广东省深圳市盐田区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题-普通用卷

这是一份广东省深圳市盐田区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题-普通用卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图是我们生活中常用的“空心卷筒纸”，其俯视图为( )
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程x2−2x=0时，应在方程两边同时加上( )
A. 1B. 2C. −1D. 4
3.如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1,l2,l3所截，AB=3,BC=4,EF=8，则DF的长为( )
A. 5B. 6C. 9D. 14
4.一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球(除颜色外其余均相同)，其中有5个蓝球，m个红球，还有n个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则m的值最可能是( )
A. 12B. 3C. 10D. 5
5.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30 ∘，AB=2，则BD的长为( )
A. 2B. 3C. 2 3D. 4
6.为了测量旗杆的高度，同学们测得阳光下旗杆的影长为2m，同一时刻长度为1m的标杆影长为0.4m，则旗杆的高度为( )
A. 0.2mB. 0.8mC. 5mD. 4m
7.如图，点A是反比例函数y=2xx>0图象上任意一点，过点A且平行于x轴的直线交反比例函数y=−3xxAD)，以点D为直角顶点在△ABC内作等腰直角△DEC.按此方式继续构造等腰直角三角形，可以设计出如图所示的图案．若AB的长为10cm，则D，C两点之间的距离为 cm.
13.如图，正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90 ∘得到CF，连接EF.过点C作CM⊥EF，交EF,BD,AD分别于点G，H，M.若BE=1,EC=5，则MHHC的值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
14.解下列方程：
(1)x2=2x
(2)x2−4x+1=0
四、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题7分)
深圳盐田是深圳东部的一个滨海城区．它以其独特的山海资源、历史文化和多元体验成为热门旅游目的地．周末甲、乙两人从以下四个景区：A.大梅沙海滨公园，B.中英街，C.梧桐山国家森林公园，D.小梅沙海洋世界，随机选取一个景区参观游玩．假设这两人选择哪个风景区参观游玩不受任何因素影响，且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同．
(1)甲选择到“中英街”参观游玩的概率为 ；
(2)甲去过“小梅沙海洋世界”，乙去过“梧桐山国家森林公园”，如果各自去过的风景区不再选择，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率．
16.(本小题7分)
如图1、图2均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹．
(1)在图1中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC位似；
(2)在图2中的线段AB上画一个点P，使APPB=14.
17.(本小题8分)
随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的2个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是每季度6万辆，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能每季度将减少0.2万辆，设增加了x个工厂．
(1)一个工厂每季度的最大产能为 万辆(用含x的代数式表达)；
(2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
18.(本小题8分)
如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点．
(1)请从下列条件：①DF=BE；②AF=CE；③AE=CE；④∠DAF=∠BCE中选择一个能证明四边形AECF是菱形的条件，并写出完整证明过程．我选择条件_____________(填序号)，证明如下．
(2)若正方形ABCD和菱形AECF的面积分别为10，6，求DFEF的值．
19.(本小题12分)
综合与实践
在美化校园的活动中，某兴趣小组准备借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用长为m米的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，使得矩形花园ABCD的面积恰好等于篱笆的长度，组员把这样的矩形命名为“完美矩形”．在围的过程中，兴趣小组提出问题：一定能围出“完美矩形”吗？如果能围出，那么对篱笆长度有什么要求？
(1)由简单情形入手，分析问题假设篱笆长为4米，即m=4时，设AB=x米，BC=y米，根据题意可得x+y=4xy=4，解得x= ，y= ，即当篱笆长为4米时，可以围出“完美矩形”；
(2)建立函数模型，画出函数图象
设AB=x米，BC=y米，依题意得x+y=xy，得到y与x的函数关系式为y=xx−1.再由篱笆长为m米，得x+y=m，即y=−x+m.兴趣小组的思路是用函数y=xx−1与函数y=−x+m来研究，作出两个函数的图象，如果两个图象在第一象限有交点，说明可以围出“完美矩形”．
接下来先画函数y=xx−1的图象：
列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算出y对应的值，如表格所示，
描点：以表中各对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
任务：
①上面表格中，p=___________，q=___________；
②请你将下图中直线x=1两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来；
(3)观察函数图象，数形结合解决问题
①一次函数y=−x+m的图象可由直线y=−x平移得到．当直线平移到与函数y=xx−1x>0的图象有唯一交点时，此时交点坐标为2,2，继续移动……由此，兴趣小组得出了能围出“完美矩形”的篱笆长m的范围，请你写出m的取值范围，并说明理由；
②在直线平移的过程中，直接写出当m为163时“完美矩形”的长．
20.(本小题12分)
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”．
如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC和∠ADC，那么对角线BD叫做四边形ABCD的“等分线”，四边形ABCD就称为“等分对角四边形”．
问题：
(1)下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中是“等分对角四边形”的有 ；(填序号)
(2)四边形ABCD是“等分对角四边形”，∠ABC=90 ∘,∠BAD=60 ∘,AD=2，求四边形ABCD的“等分线”的长；
解：①当AC为“等分线”时，如图2所示：
……
②当BD为“等分线”时……
请画出相应的图形并写出此题完整的解答过程．
(3)如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠ABC=60 ∘，点E,F,G分别在边AD,BC和AB上，BE与GF交于点P，点Q是线段EF上任意一点，连接PQ，若四边形BGEF是“等分对角四边形”，“等分线”是GF，求线段PQ的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】根据俯视图的定义去判断即可．
本题考查了几何体的俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键．
【详解】解：该几何体的俯视图是：
，
故选：C.
2.【答案】A
【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程时，若二次项系数为1，那么需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，据此求解即可．
【详解】解：x2−2x=0
x2−2x+−222=−222，即x2−2x+1=1，
∴用配方法解一元二次方程x2−2x=0时，应在方程两边同时加上1，
故选：A.
3.【答案】D
【解析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：∵l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF.
将AB=3,BC=4,EF=8代入，得34=DE8.
解得DE=6，
故DF=DE+EF=6+8=14.
故选：D.
4.【答案】A
【解析】由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值，再乘以球的总个数即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值0.6，
所以估计袋中红球的个数为：20×0.6=12(个)，
故选：A.
5.【答案】D
【解析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形，根据含30度的直角三角形的性质，得到AC=2AB，根据矩形的对角线相等，得到BD=AC即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90 ∘,BD=AC，
∵∠ACB=30 ∘，AB=2，
∴AC=2AB=4，
∴BD=AC=4；
故选D.
6.【答案】C
【解析】本题考查的是相似三角形的应用，设旗杆的高度为hm，根据同一时刻物高与影长成正比列出比例式求解即可．
【详解】解：设旗杆的高度为hm，
∵阳光下旗杆的影长为2m，同一时刻长度为1m的标杆影长为0.4m，
∴10.4=h2，
∴h=5，
∴旗杆高度为5m，
故选：C.
7.【答案】B
【解析】本题考查反比例函数y=kxk≠0的系数k的几何意义，熟练掌握从反比例关系函数y=kxk≠0的图象上任意上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为k是解题的关键．
连接OA、OB，设AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数y=kxk≠0的系数k的几何意义得到S△AOE=12×2=1，S△BOE=12×3=32，则平行四边形ABCD的面积=2S△OAB=5.
【详解】解：连接OA、OB，设AB交y轴于E，如图，
∵平行四边形ABCD，
∴AB//x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S△AOE=12×2=1，S△BOE=12×3=32，
∴S△OAB=S△AOE+S△BOE=1+32=52，
∵平行四边形ABCD，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△OAB=2×52=5.
故选：B.
8.【答案】D
【解析】通道的宽为xm，根据题意，得(20−4x)(15−2x)=15×20×(1−56%)，解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．
【详解】解：设通道的宽为xm，根据题意，得(20−4x)(15−2x)=15×20×(1−56%)，
故选：D.
9.【答案】12
【解析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵2a=b，且b≠0，
∴两边同时除以b，得2ab=1，即2⋅ab=1，
∴ab=12，
故答案为：12.
10.【答案】4
【解析】本题考查了一元二次方程的解，把x=3直接代入方程即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：将x=3代入方程x2−kx+3=0，
得32−k⋅3+3=0，
解得k=4，
故答案为：4.
11.【答案】4.8
【解析】解：根据题意知：∠ACO=∠BDO=90∘，∠AOC=∠BOD，则△AOC∽△BOD，
所以ACBD=AOBO.
因为AO=1.2m，OB=3.6m，AC=0.6m，
所以1.6BD=
所以BD=4.8cm.
故答案为：4.8.
根据题意可得：△AOC∽△BOD，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．
利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
12.【答案】5 5−5
【解析】本题考查黄金分割的性质，正确掌握黄金分割的性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形，得出AC，再根据黄金分割点，得CDCA= 5−12，计算即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=10cm，
∴AC=AB=10cm，
∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴CDCA= 5−12，
∴ CD=5 5−5，
则D，C两点之间的距离为5 5−5cm.
故答案为：5 5−5.
13.【答案】34
【解析】连接DF,AC，证明△BCE≌△DCF，推出DF=BE=1，∠CBE=∠CDF=45 ∘，由旋转的性质和勾股定理求出EF=5 2，再求出∠EDF=90 ∘，利用勾股定理求出DE的长，则可求出BD的长，进而求出正方形的边长，证明△ACM∽△DCF，可得AM的长，则可得DM的长，再证明△MDH∽△CBH，利用相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接DF,AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AD，∠BCD=90 ∘，∠CBE=∠BDC=∠ACD=∠CAD=45 ∘，AD//BC，
由旋转的性质得CE=CF,∠ECF=90 ∘，
∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90 ∘，即∠BCE=∠DCF，
∴△BCE≌△DCFSAS，
∴DF=BE=1，∠CBE=∠CDF=45 ∘，
∵CE=CF=5,∠ECF=90 ∘，
∴EF= CE2+CF2=5 2，
∵∠EDF=∠BDC+∠CDF=90 ∘，
∴DE= EF2−DF2= 5 22−12=7，
∴BD=BE+DE=8；
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD= BC2+CD2= 2BC，
∴AD=BC=4 2；
同理可得AC= 2CD，
∵CE=CF,CM⊥EF,∠ECF=90 ∘，
∴∠MCF=12∠ECF=45 ∘=∠ACD，
∴∠ACD−∠DCM=∠MCF−∠DCM，
∴∠ACM=∠DCF，
又∵∠CAM=∠CDF=45 ∘，
∴△CAM∽△CDF，
∴AMDF=ACCD= 2，
∴AM= 2，
∴DM=3 2；
∵AD//BC，
∴△MDH∽△CBH，
∴MHHC=MDBC=3 24 2=34，
故答案为：34.
14.【答案】【小题1】
解：x2=2x，
x2−2x=0，
xx−2=0，
则x=0或x−2=0，
解得：x1=0，x2=2；
【小题2】
解：x2−4x+1=0，
x2−4x=−1，
x2−4x+4=−1+4，
x−22=3，
x−2=± 3，
解得：x1=2+ 3，x2=2− 3.

【解析】1.
本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
利用因式分解解方程即可；
2.
利用配方法解方程即可．
15.【答案】【小题1】
14
【小题2】
解：列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的结果数有2种，
∴甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率为29.

【解析】1.
本题考查了简单的概率计算，用列表法或画树状图法求概率，熟知概率公式是解题的关键．
直接利用概率公式求解即可；
【详解】解：∵一共有四个景区，且每个景区被选择的概率相同，
∴甲选择到“中英街”参观游玩的概率为14；
2.
先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的结果数，最后根据概率公式求解即可．
16.【答案】【小题1】
解：如图1所示，△ADE即为所求；
【小题2】
解：如图2所示，点P即为所求．

【解析】1.
本题主要考查了画位似三角形，相似三角形的性质与判定，熟知位似三角形和相似三角形的相关知识是解题的关键．
取格点E，连接DE，则△ADE即为所求，利用网格的特点和勾股定理可证明ADAB=DEBC=AEAC=13，则△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似三角形；
2.
取格点C、D，连接CD交AB于点P，则点P即为所求，可证明△ADP∽△BCP，则APPB=ADBC=14.
17.【答案】【小题1】
6−0.2x
【小题2】
解：由题意得：2+x6−0.2x=27，
解得：x1=25，x2=3，
∵增加产能同时又节省投入成本，
∴x=3，
∴应该再增加3个工厂．

【解析】1.
本题主要考查列代数式、一元二次方程的实际应用，根据题意列出正确的一元二次方程是解题的关键．
根据题意列出代数式即可；
【详解】解：∵一个工厂的最大产能是每季度6万辆，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能每季度将减少0.2万辆，
∴一个工厂每季度的最大产能为6−0.2x万辆，
故答案为：6−0.2x；
2.
根据题意列出一元二次方程并进行求解，再结合增加产能同时又节省投入成本的条件选择合适的解即可．
18.【答案】【小题1】
解：我选择条件①，证明如下：
如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
∵DF=BE，
∴OD−DF=OB−BE，
即OF=OE.
∵OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
我选择条件②，证明如下：
如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠AOF=∠COE=90 ∘.
∵AF=CE，OA=OC，
∴Rt△AOF≌Rt△COE(HL)，
∴OF=OE.
又∵OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
我选择条件④，证明如下：
如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∠ADF=∠CBE=45 ∘，AD=BC，
∵∠DAF=∠BCE，AD=BC，∠ADF=∠CBE，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴DF=BE，
∴OD−DF=OB−BE，
即OF=OE.
又∵OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【小题2】
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵正方形ABCD的面积为10，
∴正方形ABCD的边长为 10，
∴对角线AC=BD= ( 10)2+( 10)2=2 5，
∴OB=OD=12BD= 5.
∵菱形AECF的面积为6，
∴12×AC⋅EF=6，
∴EF=2×6AC=122 5=6 55，
∴OF=OE=12EF=3 55，
∴DF=OD−OF= 5−3 55=2 55，
∴DFEF=2 556 55=13.
答：DFEF的值为13.

【解析】1.
本题主要考查正方形的性质，菱形的性质与判定，正方形和菱形的面积，熟练掌握以上知识点是做题的关键．
根据正方形的性质和菱形的判定定理即可证明；
2.
根据正方形和菱形的面积即可求值．
19.【答案】【小题1】
2
2
【小题2】
解：①在y=xx−1中，当x=0时，y=00−1=0，
当x=4时，y=44−1=43，
∴p=0,q=43；
②如图所示，即为所求；
【小题3】
解：①m≥4，理由如下：
联立y=−x+my=xx−1得x2−mx+m=0，
∵关于x的一元二次方程x2−mx+m=0有实数根，
∴Δ=−m2−4m≥0，
∴m≥4或m