四川省巴中市普通高中2023级高三上学期“一诊”考试（巴中一诊）数学试卷含答案（word版）

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1. 已知集合 A={x∈N∣0≤x≤3},B=x∣x2−x−60,b>0 的两条渐近线分别为 l1,l2,P 为双曲线上一 . 点,则
A. ba 越大，则双曲线的离心率越大
B. 过点 P 与双曲线仅有一个交点的直线只有一条
C. 点 P 到两渐近线的距离之积为定值
D. 过点 P 作双曲线的切线交渐近线于 M,N 两点,则 P 为 MN 的中点
三、填空题(本大题共3小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 一个火车站有 8 股岔道，如果每股岔道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有_____种。
13. 若直线 xa+yb=1a>0,b>0 是圆 x2+y2−2x−2y−7=0 的一条对称轴,则 4a+b 的最小值是_____.
14. 若不等式 ex2−1−a−lnx−1≥lnx+a 恒成立，则 a 的取值范围_____、
四、解答题 (本题共5 小题, 共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a=3,c=2 .
(1)若 ∠ABC=π4 ，求 sinA 的值；
(2)若 ∠ABC=π3,D 为线段 AC 上一点，且 S△ABDS△CBD=23 ，求 BD 的值.
16.(15分)有6个红色小球和4个黑色小球(除颜色不同外，其余都相同)，将其中 2 个红色小球和 3 个黑色小球放入一个不透明的箱子中，剩余的 4 个红色小球和 1 个黑色小球放在箱外. 现从箱子中随机取出 1 个小球，若取出红色小球，则把它放回箱子中；若取出黑色小球，则该黑色小球不再放回，并将箱子外 1 个红色小球放入箱中. 按此操作若干次, 直到将箱中的黑色小球全部置换为红色小球为止.
(1)求在操作 3 次后箱中黑色小球剩余 0 个的概率；
(2)记在操作 3 次后箱中黑色小球的个数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望；
(3)在第 1 次取到红色小球的条件下，求再操作 4 次恰好完成置换的概率.
17. (15 分) 如图①所示将边长为 2 的正方形 ABCD ,沿 AC 翻折如图②所示,点 E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,AD 的中点,在折叠过程中. 二面角 D−CA−B 的范围为 π3,2π3 .
图1 图2
(1)求证:四边形 EFGH为矩形；
(2)求点 A 到平面 BCD 距离的最大值.
18.(17分)函数 fx=5sinx−sin5x .
(1)求曲线 y=fx 在点 π4,fπ4 处的切线方程；
(2)求函数 y=fx 在 0,π2 上的最大值；
(3)设 0≤x≤1 ，求证: sinπx+1≥xx+2 .
19.(17分)已知动点 Cx,y 与定点 F2,0 的距离和 C 到定直线 l:x=4 的距离之比是常数 22 .
(1)求点 C 的轨迹 E ；
(2) M 、 N 为轨迹 E 上不同的两点，
①若直线 MN 斜率存在且过点 P1,0 ， A−22,0 ，直线 x=1 分别与直线 AM ， AN 交于点 B,D,PB⋅PD 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
②若 OM⊥ON ，求 1OM+1ON 的最大值与最小值.