江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题与解析

这是一份江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题与解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 倾斜角为 135∘ ，在 y 轴上的截距为 -1 的直线方程是( )
A. x−y−1=0 B. x+y+1=0
C. x+y−1=0 D. x−y+1=0
2. 圆心为 2,1 且过点 −1,5 的圆的标准方程为( )
A. x−22+y−12=49 B. x+12+y+22=49
C. x−22+y−12=25 D. x+22+y+12=25
3. 二项式 1x2−2x6 的展开式中第四项的系数是( )
A. 15 B. 20 C. -160 D. 240
4. 设 F1,F2 为椭圆 C:x29+y24=1 的两个焦点，点 P 在 C 上，若 PF1⋅PF2=0 ，则 PF1⋅PF2= ( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
5. 如图，三棱锥 O−ABC 中， OA=a,OB=b,OC=c ，且 OM=35OA,CN=12CB ，则 MN= ( )

A. 15a+13b+13c B. −15a+13b+13c
C. 35a+12b+12c D. −35a+12b+12c
6. 从 5 人中选出 4 人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游 览一个城市，且这 5 人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有( )
A. 120 种 B. 96 种 C. 72 种 D. 48 种
7. 已知过原点的直线 l 与圆 C:x−32+y−42=41 相交于 M,N 两点,则 MN 的最小值为 ( )
A. 8 B. 39 C. 10 D. 46
8. 已知点 P 为椭圆 C:x225+y216=1 上第一象限的一点，左、右焦点为 F1,F2,∠F1PF2 的平分线与 x 轴交于点 M ，过点 F1 作直线 PM 的垂线，垂足为 H ， O 为坐标原点，若 OH=1 ，则 △F1PF2 面积为( )
A. 42 B. 8 C. 82 D. 12
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选 对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知空间向量 m=−1,2,4,n=1,−2,x ,则下列选项中正确的是 ( )
A. 当 m//n 时， x=−4B. 当 m⊥n 时, x=54
C. 当 m+n=5 时， x=1 D. 当 x=5 时， sin=31414
10. 若 2x−15=a0+a1x−1+a2x−12+a3x−13+a4x−14+a5x−15 ,则下列结论中正确的是 ( )
A. a0=−1 B. a4=80
C. a1+a2+a3+a4+a5=35 D. a0+a2+a4a1+a3+a5=310−14
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现: 在同一平面内, 到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线. 已知两定点 F1−2,0,F22,0 ,动点 Px0,y0 满足 PF1⋅PF2=4 ,设点 P 的轨迹为曲线 C ,下列说法中正确的有( )
A. P 的横坐标取值范围是 −22,22 B. 不存在点 P ,使得 PF1⊥PF2
C. PF1+PF2 最小值为 4 D. ΔF1PF2 的面积最大值为 2
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若双曲线 C:x29−y2b2=1 的一条渐近线方程为 y=3x ，则 C 的离心率为_____.
13. 直线 l1:mx+3my−6=0 与直线 l2:4−mx+my+m2−4m=0 ，若 l1//l2 ，则 m= _____.
14. 阅读材料: 空间直角坐标系 O−xyz 中,过点 Px0,y0,z0 且一个法向量为 n=a,b,c 的平面 α 的方程为 ax−x0+by−y0+cz−z0=0 . 阅读上面材料，解决下面问题:已知平面 α 的方程为 x+2y−z−1=0 ,直线 l 是两平面 x−y+5=0 与 y+z+2=0 的交线，则直线 l 与平面 α 所成角的正弦值为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
某社区文化节需安排 4 个不同节目 (古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞)，按表演先后顺序排定 4 个时段， 每个时段表演一个节目, 且节目不重复. 请根据以下不同条件, 分别计算符合要求的节目安排方案总数:
(1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段；
(2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻.
16.(本小题满分 15 分)
已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率 e=2 ，且过点 52,32 .
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知 F 为双曲线的左焦点， P 为双曲线上一点，且线段 PF 的中垂线倾斜角为 150∘ ，求 PO 的值 ( O 为坐标原点).
17.(本小题满分 15 分)
已知圆心为 M 的圆经过点 A2,2,B−2,6 ，半径为 4,且圆心 M 位于第二象限，
(1)求 ⊙M 的标准方程；
(2)过点 A 的直线 l 交圆 M 于另一点 C ，连接 MA,MC ，若扇形 MAC 的面积为 16π3 ，求直线 l 的方程.
18.(本小题满分 17 分)
如图,在四棱锥 P−ABCD 中, AB//CD,AD=BC=AB=12CD=2 , ∠CBP=∠ADP=90∘ .

(1)证明: PD⊥ 平面 ABCD ；
(2)若点 P,A,B,C,D 都在半径为 22 的球 O 的表面上，
(i) 求 PD 的长度;
(ii) 棱 PB 上是否存在一点 E ,使得二面角 E−AD−P 的余弦值为 437 , 若存在,求出 PEPB 的值; 若不存在,请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知点 P0,−2 , Q32,1 为椭圆 y2a2+x2b2=1a>b>0 上的两点,点 T3,2 为椭圆外一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 T 作椭圆的两条切线，切点分别为 A,B ，其中点 A 在 x 轴下方，连接 AB .
(i) 求 A,B 两点的坐标;
(ii) 过点 T 作椭圆的一条割线,交椭圆于 C,D 两点 (A,B,C,D 是四个不同的点),再过点 C 作一条与直线 AT 平行的直线,该直线交直线 AB 于点 E ,点 G 满足 CE=EG ,求证: 直线 DG 恒过定点.
高二上学期期末教学质量检测 2026.2 数学参考答案和评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1.B【解析】因为直线的倾斜角为 135∘ ,所以斜率为 -1 . 因为直线在 y 轴上的截距为 -1,所以所求直线方程为 y=−x−1 ,即 x+y+1=0 .
2.C【解析】根据各项给定圆的方程确定圆心,判断 −1,5 是否在圆上即可.
3. C 【解析】由 Tr+1=C6r1x26−r−2xr=−2rC6rx3r−12,r=0,1,⋯,6 , 当 r=3 时,第四项式系数 −23C63=−160
4.B【解析】因为椭圆 C:x29+y24=1 ,所以 a=3,b=2,c=5 ,
又因为 PF1⋅PF2=0 ,所以 PF1⊥PF2 ,即 PF1⊥PF2 ,
设 PF1=m,PF2=n ,则 m+n=6 且 m2+n2=20 ,
得到 mn=8 ,所以 PF1⋅PF2=8 .
5. D【解析】
MN=MO+OC+CN=−OM+OC+12CB=−35OA+OC+12OB−OC =−35OA+12OB+12OC=−35a+12b+12c .
6.C【解析】分两步: 首先从除甲乙之外的 3 人中选 1 人去上海游览,并有 C31=3 种,其次从剩余 4 人中选 3 人到其它三个城市游览,共有 A43=24 种,共有 C31A43=72 种,
7. A【解析】由 C:0−32+0−42=250 ,则球心为 O0.2,t .
由球的半径 R=OD=22 ,得
0−02+2−02+t−02=22,
解得 t=2 ,故 O0,2,2 . (8 分)
从而 PD=2t=4 . (10 分)
(ii) 由 (i) 可知, DP=0,0,4,DA=3,1,0 . (11 分)
设 PE=λPB=λ3,3,−4=3λ,3λ,−4λ ,
则 DE=DP+PE=0.0,4+3λ,3λ,−4λ=3λ,3λ,4−4λ . (12 分)
设平面 ADE 的一个法向量 m=x,y,z ,
则 m⋅DA=3x+y=0,m⋅DE=3λx+3λy+4−4λz=0.
令 z=−3λ ,则 x=2λ−2,y=32−2λ .
故可取 m=2λ−2,23−23λ,−3λ . (14 分)
设平面 PAD 的一个平面的法向量 n=a,b,c ,
则 n⋅DA=3a+b=0,n⋅DP=4c=0.
令 a=1 ,则 b=−3,c=0 .
故可取 n=1,−3,0 . (15 分)
∵ 二面角 E−AD−P 的余弦值为 437 ,
∴cs⟨m,n⟩=m⋅nm⋅n=437 ,
即 2λ−2−323−23λ22λ−22+23−23λ2+3λ2=437 ,
解得 λ=14 或 −12 (负值舍去). (16 分)
∴ 棱 PB 上存在满足题意的点 E ,此时 PE=14PB . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
【答案】(1) C:y24+x23=1 ;
(2) (i) A32,−1,B0,2 ;
(ii) 直线 DG 经过定点 A32,−1 ,详见解析.
【解析】(1) 由题意得 4a2+0b2=1,1a2+94b2=1. 解得 a2=4,b2=3 . (2 分) 所以椭圆的标准方程为 y24+x23=1 . (4 分)
(2)(i)显然直线 BT 的斜率为 0，点 B 为 0,2 ， (6 分)
直线 AT 的斜率存在且不为 0,设直线 AT 的方程为 y−2=kx−3 ,
联立 y−2=kx−3;y24+x23=1. 得 3k2+4x2+12k−18k2x+27k2−36k=0∗⋯⋯7 分
则 Δ=−288k2+576k=0 ,
解得 k=2 或 0(舍去). (8 分)
将 k=2 代入 (*) 得 x=32 ,
∴A32,−1 .
∴A,B 两点的坐标分别为 A32,−1,B0,2 . (10 分)
(ii) 由 (i) 可知直线 AB 的方程为 2x+y−2=0 ,
kAT=2 ,则 kCE=2 .
当直线 CD 经过原点 O 时,直线 CD 的方程为 y=23x ,
联立 y=23x,y24+x23=1. 解得 x=32,y=1, 或 x=−32,y=−1.
不妨设 C 点在 x 轴上方,则 C32,1,D−32,−1 .
直线 CE 的方程为: y−1=2x−32 ,即 y=2x−2 .

联立 y=2x−2;y=−2x+2. 解得点 E1,0 .
∵CE=EG
∴E 为 CG 的中点,点 G 为 12,−1 .
又 D−32,−1 ,
∴ 直线 DG 为: y=−1 ,经过点 A32,−1 .
猜想直线 DG 恒过定点 A32,−1 , (12 分)
下证一般情况仍然成立:
要证直线 DG 过定点 A32,−1 ,
即证 AD//AG ,
设点 Cx1,y1,Dx2,y2 ,则直线 CE 的方程为 y=2x−x1+y1 ,
联立 y=−2x+2,y=2x−x1+y1. 得 E2+2x1−y14,2−2x1+y12 , (13 分)
则点 G 为 2−y12,2−2x1 .
∴AD=x2−32,y2+1,AG=−1−y12,3−2x1 .
即证 x2−323−2x1=y2+1−1−y12 ,
即证 3x1+x2−2x1x2−92=−121+y1+y2+y1y2 ,
即证 y1y2+y1+y2−4x1x2+6x1+x2−8=0 (14 分)
显然,直线 DT 的斜率存在,设直线 DT 的方程为 y−2=tx−3 ,
联立 y−2=tx−3;y24+x23=1.得x1+x2=−12t+18t23t2+4,y1+y2=−24t+163t2+4,
x1x2=−36t+27t23t2+4,y1y2=24t2−48t+163t2+4 (16 分)
代入(#)式得
24t2−48t+163t2+4+−24t+163t2+4−4×−36t+27t23t2+4+6×−12t+18t23t2+4−8=0
显然成立,
所以 AD//AG ,即直线 DG 恒过定点 A32,−1 . (17 分)题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
C
B
D
C
A
C
ABD
BD
ACD