云南省昆明市第一中学2026届高三上学期第三次联考数学试卷（含答案）

这是一份云南省昆明市第一中学2026届高三上学期第三次联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A=xx3=4x ，B=-2,1,2，则A∩B=( )
A. -2,0,1,2B. -2,2C. 2D. 0,1
2.函数f(x)=tan2x-π3的最小正周期是( )
A. 2πB. πC. π2D. π4
3.已知i为虚数单位，复数z满足(1+i)z=3-i，则|z|=( )
A. 5B. 5C. 2 5D. 52
4.已知向量m,n满足m+n=(-2,-3),m-n=(4,-1)，则m2-n2=( )
A. 5B. -5C. -11D. 11
5.已知双曲线y29-x27=1，则顶点到渐近线的距离为( )
A. 4 73B. 4 63C. 3 74D. 3 64
6.若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 3倍，圆柱的高为3，则该圆锥的体积为( )
A. 2 3πB. 3πC. 6πD. 9π
7.在▵ABC中，AB=4,AC=2,∠BAC=π3，∠BAC的平分线交BC于D，则AD=( )
A. 33B. 2 33C. 3D. 4 33
8.设实数λ>0，若对任意的x∈(0,+∞)，不等式eλx-lnxλ≥0恒成立，则λ的最小值为( )
A. 1eB. 12eC. 2eD. e3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设抛物线C:x2=4y的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，则下列选项中正确的是( )
A. 抛物线C的准线方程为y=-1B. 若|MF|=3，则点M的纵坐标为2
C. 以MN为直径的圆与直线y=-1相切D. 以MF为直径的圆与直线y=-1相切
10.函数f(x)=Acsωx+b(A>0,ω>0)的图象如图所示，若f(x)的图象与g(x)=aex的图象在x=x0处有公切线，其中x0∈π,2π，则( )
A. A=1,b=1
B. fx-π2为奇函数
C. a=e-3π2
D. f(x)的图象与g(x)=aex的图象在x=x0处的公切线为y=x-3π2+1
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形．AB=12AA1=2，E为棱BB1上的一个点，平面AEC1与棱DD1交于点F，则下列结论正确的有( )
A. 当点E为棱BB1的中点时，AE⊥CD1
B. 当点E为棱BB1的中点时，点D到平面AEC的距离为2 33
C. 存在点E，使得平面ACE⊥平面ACD1
D. 四边形AEC1F的周长的最小值是4 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.lg381-lg98⋅lg23-2lg23= ．
13.盒子中有5个小球，分别标有数字为1，2，3，4，5，这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽取2个小球(不放回)，记取出的两个小球数字分别为m和n，使得关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有实数根的概率为 ．
14.已知实数x1,x2,y1,y2满足：x12+y12=4,x22+y22=4,x1x2+y1y2=0.则x1+y1-2+x2+y2-2的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50,100]内，按区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，绘制频率分布直方图如图，其中在[90,100]内的人数为6．
(1)求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
(2)现将[50,60)和[90,100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的概率和X的数学期望．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=3an+2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{n(an+2n}的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3-ax(a∈R)的图象记为曲线C．
(1)若点A(2,4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程；
(2)若过点B(2,0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数a的值．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0)，过点F且与x轴不重合的直线l交E于A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若在x轴上存在异于F的定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率比值为定值，
①求定点Q的坐标；
②求△ABQ面积的最大值．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥P-ABC中.

(1)若PA⊥BC，PB⊥AC，证明：PC⊥AB；
(2)若AB⊥AC，PB⊥平面PAC，AB=AC=4，
①求三棱锥P-ABC体积的最大值；
②D为平面ABC内一点，且点D与点A位于BC两侧，BD⊥CD，求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.B
5.C
6.B
7.D
8.A
9.ABC
10.ACD
11.BC
12.-12##-0.5
13.12/0.5
14.8
15.解：(1)由题意，得(0.005+a+0.045+0.015+0.01)×10=1，解得a=0.025.参加测试的职工的平均成绩估计为55×0.05+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.1=75
(2)在90,100内的频率为0.01×10=0.1，由题意得总人数为60.1=60，
所以在50,60内的人数为60×0.05=3．
每次抽取取得“黄金搭档组”的概率p=C31C61C92=12，因此X∼B(4,12)，
P(X=2)=C42×(12)2×(1-12)2=38，X的数学期望E(X)=np=4×12=2．

16.解：(1)由于an+1=3an+2n，则an+1+2n+1=3an+2n+2n+1，
化简得an+1+2n+1=3(an+2n)，
又a1+2=3，则an+2n是以3为首项，3为公比的等比数列，
得an+2n=3n，所以an=3n-2n．
(2)由(1)得，an=3n-2n，则n(an+2n)=n⋅3n，则
Sn=1⋅31+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n，①
3Sn=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n⋅3n+1，②
①-②，得
-2Sn=31+32+33+⋯+3n-n⋅3n+1-2Sn=31-3n1-3-n⋅3n+1-2Sn=3-3n+1-2-n⋅3n+1-2Sn=3n+1-32-n⋅3n+1-2Sn=12-n⋅3n+1-32
化简后得Sn=(2n-1)⋅3n+1+34．

17.解：(1)函数f(x)=x3-ax对应图象为曲线C，因为点A(2,4)在曲线C上，
所以4=23-2a⇒a=2，所以f(x)=x3-2x，f'(x)=3x2-2，
设切点为(t,f(t))，切线方程为：y-(t3-2t)=(3t2-2)(x-t)，即y=(3t2-2)x-2t3，
因为切线过点A，所以2t3-6t2+8=0，即t3-3t2+4=0，
t3-2t2-t2-4=0,t2(t-2)-(t-2)(t+2)=0，
(t-2)t2-t-2=0,(t-2)2(t+1)=0，所以t=2或t=-1，
所以切点为(2,4)或(-1,1)，
将t=2或t=-1代入y=(3t2-2)x-2t3，
可得切线方程为：y=10x-16或y=x+2．
(2)函数f(x)=x3-ax，求导得f'(x)=3x2-a，
设切点为(t,f(t))，切线方程为y-(t3-at)=(3t2-a)(x-t)，即y=(3t2-a)x-2t3，
切线过点B(2,0)，则t3-3t2+a=0，
依题意方程有三个不同解，且成等差数列，
设三个不同解为t1,t2,t3，且2t2=t1+t3，
t3-3t2+a=(t-t1)(t-t2)(t-t3)=t3-(t1+t2+t3)t2+(t1t2+t1t3+t2t3)t-t1t2t3，
则t1+t2+t3=3t1t2+t1t3+t2t3=0t1t2t3=-a，结合2t2=t1+t3，得t2=1，t1+t3=2，
t1+t3t2+t1t3=2+t1t3=0，所以t1t3=-2，
所以a=-t1t2t3=2．

18.解：(1)由题意知，c=1，
当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点，
所以c=b=1，所以a= 2，
所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1．
(2)①由题意可设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(t,0) (t≠-1)，
设直线l的方程为x=my-1，
联立x=my-1x2+2y2=2，得(m2+2)y2-2my-1=0，
则y1+y2=2mm2+2，y1y2=-1m2+2，得y1+y2=-2my1y2，
记直线QA的斜率为k1，直线QB的斜率为k2，
则k1k2=y1x1-ty2x2-t=y1(x2-t)y2(x1-t)=y1(my2-1-t)y2(my1-1-t)=my1y2-(1+t)y1my1y2-(1+t)y2=(3+2t)y1+y2y1+(3+2t)y2，
要使k1k2为定值，则3+2t1=13+2t，解得t=-2或t=-1(舍去)，此时k1k2=-1，
故在x轴上存在异于点F的定点Q(-2,0)，使得直线QA与直线QB的斜率比值为定值．
②由①可得y1+y2=2mm2+2，y1y2=-1m2+2，Q(-2,0)，
则y1-y2= (y1+y2)2-4y1y2= 4m2(m2+2)2+4m2+2=2 2 m2+1m2+2
由S▵ABQ=S▵AFQ+S▵BFQ，
故S▵ABQ=12|QF|y1-y2=12⋅2 2 m2+1m2+2= 2 m2+1m2+2，
= 2 m2+1+1 m2+1≤ 22，
当且仅当m=0时等号成立，所以△ABQ面积的最大值为 22．


19.解：(1)设PA=a，PB=b，PC=c，则BC=PC-PB=c-b，
因为PA⊥BC，所以PA⊥BC，所以PA⋅BC=0，所以a⋅(c-b)=0，
所以a⋅c-a⋅b=0 ①
又AC=PC-PA=c-a且PB⊥AC，所以PB⊥AC，所以PB⋅AC=0，
所以b⋅(c-a)=0，所以b⋅c-b⋅a=0 ②
由①②知a⋅c=a⋅b=b⋅c，所以a⋅c-b⋅c=0，

所以c⋅(a-b)=0，又a-b=PA-PB=BA，所以PC⊥BA，即PC⊥AB．
(2)①PB⊥平面PAC，AC⊂平面PAC，所以PB⊥AC，又因为AB⊥AC，PB∩AB=B，
所以AC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，
作PH⊥AB，则PH⊥平面ABC，
由PB⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，则PB⊥PA，
又AB=AC=4，所以PB2+PA2=AB2=16，
所以PA⋅PB≤PA2+PB22=8，当且仅当PA=PB=2 2时取等号，
由S▵ PAB=12PB⋅PA=12AB⋅PH，得PH=PA⋅PBAB≤84=2，
而S▵ ABC=12⋅AB⋅AC=12×4×4=8，
所以VP-ABC=13PH⋅S▵ABC≤23×8=163，
所以三棱锥P-ABC体积的最大值为163．

②取AB的中点O，以O为原点，OB为x轴，过点O且平行于AC的直线为y轴，
过点O且平行于PH的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则PH=PA⋅PBAB=6 25，OP=12AB=2，所以OH2=OP2-PH 2=4-7225=2825，
即OH=2 75，所以P±2 75,0,6 25，设BC与y轴交于点M，则M(0,2,0)，
而DM=12BC=2 2，点D在以BC为直径的半圆上，
设点D2 2csα,2 2sinα+2,0，其中∠DMy=π2-α(-π4