2026年2月江苏省苏州市高三上学期期末数学试题解析版

这是一份2026年2月江苏省苏州市高三上学期期末数学试题解析版，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,.
2. 已知 是定义在 上的奇函数,则 “ ” 是 “ 在 上单调递增” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 为奇函数,
在 上单调递增,
必要; 取 ,则 成立而 在 上不单调递增, 不充分.
3.设平面向量 满足 ,则
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】 ,
.
4.在平面直角坐标系 中,已知两圆相交于两点 ,且圆心都在直线 上，则 的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】两圆公共弦为 ,圆心均在 的垂直平分线上,
为 的垂直平分线,其斜率为 斜率为 -2,
.
5.记 是等比数列 的前 项和, ,则正整数 的值为
A. 18 B. 9 C. 6 D. 2
【答案】B
【解析】设等比数列首项为 ,公比为 ,
.
令 ,得 ,
.
.
6.已知圆柱的轴截面为正方形，侧面积为 ，则圆柱的体积等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆柱底面半径为 ,高为 ,轴截面为正方形 ,
7.在平面直角坐标系 中,边长为 2 的菱形 的顶点均在双曲线 上, 点 在边 上，则双曲线的离心率为
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】设菱形对角线交点为 ,则可设 ,
由 在双曲线上得
相减得 ; 同理由 得 菱形对角线互相垂直,
. 设 所在直线为 ,与双
曲线交于 ,则
其根为 ,又
,
,
.
8.已知点 ,定义 为 的 “镜像距离”. 若点 在曲线 上，则 的最小值为
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
,取 ,
故最小值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.记等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】设公差为 ;
,解得
错; 对;
对;
,取 得 , D 错.
10.设 为虚数单位,已知复数 (其中 ),设 ,则
A. 当 时, B. 对任意 ,都有
C. 存在 ,使得 D. 存在 ,使得
【答案】ABC
【解析】
对;
B, ,且 , B 对;
C, ,
令 ，C 对；
D,若 ,则
,
左边 ，右边 ，矛盾，D 错.
11.如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 ， 分别为 ， 的中点,动点 在棱 上 (不含端点),则下列说法正确的有
A. 是钝角三角形
B. 平面 截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形
C. 当 为 的中点时,平面 与底面 所成角的正切值为
D. 若 在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于 ，设 ， ， ， ,分子 , 为钝角， 是钝角三角形， 正确.
对于 ,经分析当 时,截面为五边形,当 时,截面为六边形, 不可能为平行四边形, B 错.
对于 平面 ,过 作 交其延长线于 ,连接
即为所求面面角,此时 , 正确.
对于 ,取 中点 的外心为 ,设 在上底面的射影为 ,
三棱锥 外接球球心 一定在 上,只需让 即可! , 设 ,外接球半径为 (当 时可取 “ ”), , , D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在 的展开式中,含 项的系数为________.
【答案】19
【解析】 中 项系数 中 项系数 中 项系数 .
13.一个盒中有标号为1,2,3,4,5的 5 张标签,随机地依次选取两张标签,记事件 "两张标签上的数字之和为 6 ". 若标签的选取是不放回的,记 ; 若标签的选取是有放回的,记 ,则 _______.
【答案】
【解析】不放回,总数 ,和为 6 的有 共 4 个, . 有放回,总数 ,和为 6 的有 共 5 个, .
14.过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点, 以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形. 如图, 在平面直角坐标系 中, 已知直线 与抛物线 交于 两点，弦 的衍生三角形是 . 记 为弦 的一阶衍生三角形；弦 的衍生三角形为弦 的二阶衍生三角形; 弦 的衍生三角形为弦 的三阶衍生三角形; , 由此进行下去,记所有的弦 的 阶衍生三角形的面积之和为 ,若对任意 ， ，则正整数 的最大值为________.
【答案】8
【解析】 交点满足 ,设两根 ,则 . 对任意弦端点 ,
中点横坐标 ,准线为 ,垂直于准线的直线为 ,
与抛物线交点 . . 故一阶面积和 .
每次衍生点取横坐标中点,弦的横向长度均二分,故第 阶共有 条弦,每条弦横向长度 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1)证明: 分别为 的中点
又
由 平面 且 平面 ,
平面 平面 平面
(2)如图建系，
设平面 的一个法向量
设直线 与平面 所成角为 .
16.为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下:每位教师投中即结束投篮，最多投
篮三次. 记第 次投篮命中得分为 分 ,若三次均未命中则得分为 0 分. 假设李老师每次投篮的命中率为 ,每次投篮互不影响. 已知李老师投篮的次数 的均值 .
(1)求 的值；
(2)设李老师投篮结束最终的得分为 ，若 ，则认定李老师是投篮高手. 请问是否有理由认定李老师是投篮高手?
【解析】(1) 的所有可能取值为0,1,2,3
(2) 的所有可能取值为0,1,2,3
有理由认定李老师是投篮高手.
17.已知定义在 上的函数 ,
(1)求 的值及 的值域；
(2)在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ,求 的面积.
【解析】
(1)
的值域为
(2) 或
但
而
.
18.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 经过点 ,离心率为 . 动直线 交 于 两点,点 满足 .
(1)求 的标准方程；
(2)记四边形 的面积为 .
①若点 恰好在 上，求 的值；
②若 ，问:在 轴上是否存在两个定点 ， ，使得直线 ， 与 轴分别交于 两点,且 为定值? 若存在,求出 的坐标;若不存在, 请说明理由.
【解析】(1)由题意知 ，
椭圆 的标准方程为: .
(2)① 设
即 ,
在 上,
此时
②
且 ,两式相乘
在椭圆 上运动
存在定点 符合.
此时直线 方程为:
直线 方程为:
此时 为定值
.
19.已知函数 ( 且 ).
(1)设 的导函数为 .
①若 与 有相同的零点，求 的值；
②若对任意 ，都有 ，求 的取值范围；
(2)若存在唯一的实数 ，使得 ，求 的取值范围.
【解析】 (1) 零点为 零点为 ,
②由 ,若 ,
当 时, ,矛盾,舍去
①或 ②恒成立
由 舍，由
(2)由
① 若 ，则 ， 或
或 与 与
在 上共有一个交点
在 上单调递增,
在 上单调递减; 上单调递增
当且仅当 或 1 时,取 “ ”
② 当 ,则 , 或
或 与 与
在 上共有一个交点,
在 上单调递增,
在 上单调递减,且 ,
此时 均与图象有一个交点,符合, 也符合
综上: 或 .