贵阳市七校2026届高三年级联合考试（三）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份贵阳市七校2026届高三年级联合考试（三）数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
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注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回．本卷满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知圆的圆心到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
4. 凹数是数学中数字排列相关概念，是指从左到右先严格单调下降，再严格单调上升的数．若五位数，满足且，则称该五位数是“严格凹数”．则由0，1，2，3，4组成的五位“严格凹数”有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
5. 已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点为外接圆圆心，且，则（ ）
A. B. C. 7D. 14
8. 已知函数其中为自然对数的底数，若函数的3个零点分别为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 在正方体中，，下列判断正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为
B. 异面直线和所成的角为
C. 点到平面的距离为
D. 点是正方体表面上的动点，且平面，则动点的轨迹长度为
11. 在数列中：，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是等差数列
B. 数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为2
C. 数列的通项公式为
D. 数列的前2025项之积为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则___________．
13. 某种产品的销售额与广告费用支出（单位：百万元）之间有如下表对应数据，其中按从小到大排列且的第80%分位数为关于的线性回归方程为：，则___________．
14. 宇称不守恒定律是描述弱相互作用中互为镜像的粒子运动不对称现象的理论，由李政道与杨振宁于1956年2月22日提出，并在1957年因此获诺贝尔物理学奖，成为首位获此殊荣的中国科学家．宇称变换是宇称不守恒定律中的重要概念，在平面直角坐标系中，定义“宇称变换”为点的对称变换（即关于轴对称）．已知函数的图象经过宇称变换后得到的曲线对应的函数为，则的解析式为___________；若存在，使得，则的取值范围为___________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，且，连接．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐角余弦值．
16. 某中学举办的趣味运动会设有三轮闯关游戏环节，每轮设有一个游戏，能成功闯关者进入下一轮游戏，否则即被淘汰；若三轮游戏环节闯关都成功，则该项趣味运动挑战成功．已知甲同学能成功闯关第一、二、三轮游戏环节的概率分别为，且各轮闯关是否成功相互不影响．
（1）求甲同学参加该项趣味运动挑战成功的概率和进入第三轮闯关才被淘汰的概率；
（2）若甲同学在每轮游戏中，闯关成功得5分，失败得0分．求甲同学参与闯关获得累计积分的分布列和数学期望．
17. 已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求角；
（2）若为锐角，边上的中线，求的面积最大值．
18. 已知抛物线，椭圆过点与有相同的焦点是与的等差中项．
（1）求和的方程；
（2）如图所示，曲线是由抛物线的一部分和椭圆的一部分构成的封闭图形．在曲线上，点为上的动点．过点的直线与交于两点．
（i）求直线的斜率的取值范围；
（ii）若的面积为，当时，求直线的方程．
19 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线过原点，求实数的值；
（2）求单调区间；
（3）当时，存在区间，使函数在上的值域为，求实数的取值范围．
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贵阳市七校2026届高三年级联合考试（三）
数学
贵阳六中 贵阳华师—学校 贵州省实验中学 贵阳二中 贵阳八中 贵阳民中
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回．本卷满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集运算即可.
【详解】已知集合，则.
故选：B.
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先计算复数，再计算共轭复数，进而判断共轭复数所在象限.
【详解】，其共轭复数为，复数在复平面上的对应的点的坐标为，该点在第一象限，
故选：A．
3. 已知圆的圆心到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先写出圆心坐标，再由圆心到渐近线的距离为列出方程，再运用离心率公式，即可得解.
【详解】由题得圆心的坐标为，双曲线渐近线方程为，
由于圆心位于轴上，由对称性可知，圆心到双曲线的两条渐近线的距离相等，
故由圆心到双曲线的一条渐近线的距离为可得，
解得，所以双曲线离心率.
故选：C．
4. 凹数是数学中数字排列的相关概念，是指从左到右先严格单调下降，再严格单调上升的数．若五位数，满足且，则称该五位数是“严格凹数”．则由0，1，2，3，4组成的五位“严格凹数”有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】C
【解析】
【分析】根据凹数的定义，中间数一定为0，第一、第二位数只需从余下4个数字中选2个数字即可确定，前两位排完后，后两位数顺序一定.
【详解】根据凹数的定义，中间数一定为0，确定前两位数字有种选法，后两位只有1种选法，故共有6个这样的严格凹数.
故选：C
5. 已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小得到结果；
【详解】因为，
所以.
故选：B．
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方关系得到，即可得解.
【详解】，
，，
又，
.
故选：D．
7. 已知点为外接圆的圆心，且，则（ ）
A. B. C. 7D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的定义结合三角形外接圆的性质可得，，再根据向量的线性运算与数量积的运算转化求解即可得结论.
【详解】取中点为，连接，
因为点为外接圆圆心，
所以，
同理可得，
则.
故选：A．
8. 已知函数其中为自然对数的底数，若函数的3个零点分别为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导确定函数的单调性，从而确定函数的取值情况，得函数的大致图象，结合图象分析可得，构造函数求导证明，即可得所求.
【详解】因为，所以，
令得，所以函数在上递增，在上递增，在上递减，
当，则，当，则，当，则，
又，当，则，且，
则图象大致如下：
若函数3个零点分别为，则方程的3个根分别为，
如图，由题意知，且，
接下来我们需要证明：，
因为，只需证：，即证：，
即，由，
可得：，
则
令，即，
令，则，
又，所以，
所以，故.
故选：A．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、单调性逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，因为为上的奇函数，所以，故A正确；
对于B，由知，的周期为2，则，故B正确；
对于C，由，由于在上单调递增，
则，故C错误；
对于D，由可得，，
又由奇函数可得，故，
所以，则，故D正确.
故选：ABD．
10. 在正方体中，，下列判断正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为
B. 异面直线和所成的角为
C. 点到平面的距离为
D. 点是正方体表面上的动点，且平面，则动点的轨迹长度为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三棱锥等体积法求解三棱锥的体积即可判断A；根据异面直线夹角的定义转化求解即可判断B；利用等体积转化求解点到平面的距离即可判断C；利用面面平行的判定定理可得平面平面，分析可得动点的轨迹，从而可判断D.
详解】
，故A错误；
连接，，在正方体中，有，则四边形为平行四边形，
所以，则与的夹角等于与的夹角，即为所求，
又为等边三角形，所以，故B正确；
设点到平面的距离为，
，
，所以故C错误；
因为，所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为平面，所以平面平面，
若平行于平面，则平面，
又因为在正方体表面上，所以的轨迹为平面与正方体表面的交线，
轨迹长度为的周长，故D正确.
故选：BD．
11. 在数列中：，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是等差数列
B. 数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为2
C. 数列的通项公式为
D. 数列的前2025项之积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据取倒数法证明数列是等差数列；裂项相消法计算前项和，进而计算参数的最值；根据等比数列求解通项公式；利用等比数列的求和公式计算数列的前2025项之积；
【详解】对于A，由得：，又，所以数列是以首项为1、公差为的等差数列，所以A选项正确；
对于B，由上可知，
所以，
所以，
所以的最小值为，则B选项错误；
对于C，由得：，
所以，
又，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以，所以C选项正确；
对于D，由得，所以数列的前2025项之积为
，所以D选项正确，
故选：ACD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简求值即可.
【详解】.
故答案为：.
13. 某种产品的销售额与广告费用支出（单位：百万元）之间有如下表对应数据，其中按从小到大排列且的第80%分位数为关于的线性回归方程为：，则___________．
【答案】60
【解析】
【分析】首先根据百分位数的定义求出，然后求出样本中心点，最后利用回归方程经过样本中心点即可求出.
【详解】有5个数据，分位数为．
又，
样本中心点为，代入回归方程得，解得．
故答案为：60
14. 宇称不守恒定律是描述弱相互作用中互为镜像的粒子运动不对称现象的理论，由李政道与杨振宁于1956年2月22日提出，并在1957年因此获诺贝尔物理学奖，成为首位获此殊荣的中国科学家．宇称变换是宇称不守恒定律中的重要概念，在平面直角坐标系中，定义“宇称变换”为点的对称变换（即关于轴对称）．已知函数的图象经过宇称变换后得到的曲线对应的函数为，则的解析式为___________；若存在，使得，则的取值范围为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据“宇称变换”设在上得关于轴对称的点在上，从而得的解析式；由题可知关于的方程在上有两个不同实数解，从而可得的取值范围.
【详解】设在上，关于轴对称的点在上，
即，
所以，
由题可知关于的方程在上有两个不同实数解，
令，则有，
故的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，且，连接．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐角余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦.
【小问1详解】
如图所示，取的中点，连接，，
所以，则四边形是平行四边形，故，
同理，四边形是平行四边形．
又因为，所以四边形是菱形，故，
所以，
又因为平面平面，所以．
又因为平面平面，
所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
【小问2详解】
如图所示，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则有，
所以，
设平面的法向量为，
则有，故可取，
由（1）可知平面的法向量为，
因为，
所以平面与平面所成锐角的余弦值为．
16. 某中学举办的趣味运动会设有三轮闯关游戏环节，每轮设有一个游戏，能成功闯关者进入下一轮游戏，否则即被淘汰；若三轮游戏环节闯关都成功，则该项趣味运动挑战成功．已知甲同学能成功闯关第一、二、三轮游戏环节的概率分别为，且各轮闯关是否成功相互不影响．
（1）求甲同学参加该项趣味运动挑战成功的概率和进入第三轮闯关才被淘汰的概率；
（2）若甲同学在每轮游戏中，闯关成功得5分，失败得0分．求甲同学参与闯关获得累计积分的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的概率公式即可求解；
（2）的可能取值为0，5，10，15分，根据独立事件的概率公式分别求概率，即可得到分布列，利用期望公式即可求出期望.
【小问1详解】
记甲同学挑战成功的事件为，进入第三轮才被淘汰的事件为，
，
.
【小问2详解】
记为甲同学的累计积分，则的可能取值为0，5，10，15分，
，
，
，
，
甲同学参与闯关获得累计积分的分布列如下：
甲同学参与闯关获得累计积分的数学期望为.
17. 已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求角；
（2）若为锐角，边上的中线，求的面积最大值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理化简等式，结合两角和的正弦公式和三角形中角的范围计算角的大小；
（2）根据平面向量运算以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值.
【小问1详解】
在三角形中，由正弦定理得：
．
中，，，
，，
或．
【小问2详解】
为锐角，，
为的中点，，，
，即，
根据重要不等式知：，
，当且仅当时，等号成立．
因此，的面积最大值为
18. 已知抛物线，椭圆过点与有相同的焦点是与的等差中项．
（1）求和的方程；
（2）如图所示，曲线是由抛物线的一部分和椭圆的一部分构成的封闭图形．在曲线上，点为上的动点．过点的直线与交于两点．
（i）求直线的斜率的取值范围；
（ii）若的面积为，当时，求直线的方程．
【答案】（1），
（2）（i）；（ii）或
【解析】
【分析】（1）根据曲线上的点与等差中项的性质，求得的值，从而得椭圆的方程，再由焦点坐标确定抛物线的方程；
（2）（i）联立与可得点的坐标，设的方程为：，联立直线与椭圆方程由的的值，从而可得切线斜率的值，从而直线的斜率的取值范围；（ii）设，结合抛物线定义及对称性即可得点坐标，再由两交点的坐标关系，结合的面积列方程解得直线的斜率，从而得直线方程.
【小问1详解】
过点，，
又是与的等差中项，
,解之得，，
椭圆的方程为：；
焦点，又与有相同的焦点，
；
【小问2详解】
（i）联立与，，
解之得，，
设的方程为：，联立，
则直线与相切时，，得，
则切线斜率，所以；
又，
直线的斜率的范围是；
（ii）设，
，．
，由对称性，不妨取，
设，由（i）得，
由弦长公式得，
设点到直线的距离为，
，
解之得，由椭圆的对称性，另一个解为，
，
由（i）得斜率的范围是符合，
综上可得直线的方程为：或．
19. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线过原点，求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）当时，存在区间，使函数在上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数工具计算即可求解；
（2）利用导数工具结合二次函数性质分和两种情况分析导函数正负情况即可求解.
（3）先化简，接着求导证明其单调性，由值域关系转化为方程在上至少有两个不同的根，分离参数得到，进而将问题转化为函数与的图象至少有两个不同交点，再利用导数工具研究函数的单调性，结合、即可分析求解.
【小问1详解】
因为，所以．
由题意知．
【小问2详解】
由，函数定义域为，
所以当时，恒成立，在上单调递减，
当时，令，因为，所以，
易知时，时，，
因此的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问3详解】
由题意知，
又对恒成立，所以，即在为增函数．
因为，且在上的值域为，
所以．
由此得在上至少有两个不同的根，
由，令，
则问题转化为函数与的图象至少有两个不同交点．
由，又令，
得，
所以在单调递增，
又，故时，单调递减，
时，单调递增，
又，，
结合图象，得，即，
因此的取值范围是．
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