甘肃势泉市2025_2026学年高一数学上学期1月期末考试含解析

这是一份甘肃势泉市2025_2026学年高一数学上学期1月期末考试含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是第四象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
7．下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
8．已知，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（ ）
A．1B．-2C．3D．-4
10．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数与的图象关于原点对称
B．若函数是奇函数，则
C．函数的图象关于点对称
D．函数是偶函数，且在上单调递增
三、填空题
12．函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是 ．
13．如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为 ．

14．已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是 ．
四、解答题
15．（1）已知，求的值；
（2）计算：．
16．（1）计算：；
（2）化简：；
（3）已知，求m的值．
17．已知函数，其中，
(1)求的定义域；
(2)若，求a的值；
(3)讨论的单调区间．
18．已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求证：在上单调递增；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
19．某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下：
实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示：
实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，．
(1)根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式；
(2)根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式；
(3)若两个实验室均研发至第6个月．
（i）用实验室A的模型预测性能得分；
（ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分；
（ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，）
1．C
先解不等式得到集合的具体范围，再分别计算与，逐一验证选项即可.
【详解】由已知解得集合，.
选项A，由于，不是空集，所以A错误；
选项B，由于，即，所以B错误；
选项C，由于，即，所以C正确；
选项D，由于，不等于，所以D错误.
故选：C.
2．B
由题设可得，进而求解即可.
【详解】由，得，解得，
则不等式的解集为.
故选：B
3．C
对每个选项逐一分析，找出特例或者反例验证选项即可.
【详解】选项A：要使，则需要，而，所以为假命题；
选项B：所有，可找反例，取特殊值，代入得，此时不成立，所以为假命题；
选项C：存在，符合即可，取，代入得成立，所以为真命题；
选项D：所有，可找反例，取特殊值，代入得，，此时不成立，所以为假命题；
故选：C.
4．D
利用三角函数诱导公式结合同角三角函数关系式计算求值.
【详解】已知是第四象限角，，则，
，
.
故选：D
5．A
根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小即得.
【详解】，而函数在上单调递增，，因此，
所以.
故选：A
6．B
首先根据指数函数和一次函数性质得到为单调递增函数，再利用零点存在性定理即可判断零点所在区间.
【详解】因为指数函数在R上单调递增，一次函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递增.
；；；
因为函数在R上单调递增，且，
所以函数的零点所在区间为.
故选：B.
7．C
利用诱导公式及各象限内三角函数的正负判断即可.
【详解】对于①：，
对于②：，
对于③：，
因为，所以，即，
对于④：因为，所以.
故选：C
8．A
依题意可得，再利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，即，所以，又，，
则，当且仅当，时，等号成立.
故选：A
9．AD
根据幂函数定义得到方程，求出实数，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或，
当时，，当时，，均满足要求.
故选：AD
10．ABD
利用幂函数、指数函数和对数函数的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故A正确，
对于B，因为在区间上单调递增，所以B正确，
对于C，因为在区间上单调递减，所以C错误，
对于D，因为在区间上单调递增，所以D正确，
故选：ABD.
11．ACD
根据奇、偶函数的定义及其判定方法，结合选项依次判断即可.
【详解】A：设为图象上的一点，其关于原点对称的点为，且，
对于，当时，，
所以点在函数图象上，
所以两个函数的图象关于原点对称，故A正确；
B：若为奇函数，其定义域可能不包含0，则不成立，故B错误；
C：函数图象向右平移1个长度单位，向上平移1个长度单位，
可得的图象，
而函数图象关于原点对称，所以图象关于对称，故C正确；
D：设，定义域关于原点对称，则，
所以，即为偶函数；
当时，，在上单调递增，故D正确.
故选：ACD
12．
二次函数是开口向上的抛物线，函数在区间上不单调，说明对称轴落在区间内，因此列出不等式计算即可.
【详解】函数是开口向上的二次函数，
其对称轴为直线：
二次函数在对称轴的一侧单调，若在区间上不单调，
则对称轴需落在区间内，即.
故答案为：.
13．
根据条件，利用弧长公式得圆的半径，再结合条件，利用扇形的面积公式，即可求解.
【详解】设圆的半径为，由题有，解得，
又，所以，又点在圆上，，则
所以矩形的面积为，
又扇形的面积为，所以矩形在圆外部分的面积为，
故答案为：.
14．
利用数形结合法，把方程的根的个数转化为图象与直线的交点个数，即可求得参数的取值范围.
【详解】作出函数图象：

因为，，所以在处是连续的，
根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图象有四个交点，
即a的取值范围是.
故答案为：
15．（1）当为第一象限角时 ，，；
当为第三象限角时，，；
（2）.
（1）讨论所在的象限，结合商数关系和平方关系即可求解；
（2）结合诱导公式，化简后即可求解.
【详解】（1）由，得，
又由，得，即
由，得为第一或第三象限角，
当为第一象限角时，， 故，；
当为第三象限角时，， 故，；
（2）利用诱导公式得：
.
16．（1）；（2）；（3）．
（1）利用指数幂的运算和对数运算性质计算即可；
（2）将根式化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则计算即可；
（3）由已知利用指数幂的运算得，然后利用指数幂的运算法则得，即可得解．
【详解】（1）；
（2）由得；
（3）因为，所以，
所以，又，所以．
17．(1)；
(2)4；
(3)单调递增区间为，单调递减区间为.
（1）根据对数函数的成立的条件建立不等式组即可求出函数的定义域；
（2）把代入的解析式，即可求出a的值；
（3）利用对数的运算性质化简的解析式，结合复合函数单调性的关系进行求解即可.
【详解】（1）由条件，要使函数有意义，须有：
，解得：，
故的定义域为；
（2）由得
，即，得，满足，
故若，；
（3）由条件得：,
由（1）知，
令，，该函数的图象是开口向下，对称轴为的抛物线，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
又，可得在定义域上是单调递增的，根据复合函数单调性的关系，
可得的单调递增区间为，单调递减区间为.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得.
此时，则，满足题意.
故实数的值为.
（2）证明：由（1）可得，
任取，且，
则，
因为，且指数函数在定义域上单调递增，
所以，即，
又因为，所以.
因此，即.
故根据函数单调性的定义，函数在上单调递增.
（3）由（2）可得在定义域上单调递增，
要使对任意恒成立，只需，
而当时，，所以，
故实数的取值范围为.
19．(1)；
(2)；
(3)甲,理由见解析.
【详解】（1）由时，，若，则，此时，不满足题意，
故，又当时，，所以，
当时，，所以，
此时，当时，，当时，，满足题意，
故；
（2）由于用实验室的数据来求参数，
所以当时，，代入得：，
当时，，代入得：，
两式相减得：，代入可得：，
所以；
（3）（i）实验室研发至第6个月，用实验室A的模型预测性能得分：
则，所以用实验室A的模型预测性能得分为分；
（ⅱ）实验室研发至第6个月，用实验室B的模型预测性能得分：
则，
所以实验室B的模型预测性能得分约为分；t（月）
1
2
3
4
P（得分）
3
12
27
48