广东省汕头市2025_2026学年高二数学上学期期末考试含解析

这是一份广东省汕头市2025_2026学年高二数学上学期期末考试含解析，共15页。
【答案】D
【解析】解：因为M={x|2x-1>5}={x|x>3}，N={1,2,3}，
所以M∩N=⌀ ．
故选：D．
2.已知复数z满足i⋅z+2=2i，则|z|=( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】解：由i⋅z+2=2i ，可得z=-2+2ii=2+2i，
所以|z|= 22+22=2 2 ．
故选：B．
3.已知双曲线C的虚轴长为实轴长的 7倍，则C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 7D. 2 2
【答案】D
【解析】解：由题意知2b= 7×2a，即ba= 7，
双曲线离心率为e=ca= 1+ba2=2 2，
故选D．
4.已知点A(1,0)，B(0,2)，C(3,2)，则AB在AC上的投影向量的坐标为( )
A. (-12,12)B. (12,-12)C. (12,12)D. (-12,-12)
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算和投影向量的概念，属于基础题．
先求出AB=(-1,2)，AC=(2,2)，利用AB在AC方向上的投影向量为AB⋅AC|AC|⋅AC|AC|即可求解．
【解答】解：由点A(1,0)，B(0,2)，C(3,2)，得AB=(-1,2)，AC=(2,2)，
所以AB在AC方向上的投影向量为
AB⋅AC|AC|⋅AC|AC|=-2+4 22+22·(2,2) 22+22=14(2,2)
=(12,12)．
故选C．
5.已知x>0，y>0，且1x+2y=1，则x+2y的最小值是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题．
根据题意，分析可得x+2y=(x+2y)(1x+2y)=5+2yx+2xy，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，若x>0，y>0，且1x+2y=1，
则x+2y=(x+2y)(1x+2y)=5+2yx+2xy≥5+2× 2yx×2xy=5+4=9，
当且仅当x=y=3时，等号成立，故x+2y的最小值是9．
故选：C．
6.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、Tn，若SnTn=3n+4n+2，则a6b6= ( )
A. 11113B. 3713C. 11126D. 3726
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列前n项和的性质，等差数列的前n项和公式，，属于中等题．
计算出S11T11=3713，由等差数列的性质得S11T11=a6b6，2a6b2+b10=a6b6，从而得到答案．
【解答】
解：因为等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、Tn，满足SnTn=3n+4n+2，
所以S11T11=3×11+411+2=3713，
又S11T11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=a6b6，故2a6b2+b10=2a62b6=a6b6=3713，
故选：B．
7.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是( )
A. (0,1)B. (1,3)C. (3,+∞)D. (0,+∞)
【答案】B
【解析】解：由题x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心为(0,-2)，半径为r．
圆心到直线的距离为| 3⋅0-1⋅(-2)+2| ( 3)2+(-1)2=|0+2+2|2=42=2
与直线y= 3x+2距离为1的平行线有两条：
1.外侧平行线： 3x-y+4=0，圆心到该线的距离为3．
2.内侧平行线： 3x-y=0，圆心到该线的距离为1．
圆与这两条平行线的相交情况：
1.当r>3时，圆与外侧平行线相交于两点，与内侧平行线也相交于两点，总共有4个点.不符合条件；
2.当r=3时，圆与外侧平行线相切，有一个点，与内侧平行线相交于两点，总共有3个点.不符合条件；
3.当10)，因为圆C的面积为4π，则πr2=4π⇒r=2，
因为CA⊥F1F2，所以C(2,2)，
于是tan∠CF2A=|CA||AF2|=23-2=2，
因为CF2是∠PF2F1的角平分线，
所以tan∠PF2F1=tan(2∠CF2A)=2tan∠CF2A1-tan2∠CF2A=4-3=-43，
所以tan∠PF2x=tan(π-∠PF2F1)=-tan∠PF2F1=43，即直线PF2的斜率为43．
故答案为：43．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
【答案】解：(Ⅰ)设{an}的公比为q，
由已知得16=2q3，解得q=2，
故an=a1qn-1=2n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32，
设{bn}的公差为d，则有b1+2d=8b1+4d=32，
解得b1=-16d=12，
从而bn=-16+12(n-1)=12n-28；
所以数列{bn}的前n项和Sn=n(-16+12n-28)2=6n2-22n．
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想．
(Ⅰ)由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可；
(Ⅱ)利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列{bn}是等差数列求出b1=-16d=12，再代入求出通项公式及前n项和Sn．
16.(本小题12分)
如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2,AD=DC=1．N是B1C1的中点，M是DD1的中点．

(1)求证D1N//平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
【答案】(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP，
由N是B1C1的中点，故NP//CC1，且NP=12CC1，
由M是DD1的中点，故D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，
则有D1M//NP、D1M=NP，
故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N//MP，
又MP⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，
故D1N//平面CB1M；
(2)解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A0,0,0、B2,0,0、B12,0,2、M0,1,1、C1,1,0、C11,1,2，
则有CB1=1,-1,2、CM=-1,0,1、BB1=0,0,2，
设平面CB1M与平面BB1CC1的法向量分别为m=x1,y1,z1、n=x2,y2,z2，
则有m⋅CB1=x1-y1+2z1=0m⋅CM=-x1+z1=0,n⋅CB1=x2-y2+2z2=0n⋅BB1=2z2=0,
分别取x1=x2=1，则有y1=3、z1=1、y2=1，z2=0，
即m=1,3,1、n=1,1,0，
则cs m,n=m⋅n|m|⋅|n|=1+3 1+9+1⋅ 1+1=2 2211，
故平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值为2 2211；
(3)解：由BB1=0,0,2，平面CB1M的法向量为m=1,3,1，
则有BB1⋅mm=2 1+9+1=2 1111，
即点B到平面CB1M的距离为2 1111．

【解析】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面所成交的向量求法，点面距离的向量求法，属于中档题．
(1)取CB1中点P，连接NP，MP，借助中位线的性质与平行四边形性质可得D1N//MP，结合线面平行判定定理即可得证；
(2)建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
(3)借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解．
17.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，an+1=2an+2nn∈N*，a1=1．
(1)证明：数列an2n为等差数列，并求数列an的通项公式；
(2)求数列an的前n项和为Sn；
(3)若Sn≤2an-4n-λ对任意n∈N*恒成立．求实数λ的取值范围．
【答案】解：(1)由an+1=2an+2n，则an+12n+1=an2n+12⇒an+12n+1-an2n=12，又a12=12，
所以数列an2n是首项、公差均为12的等差数列，则an2n=12+12(n-1)=n2，
所以an=n⋅2n-1．
(2)由Sn=1×20+2×21+3×22+⋯+n⋅2n-1，则2Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+(n-1)⋅2n-1+n⋅2n，
所以-Sn=1+21+⋯+2n-1-n⋅2n=1-2n1-2-n⋅2n=(1-n)2n-1，
所以Sn=(n-1)2n+1．
(3)由(1)(2)，则(n-1)2n+1≤n⋅2n-4n-λ，整理得λ≤2n-4n-1恒成立，
令cn=2n-4n-1，则cn+1-cn=[2n+1-4(n+1)-1]-(2n-4n-1)=2n-4，
当n=1时cn+1cn，
所以c1>c2=c30，得-4 330时，fx>0，证明：
(i)f2k>2k，k∈N*；
(ii)∀x∈2k,2k+1k∈N，fx-f1x>x2-2x．
【答案】(1)对于fx=lnx，取a=b=3，
则fa+fb=ln3+ln3=2ln3=ln9，fa+b=ln6．
因为ln9>ln6，不满足fa+fb0，则2a-12b-1>0，所以函数y=2x+x-1是“N函数”．
(2)(i)令a=b，f(2a)>2f(a)，
∴f2k>2f2k-1>22⋅f2k-2>⋯>2k⋅f(1)=2k，
∴f2k>2k,k∈N*．
(ii)因为当x>0时，fx>0，
所以对任意x∈2k,2k+1k∈N，有x-2k>0,fx-2k>0，
又1x∈12k+1,12k，则12k-1x>0,f12k-1x>0，
又f2k>2k,k∈N*，
所以f(x)>f(x-2k)+f(2k)>f(2k)>2k=2k+12>x2，
由(i)知f(2a)>2f(a)，则f(a)