广东省汕头市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析

这是一份广东省汕头市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算：（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】.
故选：D.
2. 已知，，与的夹角为60°，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由.
故选：C
3. 学校开运动会，设是参加100m跑的同学，是参加200m跑的同学，是参加400m跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的运算能说明这项规定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由题意，参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，故，而其它各项集合运算不能说明该规定.
故选：C
4. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ）
A. 70B. 66C. 62D. 58
【答案】D
【详解】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面），
所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个.
故选：D
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由.
故选：B
6. 音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（ ）
A. （单位：）
B. 学生早读期间读书的声强范围为（单位：）
C. 如果声强变为原来2倍，则对应声强级也变为原来的2倍
D. 如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
【答案】C
【详解】由题设，可得，A对；
所以，
若，则，所以，B对；
若，则，C错；
若，则，可得，D对.
故选：C
7. 已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】令，，，，，A错；
，B错；
，C错；
一般情况，时，，，，
，此时；
时，，
左边，
右边左边，D对；
故选：D．
8. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的展开式中的系数为15，则（ ）
A. B. 展开式中，中间项的系数为
C. 展开式中，奇数项的系数和为32D. 当时，的末两位数字是61
【答案】ACD
【详解】由题设，展开式通项为，，又，可得，A对；
所以展开式通项为，，共有7项，则时为中间项，系数为，B错；
由上，奇数项的系数和为，C对；时，，故末两位数字为，D对.
故选：ACD
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上有且只有一个极小值点
C. 在上递增
D. 方程在上所有根的和为
【答案】AB
【详解】由，
所以最小正周期为，A对；
由，则，
结合余弦函数图象及极小值点定义知，区间内有且仅有一个极小值点，B对；
由，则，由余弦函数的性质知在该区间内单调递减，C错；
由题设或，则或，，
所以，故所有根的和为，D错.
故选：AB
11. 已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，是抛物线
B. 当时，是离心率为的椭圆
C. 当时，是离心率为的双曲线
D. 若与圆O有公共点，则m取值范围为
【答案】BCD
【详解】A：如下图，当，则为圆与正半轴的交点，则是圆的一条弦，
所以必与原点重合，即是一个点，不是抛物线，错；
B：如下图，当，则在线段上，故，
所以的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆，
即，故离心率为，对；
C：如下图，当，则在线段两侧的延长线上，且，
所以的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，
即，故离心率为，对；
D：由上分析，时是定点（原点），不满足；
时，是以为焦点，长轴长为2的椭圆，且，显然不可能与圆O有公共点，不满足；
时，是以为焦点，实轴长为2的双曲线，
若时，，即双曲线左支与圆O有公共点，
若时，，即双曲线不可能与圆O有公共点，
所以，对.
故选：BCD
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
【答案】或
【详解】因为，所以，
所以当时，，即切线的斜率为2，
所以由点斜式得即，
联立整理得，
因为切线与曲线只有一个公共点，
所以方程只有一个根，
当时，方程为只有一个根，满足题意；
当时，，即，解得，
综上或，
故答案为: 或.
13. 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为___________．
【答案】0.375
【详解】设该学校人数为，依题意得，近视的人数为，玩手机超过1小时的人有，近视人数为，于是玩手机小于1小时但又近视的人数为，玩手机小于1小时的总人数为，这类人的近视率约为.
故答案为：
14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.
【答案】
【详解】由题可得，，
，
所以
，
，
，
所以，
故答案为: .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
【小问2详解】
因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若，则的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）6
【小问1详解】
由正弦定理得，
其中，
故，
因为，所以，故，
即，所以，
因为，所以，
故，解得；
【小问2详解】
由三角形面积公式得，
故，
由余弦定理得，
解得，
故，解得，
故，周长为6.
17. 如图，四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点.
（1）证明：平面PAB；
（2）求直线CE与平面PAB间的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【小问1详解】
若为的中点，连接，E为PD的中点，则且，
由，，则且，故为平行四边形，
所以，平面，平面，故平面；
【小问2详解】
由（1）知直线CE与平面PAB间的距离，即为点E与平面PAB间的距离，
由，，，取的中点，连接，
所以四边形为矩形，，
由是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，
由，且都在平面内，则平面，
由，则平面，平面，则平面平面，
以为原点构建空间直角坐标系，则，
由平面，平面，则，
在中，则，
由，所以，可得，
所以，，则，，，
设平面的一个法向量为，则，取，则，
所以，
所以直线CE与平面PAB间的距离为.
18. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
19. 如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（I）求直线AP斜率的取值范围；
（II）求的最大值
【答案】（I）（-1，1）；（II）.
【详解】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，
，
因为，所以直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是．
因为|PA|==，
|PQ|= ，
所以．
令，
因为，
所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，