值；
(3)设n0为给定的偶数，对所有可能的“U−数列”A：a1，a2，…，an0，记M=max{a1,a2,⋯,an0}，其中max{x1,x2,⋯,xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数，求M的最小值．
15.(本小题17分)
四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，PA=2，点E，F分别是BC，PD的中点．
(1)若过点A，E，F的平面交PC于点G，求PGGC的值；
(2)在棱PC上取一点H，使得PD⊥平面AHF，求面AFH与面EFH夹角的余弦值．
16.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，A(0,0)，B(3,0)，|PB|=2|PA|
(1)求点P所在的曲线C的方程；
(2)设点Q在直线2x−y−4=0上，若过点Q存在直线l交曲线C于M、N两点，使得M为线段QN的中点，求点Q的横坐标的取值范围．
17.(本小题17分)
已知数列{an}为无穷数列，前n项和为Sn．
(1)若a1=1，Sn=an+1，求{an}的通项公式；
(2)是否存在等差数列{an}，使Sn2xx+7>2y，注意到x，y∈N∗，
故所有可能的x，y为x=1y=2或x=1y=3或x=2y=4；
(2)n的最大值为66，理由如下：
因为ak+1+ak−1>2ak⇔ak+1−ak>ak−ak−1，对任意的1≤i≤n−1，
令bi=ai+1−ai，则bi∈Z且bk>bk−1(2≤k≤n−1)，
故bk≥bk−1+1对任意的2≤k≤n−1恒成立，
当a1=1，an=2081时，注意到b1=a2−a1≥1−1=0，
得bi=(bi−bi−1)+(bi−1−bi−2)+⋯+(b2−b1)+b1≥i−1(2≤i≤n−1)，
此时an−a1=b1+b2+⋯+bn−1≥0+1+2+⋯+n−2=12(n−1)(n−2)，
即12(n−1)(n−2)≤2081−1，解得：−63≤n≤66，故n=66；
另一方面，取bi=i−1(1≤i≤65)，则对任意的2≤k≤66，bk>bk−1，
故数列{an}为“U−数列”，
此时a66=1+0+1+2+⋯+64=2081，即n=66符合题意；
综上，n的最大值为66；
(3)当n0=2m(m≥2,m∈N∗)时，
一方面：由(2)可得：bk+1−bk≥1，
则bm+k−bk=(bm+k−bm+k−1)+(bm+k−1−bm+k−2)+⋯+(bk+1−bk)≥m，
此时有(a1+a2m)−(am+am+1)=(a2m−am)−(am+1−a1)
=(bm+1+bm+2+⋯+b2m−1)−(b1+b2+⋯+bm−1)
=(bm+1−b1)+(bm+2−b2)+⋯+(b2m−1−bm−1)≥m(m−1)，
故M≥a1+a2m2≥am+am+1+m(m−1)2≥m2−m+22=(n02)2−n02+22=n02−2n0+88；
另一方面，当b1=1−m，b2=2−m，⋯，bm−1=−1，bm=0，bm+1=1，⋯，b2m−1=m−1时，
ak+1+ak−1−2ak=(ak+1−ak)−(ak−ak−1)=bk−bk−1=1>0，
取am=1，则am+1=1，a1>a2>a3>⋯>am，am+1