云南省昆明市第一中学2026届高三上学期1月复习诊断（第六次联考)数学试卷

这是一份云南省昆明市第一中学2026届高三上学期1月复习诊断（第六次联考)数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．注意事项：
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
校园 AI 编程创意赛有 17 位同学参赛，他们的作品评分互不相同，只有评分在前 9 名的同学能晋级决赛．若某同学知道自己的作品评分后，想判断自己能否晋级，则他只需要知道这 17 位同学评分的
众数B．中位数C．平均数D．极差
x(1  3x)3 的展开式中 x3 的系数为
A．3B．9C．18D．27
已知命题 p : x  R ，ax2  2ax  3  0 为真命题，则实数a 的取值范围是
A. 3，+
B. (， 1 )
C.  1 ，0 
D. 3，0

3 3
已知 ，  为两个平面， m ， n 是两条直线， m   ， n   ，则下列命题正确的是
A. 若 m ∥  ，则 ∥ B. 若 ∥  ，则m ∥ n
C.若m   ，则  D. 若   ，则m  
x2y 2
已知双曲线C : a2  b2  1(a  0, b  0) 的右焦点为 F ， O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线的
其中一条渐近线交于点 A （除原点外），若 OA  b ，则双曲线C 的离心率为
2
A．
B．
C．2D．3
3
昆明马拉松活动中，将 4 名志愿者分配到 3 个不同的服务点参加志愿工作，每人只去 1 个服务点，每
个服务点至少安排 1 人，则不同的安排方法种类数为
A．12B．36C．48D．72
化简 tan 50∘ cs 20∘ tan 40∘  3 
1
 3
2
C． 3D．1
2
已知 PA  PB ， PA  PB ，以 A，B 为焦点的椭圆经过点 P ，且该椭圆的离心率大于
tan ABP 的取值范围为
5 ，则
3
(1,2)
(2,3)
(2,)
(3,)
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知 z1, z2 是两个虚数，则下列结论中正确的是
若 z1  z2 ，则 z1z2 均为实数B．若 z1  z2 为实数，则 z1  z2
C．若 z , z 均为纯虚数，则 z1 为实数D．若 z1 为实数，则 z , z 均为纯虚数
z
z
1 21 2
22
已知函数 f (x)  2 3 sin x cs x  2 cs 2 x  1   0 ，若 f (x) 在区间 π , π 内不存在对称轴，则
 2
 的值可以为
A． 1
6
B． 1
3
C． 7
12

D．1
已知直线l : mx  y  2m  4  0(m  R) 及圆C : (x  3)2  ( y  5)2  5 ，则下列选项中正确的是
3
直线l 过定点(2, 4)B．直线l 截圆C 所得弦长最小值为2
C．存在m ，使得直线l 与圆C 相切D．存在m ，使得圆C 关于直线l 对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知事件 A 和 B 互斥，且 P( A ∪ B)  0.9 ， P(B )  0.4 ，则 P( A) 为．
在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，已知b sin C  c sin B ，则角 B ．
2
已知函数 f  x  aex  ln x 在区间1, 2 上单调递增，则a 的最小值为．
四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
北京冬奥会的成功举办，不仅让世界进一步了解新时代的中国，而且极大促进了全国群众参与冰雪运 动，此后每年冬季，全国多地群众都会积极参与冰雪运动．某城市为调查居民对冰雪运动的了解情况，随机抽取了该市男女市民各60 人进行统计，统计结果如下表：（单位：人）
已知从参与调查的男性市民中随机抽取一名，他了解冰雪运动的概率为 3 ．
4
求表中m ， n ， p ， q 的值；
根据小概率值 =0.05 的独立性检验，分析并判断该市居民对冰雪运动的了解是否与性别有关联．
性别
冰雪运动
合计
了解
不了解
男
m
n
60
女
p
q
60
合计
80
40
120
附：  2
n(ad  bc)2
P( 2  k)
0.050
0.0100.005
k
3.8416.6357.879
= (a  b)(c  d )(a  c)(b  d ) ， n  a  b  c  d
16．（15 分）
已知数列an  中， a1  1 ， an1  an  2n ，
求an ；
若b  a  2n 1 ，  1  的前n 项和为 S ，证明： S  1 ．
nnb nn
 n 
17．（15 分）
如图，几何体是由两个共底面 ABCD 的四棱锥拼接而成， P ， D ， S 共线，且 PS  平面 ABCD ，正方形
D
B
ABCD 的边长为2 ， PD  DS  2 ．P
求证： PC  SB ；
求平面 PAB 与平面 SBC 的夹角的大小．
C
A
S
18．（17 分）
已知抛物线 E : y2  4x 的焦点为 F ，过点 A(0, y ) 的直线l 与 E 相交于 B(x , y ) ， C(x , y ) 两点，且
01 122
y0  0 ，
若 F 为线段 AC 的中点，
求直线l 的斜率；
求 AC ；
若点 P(x3, 2 y0 ) 在抛物线 E 上，满足 BP  BC ，求 y2 取值范围.
19．（17 分）
已知函数 f (x)  x 1  ln x ．
（1）证明： ln x  x  1 ；
n
（2）证明： 
i1
1  ln n  1 n  N  ；

i
若 f ( x)  mx  xex m  R 恒成立，求实数m 的取值范围．
昆明市第一中学 2026 届高三年级第六次联考数学参考答案
一、选择题
解析：因为 17 位同学的评分，中位数是第 9 名，所以知道中位数即可判断是否在前 9，选 B.
3
解析： x3 的系数为C 2  32  27 ，选 D.
解析：因为命题 p : x  R ，ax2  2ax  3  0 为真命题，所以不等式ax2  2ax  3  0 的解集为R ，若 a  0 ，则不等式可化为3  0 ，成立；若a  0 ，则根据一元二次不等式解集的形式可知：
a  0

  4a2  12a  0 ，解得3  a  0 ，综上所述，选 D.
2
解析：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，选C.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
C
A
B
A
C
解析：因为 OF
选 A.
 c ，且为直径，所以OAF   ，结合渐近线斜率，则 OA  b  a ，AF
2
 b ，所以e ，
解析：将 4 名志愿者分配到 3 个不同的服务点参加志愿工作，每人只去 1 个服务点，每个服务点至少
安排 1 人，则不同的安排方法种类数为C 2 A3  36 ，选B.
4 3
∘∘∘
sin 50∘
∘  sin 40∘ 
3 cs 40∘ 
cs 20∘  2sin(40∘  60∘ )
解析： tan 50 cs 20 tan 40  3cs 20   
  2 cs 20∘ sin 20∘   sin 40∘  


cs 50∘
cs 40∘
cs 50∘
m2  n2
cs 50∘
cs 50∘
1 ，选A．
解析：设 PA  m ， PB
 n ，因为 PA  PB ，所以 AB 
，令tan ABP  PA  m  t(t  1) ，
AB
PA  PB
c2c
PBn
m2  n2
( m )2  1
n
t 2  1

51
该椭圆离心率为e  
a2a
m  n
m  1
n
 t  1
，解得t  或t  2 ，结合
32
t  1，所以t  2 ，则 tan ABP 的取值范围为(2,) ，选C.
二、多选题
解析：设 z1  a  bi ， z2  c  dia,b, c, d  R,b  0, d  0 ．
题号
9
10
11
答案
AC
ABC
ABD
若 z  z ，则a  c ， b  d  0 ，所以 z z  a2  b2  R ，A 正确；
121 2
12
若 z1  z2 为实数，则b  d  0 ，但a 与c 不一定相等，B 错误；若 z ， z 均为纯虚数，则a  c  0 ，所以 z1  b  R ，C 正确；
z2d
取 z  2  2i ， z  1  i ，则 z1 为实数，但 z ， z 不是纯虚数，D 错误，选AC．
z
1212
2
解析： f (x)  2
3 sin x cs x  2 cs 2 x 1 
3 sin 2x  cs 2x  2sin（2x  π） ，
6
由 2x  π  kπ  π ， (k  Z) ，得 f (x) 的对称轴为 x 

kπ  π
3 ， (k  Z) ，
62
kπ  π
2
(k  1)π  π
由题意知，3  π 且
3  π ，即k  1    3k  4 ，(k  Z) ，又因为  0 ，所以k  0 或k  1
22236
符合题意，从而  0 , 1  ∪ 1 , 2  ，选 ABC．

6 3 3 
解析：对于 A，直线l : mx  y  2m  4  0(m  R) ，可得，m(x  2)  ( y  4)  0 ，可得直线经过定点(2,4) ，
5
A 正确；对于 B，圆C : (x  3)2  ( y  5)2  5 ，圆的圆心(3,5) ，半径为，圆的圆心到定点(2,4) 的距离为
(3  2)2  (5  4)2
2

，所以直线l 截圆C 所得弦长最小值为2
 2
，B 正确；对于 C，
( 5)2  ( 2)2
3
2
因为圆的圆心到定点(2,4) 的距离为
 5 （半径），所以直线与圆的位置关系是相交，不存在 m ，使得
直线l 与圆C 相切，C 错误；对于 D，当直线l : mx  y  2m  4  0(m  R) 经过圆的圆心时，存在m ，使得圆C 关于直线l 对称，D 正确，选ABD.
三、填空题
解析：由 P(B )  0.4 得 P(B)  1  P(B )  1  0.4  0.6 ，又 P( A ∪ B)  P( A)  P(B)  0.9 ，所以
P( A)  P( A ∪ B)  P(B)  0.9  0.6  0.3 .
解析：由b sin C  c sin B 得sin B sin C  sin C sin B ，因为sin C  0 ，所以sin B  sin B ，即
222
2sin B cs B  sin B ，因为sin B  0 ，则因为cs B  1 ，所以 B  π ，从而 B  2π ．
222222233
解析：依题可知， f  x  aex  1  0 在1, 2 上恒成立，显然a  0 ，所以 xex  1 ，
xa
设 g  x  xex , x 1, 2 ，所以 g x   x  1ex  0 ，所以 g  x 在1, 2 上单调递增，
g  x  g 1  e ，故e  1 ，即a  1  e1 ，即a 的最小值为e1 ．
ae
四、解答题
解：（1）依题意， m  60  3  45 ，所以n  15 ， p  35 ， q  25 ．………4 分
4
（2）零假设 H0 ：该市市民对冰雪运动的了解与性别无关联．
2120  (45  25  35 15)215
  3.75  3.841， 60  60  80  404
因此根据小概率值 =0.05 的独立性检验，不能判断该市居民对冰雪运动的了解与性别有关联．…13 分
解：（1）由题意， an  an1  2(n 1) ， an1  an2  2(n  2) ，， a2  a1  2 ，
累加得， an
 a1
 2(1  2 
 n(n 1) ，则an
 n2  n  1 ，经检验n  1 时也成立．………7 分
 n 1)
（2）由题意b  a
 2n 1  n2  n ， 1 1
 1  1，
nn
 1  1  1  1  1 
bn
223
 1  1 
1
1
nn  1n  1
n
S  1  1 
b1b2
bnn(n  1)

nn  1
，
因为n  N ， 1
n  1
0 ，所以 Sn  1 ．………15 分
解：（1）证明：因为 PS  平面 ABCD ，所以 BC  PD ，
又因为 BC  CD ， PDCD  D ，所以 BC  平面 PDC ，所以 BC  PC ；
2
又因为正方形 ABCD 边长为2 ，且 PD  DS  2 ，所以 PC  CS  2，且 PS  4 ，
所以 PC 2  CS 2  PS 2 ，所以 PC  CS ，又因为 BCSC  C ，所以 PC  平面 SCB ，
所以 PC  SB ．………7 分
（2）以 D 为原点， DA，DC ，DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
P(0, 0, 2) ， C(0, 2, 0) ， A(2, 0, 0) ， B(2, 2, 0) ，
由（1）可知， PC  (0, 2, 2) 为平面 SCB 的法向量，
P
D
C
y
A
B
z
设平面 PAB 的法向量为n  (x, y, z)
n  AB  0  2 y  0，


n  AP  0
2x  2z  0
取 x  1有 y  0 ， z  1 ，
于是平面 PAB 的法向量为n  (1, 0,1) ，
x
cs 
  1 ，S
PC, n  PC  n
PC  n
2
2 2  2
2
所以平面 PAB 与平面 SBC 的夹角的大小为60.………15 分
解：（1）（ⅰ）由题意知，焦点 F (1, 0) ，因为 F 为线段 AC 的中点，所以1  0  x2 ，即 x  2
2
22，
2
所以 y2  2
，即C(2, 2 2) ，所以直线l 的斜率为kl
 0  2 2  2
1  2
.………4 分
1  (2 2)2
（ⅱ） AC  2 FC  2 6 ．………7 分
（2）由题意知，直线 BC 的斜率为k y2  y1  y2  y1 4，同理直线 BP 的斜率为k4，
BCx  x
y2y2
y  y
BPy
 2 y
21 2  1 2110
44
16  y2  y y
因为 BP  BC ，所以k k 1，所以2 y  11 2 ，
BC BP
0y  y
12
又因为直线 BC 的方程为 y  y 4(x  x ) ，所以点 A(0, y ) 在直线 BC 上，
1y  y10
12
4 y2
2 y y
2 y y
16  y2  y y
所以 y
 y 
(x )  1 ，所以2 y
 1 2 ，所以 1 2  11 2 ，
01y  y1y  y
0y  y
y  yy  y
1212121212
16
9
2
1
2
所以 y   16  y1 ，因为 y  0 ，所以 y  （ 16  y1 ） -2  8 ，当且仅当 16  y1 ，
3y13
3y13
33y13
即 y  4 满足，所以 y 取值范围为 ， 8 
………17 分
123 .

证明：（1）因为函数 f (x)  x 1  ln x（x  0），
所以 f  x  1  1 ， f  x  0  0  x  1， f  x  0  x  1 ，
x
所以 f  x 在0，1 单调递减，在1，  单调递增，
所以 f  x  f 1  0 ，所以 f (x)  x  1  ln x  0 恒成立，所以ln x  x 1 .………5 分
由（1）知 f (x)  x  1  ln x  0 a  R  恒成立，所以 x 1  ln x ，当且仅当 x  1 时等号成立，
所以 x  ln  x  1 ，当且仅当 x  0 时等号成立，所以1  ln 1  1  （其中i  1, 2,3n ， n  ）.
ii 
1 1 n 1n1  i
 23

n  1 
即 iln 1  i  ，则 i  ln i ln    n   ln n  1 ，
i 1i 1
 12
n
所以
i 1
1  ln（n  1）n  N

i
 .………11 分
f (x)  mx  xex m  R  恒成立，
即 x  ln x  xex  1  mx 在 x 0，  恒成立，
x  xex  ln x  1
xln x1
ln x1
即 m  1  e 
x
 在0， 
xx
恒成立，令h  x  1  ex   x  0 ，
xx
所以h x  ex  1
 ln x 1  ex  ln x ，
x2x2x2
令 h x  0 ，即ex  ln x  0 ，整理得： x2ex  ln x  0
x2
令  x  x2ex  ln x
 x  0 ，所以 x  x2  2xex  1  0 在0, 
恒成立
x
 1   1 211 2
所以  x 在0,  上单调递增，因为
 1=e+0=e>0 ，   = 
ee
   

 ee 1=ee
1