江苏省南京市2025-2026学年高一上学期期末调研数学试卷含解析（word版）

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注意事项：
1．本试卷包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上指定的位置．
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. 已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义即可求解.
【详解】角的终边经过点，
，
故选：A
【点睛】本题考查了三角函数的定义，需掌握正弦函数的定义，属于基础题.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】“”的否定为“”，“”的否定为“”，“”的否定为“”，利用这些知识点求解.
【详解】“”的否定为“”，“”的否定为“”，“”的否定为“”，
则命题“”否定为“”.
故选：C.
3. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以整体，结合诱导公式运算求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A
4. 已知函数（，且）的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可.
【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到，
由图可知，解得．
故选：D.
5. 若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，，进而可得结果.
【详解】令，可得，
因为，则，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
6. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的．设该物质最初的质量为1，若要使该物质剩留的质量不足0.01，则至少要经过多少年？（ ）（参考数据：）
A. 17年B. 19年C. 21年D. 23年
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得：年后剩余质量，根据对数函数的单调性以及对数的运算性质求解即可.
详解】由题意可得：年后剩余质量，
两边取对数可得，
且，可得，
所以若要使该物质剩留的质量不足0.01，则至少要经过21年.
故选：C.
7. 已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性列式求解即可.
【详解】函数若在上单调递增，
得，解得，
则实数的取值范围为.
故选：A
8. 函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知不等式解集即为函数在的图象下方时的取值范围，作出函数图象，结合图象分析不等式的解集.
【详解】对于不等式，等价于，
不等式解集即为函数在的图象下方时的取值范围，
因为满足，当时，，
可得时，；
可得时，；
可得时，；
以此类推，可得函数的图象，如图所示：
由图象可知函数与的交点为，
所以不等式的解集为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最小值为-2
C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D. 函数在上的单调增区间为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据正弦函数的图象与性质，结合选项依次判断即可.
【详解】A：，故A正确；
B：，故B正确；
C：的图象向右平移个单位长度得
，故C错误；
D：由得，此时函数单调递减，故D错误．
故选：AB
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于A，，故A对；
对于B，，故B对；
对于C，，故C错；
对于D，，故D对．
故选：ABD
11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 的值域为
B 若，则
C. 若关于的方程有四个不同的实数根，则
D. 若关于的方程有三个不同的实数根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：作出函数的图象，即可得值域；对于B：根据题意可得，且，结合二次函数性质运算求解；对于CD：设，，结合的图象分析的零点分布，结合二次函数性质运算求解.
【详解】对于选项A：作出函数的图象，如图所示，

由图象可知：的值域为，故A正确；
对于选项B：因为，则，且，
可得，
因为，可知的图象开口向下，对称轴为，
可知在内的最大值为，最小值为，
所以，故B错误；
对于选项CD：设，，
当或时，方程有1个根；
当时有，方程有2个根；
若关于的方程有4个不同的实数根，
则方程有两个根，且两根均在内，
且的图象开口向上，对称轴为，
则，解得，故C正确；
若关于的方程有三个不同的实数根，
则方程有两个根，且一根在，另一根在或，
则，解得，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数的图象经过点，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，将点代入函数解析式即可求值.
【详解】因为函数的图象经过点，
所以，
故答案为：
13. 折扇，又称“摇风”、“怀袖雅物”等．某种折扇如图所示，，，则扇环的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】由图可知扇环的面积等于扇形的面积减去扇形的面积，
即，
故答案为：
14. 已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，分、和三种情况讨论，结合的单调性和图象列式求解即可.
【详解】因为，且，
当时，则在单调递增，
可得，则；
当时，则在单调递增，在单调递减，
可得，则；
当时，因为，
（i）当时，可得，则；
（ii）当时，可得，则；
综上所述，的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式化简集合A，进而可求交集；
（2）分析可知，结合包含关系列式求解即可.
【小问1详解】
因为集合，
若，则集合，所以.
【小问2详解】
若“”是“”的充分条件，可知，
且集合，，
则，解得，
所以的取值范围是．
16. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合平方关系可得，，结合任意角三角函数值的符号运算求解；
（2）根据题意结合（1）的结果列方程求，进而可得.
【小问1详解】
因为，
即，解得，
则，
又因为，且，
则，，可得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，解得，
所以．
17. 已知函数．
（1）若直线为图象的两条相邻对称轴，且，
①求函数的解析式；
②若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围；
（2）若对任意，函数在区间上恰有三个零点，求的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据函数周期性可得，代入点可得，即可得函数解析式；②根据题意可得，以为整体，结合正弦函数有界性运算求解；
（2）设，则条件等价于函数在上恰有三个零点，根据正弦函数的性质可得，结合恒成立问题运算求解即可.
【小问1详解】
①设的最小正周期为，且，则，
由题意可知：，即，解得，
则，
又因为，即，
又因为，则，
可得，解得，
所以；
②令，可得，
因为，则，可得，
可得，解得，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
因为，且，则，
设，则条件等价于函数在上恰有三个零点，
因为，可知在上无零点，
可得，解得，
由于对任意成立，则，即，
所以的取值范围是．
18. 已知函数．
（1）求证：为定值；
（2）解关于的不等式；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据题设，结合对数的运算性质求证即可；
（2）先求出函数的定义域为，再解对数不等式即可求解；
（3）由（1）结合题设易得，进而可得，再结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
已知函数，
则.
【小问2详解】
由，解得，则函数的定义域为，
由，得，即，
则，所以，
即，解得或，又，
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
由，
则函数在上单调递增，
由（1）得，且，
则，即，
所以，
当且仅当，即时取等，
所以的最小值为．
19. 对于定义在非空集合上的两个函数与，称函数的最大值为和的“偏差值”．
（1）对于定义在上的函数与，求和的“偏差值”；
（2）对于定义在上的函数与．若和的“偏差值”为，求的取值范围；
（3）对于定义在上的函数与，记和的“偏差值”为．若的最小值小于4，求的取值范围．
【答案】（1）5 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意求得，进而分析最值即可；
（2）根据题意求得，设函数，可知为奇函数，且在上单调递减，分、和三种情况，结合题意运算求解即可；
（3）整理可得，设，在定义域上单调递增，分类讨论得符号，结合题意运算求解即可.
【小问1详解】
因为函数，，，
则函数，
当且仅当时，等号成立，所以和的“偏差值”为5.
【小问2详解】
因为，，，
则函数，
设函数，
因为，可知为奇函数，
又因为在上单调递减，可知在上单调递减，
且，当时，；当时，；
①当时，则，
则，
所以和的“偏差值”为，不合题意；
②当时，，
则，
所以和的“偏差值”为，满足题意；
③当时，，
所以和的“偏差值”为，满足题意；
综上所述：的取值范围是．
【小问3详解】
由题意可得，
设，
因为，则在定义域上单调递增，
则在定义域上单调递增，
①当，即时，则的最大值为，
可得，
因为在内单调递减，无最小值，不合题意；
②当，即时，则的最大值为，
则，可知在单调递增，
则的最小值为，不合题意；
③当，即时，则的最大值为或，
（i）若，即，可得，
所以，则的最大值为，
可得，
因为在单调递减，无最小值，不合题意；
（ii）若，即，可得，
所以，则的最大值为，
可得，因为在单调递增，
可得，解得；
综上所述：的取值范围是．