内蒙古包头市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份内蒙古包头市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回．等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效．
4.考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2. 已知数列的首项为，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为6米，深度为1米，那么抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A 米B. 米C. 米D. 米
7. 若圆上到直线的距离为1的点恰有三个，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法－商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 当在内变化时，方程表示曲线可以是（ ）
A 圆B. 两条直线
C. 焦点在轴上的椭圆D. 焦点在轴上的双曲线
10. 在空间直角坐标系中，已知点，，，为坐标原点，则下列说法正确是（ ）
A. B. 点在平面内
C. 三角形的面积为D. 三棱锥的体积为
11. 已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点．记圆心的轨迹为曲线，若曲线与轴的交点为，曲线上任意一点（与不重合）关于轴的对称点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线的方程为
B. 最小值为
C.
D. 直线与直线斜率的乘积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分．
12. 抛物线上与焦点距离等于5的点的坐标是______．
13. 已知是等比数列的前项和，公比为，，，成等差数列．则______．
14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
16. 已知圆经过，，并且圆心在轴上．
（1）求圆的方程；
（2）记圆，求圆与圆的公共弦所在直线方程；并求得公共弦长．
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，．，是的中点，是的中点，作交于点．
（1）求证：平面：
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的正弦值．
18. 已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列：
（2）求；
（3）令，证明：．
19. 椭圆，曲线恰好经过椭圆的两个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，，直线，分别与另一个交点分别为点，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）记，的面积分别是，，求的最小值，并求出取得最小值时，直线的方程．
2025－2026学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷
数学
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效．
4.考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.
【详解】因为的斜率，
所以其倾斜角为30°.
故选：A.
2. 已知数列的首项为，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】运用代入法判断数列的周期，利用数列的周期进行求解即可.
【详解】因为，且，
所以，，
，所以该数列的周期为，
因此.
故选：D
3. 如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的加法和中点的性质来表示即可.
详解】
.
故选：A
4. 对称轴都在坐标轴上等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解.
【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程，
则，求解可得，
所以双曲线的标准方程为，即.
故选：C.
5. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用中位线将与平移到一个平面内，然后求线段长，求其夹角或其补角.
【详解】设正三棱柱中，，则，
取中点，中点，中点，连接、、，
如图，
，且，
，且，
(或其补角)就是异面直线与所成的角.
在中，，，
，
故.
同理，在 中，，，
，
故.
过作于，连接，
，故是中点，
所以，又，
所以
在中：
，，，
所以是等腰三角形，且.
所以与所成的角为其补角.
故选：B.
6. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为6米，深度为1米，那么抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】先建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，再根据已知条件确定抛物线上一点的坐标，代入方程求出的值，最后根据抛物线焦点到顶点的距离与的关系得出结果.
【详解】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为.
已知接收天线的口径为6米，深度为1米，那么抛物线上一点的坐标为.
代入抛物线方程，得，.
所以抛物线的焦点到抛物线的顶点距离为米.
故选：B
7. 若圆上到直线的距离为1的点恰有三个，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得点到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式计算即可求解.
【详解】由题意知，圆心为，半径为，
因为圆上有3个点到直线的距离为1，
所以点到直线的距离为，
即，解得.
故选：D
8. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法－商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列举出的取值，通过找规律找出具体的取值规律得出通项公式，然后利用裂项法求和.
【详解】由题可知；；；；
所以，
所以=2
.
所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 当在内变化时，方程表示的曲线可以是（ ）
A. 圆B. 两条直线
C. 焦点在轴上的椭圆D. 焦点在轴上的双曲线
【答案】AB
【解析】
【分析】通过对参数在区间内的不同取值情况进行分类，将方程化为不同曲线的标准方程形式，进而判断曲线类型.
【详解】当时，方程变为，即，表示两条平行于轴的直线，
当时，方程变为，表示一个以原点为圆心，半径为1的圆，
当时，方程可化为，因为，所以，此时方程表示焦点在轴上的椭圆，
当时，方程可化为，这符合双曲线的标准方程，表示焦点在轴上的双曲线，
综上所述，当在内变化时，方程可以表示圆、两条直线、焦点在轴上的椭圆或焦点在轴上的双曲线.对比选项可知，该方程表示的曲线可以是圆或两条直线.
故选：AB.
10. 在空间直角坐标系中，已知点，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 点在平面内
C. 三角形的面积为D. 三棱锥的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数量积的坐标运算即可求解AC，根据，即可求解B，根据向量模长公式求解点面距离，即可根据锥体体积公式求解D.
【详解】由于,故，即，则，A正确，
由于，故共面，因此在平面内，B正确，
由可知三角形为直角三角形，，
故其面积为，C错误，
设平面的法向量为，则令，则，故，
则点到平面的距离，故三棱锥的体积为，D正确，
故选：ABD
11. 已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点．记圆心的轨迹为曲线，若曲线与轴的交点为，曲线上任意一点（与不重合）关于轴的对称点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线的方程为
B. 的最小值为
C.
D. 直线与直线斜率的乘积为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可得到曲线的方程，判断选项A，利用椭圆的性质，即可判断选项BC，设坐标，表示出直线与直线斜率的乘积，即可判断选项D.
【详解】由题知，，，圆半径为，圆半径为，
设，圆半径为，则，，
所以，
所以点轨迹即曲线为以为焦点的椭圆，
且点不能在该椭圆的左顶点处，
其中，，
所以曲线的方程为，A错误；
又即为的补角，
所以最小时，最大，
而最大时，点在曲线的上顶点处，
所以，
所以，B正确；
由上述可得，即，C错误；
由题知，，设，则，
所以，
又，即，
所以，D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分．
12. 抛物线上与焦点距离等于5的点的坐标是______．
【答案】或
【解析】
【分析】由抛物线焦半径公式计算即可.
【详解】设抛物线上与焦点距离等于5的点的坐标为，由抛物线焦半径公式得，，即，代入抛物线方程可得，，解得，
所以点的坐标为：.
故答案为：或.
13. 已知是等比数列的前项和，公比为，，，成等差数列．则______．
【答案】##
【解析】
【分析】由，利用等比数列求和公式列方程求解即可.
【详解】当，，，，显然，，不能成等差数列，
所以，由，，成等差数列，所以，
即，化简方程可得：，
由且，解得.
故答案为：.
14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】先由椭圆求公共焦点，利用角平分线定理得，并结合分点坐标求横坐标；再根据椭圆定义和距离公式联立得，的方程组；最后解方程组得线段长，由双曲线定义求，并代入求出离心率即可.
【详解】
因为椭圆 ，所以，得 ，
故双曲线焦点为 、，所以，
设 ，，因为 平分 ，
所以由角平分线定理：，
又因为 ，所以 ，即 分 的比为 ，
因为 在 轴上，横坐标为 ，由分点坐标公式：，解得 ，
因为，即 ，
又因为，，
两式平方相减消去 ：，
化简得 ，代入 ，得 ，即 ，
则 ，解得 ，，
所以，得 ，
所以 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）
（2），-25
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由通项公式求解.
（2）求解的表达式，即可根据二次函数的性质求解最值.
【小问1详解】
设数列的公差为，
由题意可知，解得．
所以．
【小问2详解】
因为，
所以当时，取得最小值，最小值为．
16. 已知圆经过，，并且圆心在轴上．
（1）求圆的方程；
（2）记圆，求圆与圆的公共弦所在直线方程；并求得公共弦长．
【答案】（1）
（2），．
【解析】
【分析】（1）根据圆的性质，结合线段的中垂线的性质进行求解即可；
（2）两个圆的方程相减得到相交弦方程，再结合点到直线距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
由于的中点为且，
所以的中垂线的斜率为．
所以的中垂线方程为．
因为圆心在的中垂线上且在轴上，所以令，则．所以圆心．
圆的半径，即圆的标准方程为；
【小问2详解】
将两圆方程联立，
两式相减得，所以公共弦所在方程为，
由于到直线的距离为，
所以公共弦的长为．
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，．，是的中点，是的中点，作交于点．
（1）求证：平面：
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量运算得出线线垂直，即可得出线面垂直；
（2）利用向量得出，即可证明；
（3）求出平面法向量，利用二面角的向量求法得解.
【小问1详解】
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得，，，，
，，故．
所以．
由已知，且，、平面，
所以平面．
【小问2详解】
证明：由，，故，
由（1）知为平面的法向量，
由，则，
显然平面，所以平面．
【小问3详解】
设平面的法向量为，
则，可取，
平面的一个法向量为，
则．
设平面与平面的夹角为，
所以平面与平面的夹角的正弦值为
18. 已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列：
（2）求；
（3）令，证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）要证明数列 为等比数列，可先根据等比数列的定义，再通过对已知递推公式进行变形，得到 为常数；
（2）先根据（1）求出 的表达式，再利用分组求和法求出 的值；
（3）先求出的表达式，再通过单调性比较与的大小，最后证明.
【小问1详解】
因为，则，
因为，
即，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
【小问2详解】
由（1）可知，所以，
则．
【小问3详解】
由（2）可知，所以，
，
显然，则，即，
设，由于单调递增函数，
所以单调递减．
则关于单调递减，所以，
综上．
19. 椭圆，曲线恰好经过椭圆的两个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，，直线，分别与另一个交点分别为点，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）记，的面积分别是，，求的最小值，并求出取得最小值时，直线的方程．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），．
【解析】
【分析】（1）先求得抛物线与坐标轴的交点，从而得到椭圆的焦点和顶点求解；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理探究；（ⅱ）由（ⅰ）设，，直线，与抛物线方程联立，利用弦长公式求得，，再与椭圆方程联立求得，由求解.
【小问1详解】
由于椭圆的焦点在轴，顶点在轴，
抛物线与坐标轴的交点分别为，，，
所以椭圆的焦点为，，顶点为，
则，，，
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
（ⅰ）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
与抛物线联立，，消去y得，
，设，，
则，，
由于，，
所以，
所以，即．
（ⅱ）由（ⅰ）可知设，，
则直线，与抛物线方程联立，，
解得，或
即，则．
同理．
又直线与椭圆联立，得，
所以，，
同理．
，
等号当且仅当时取得最小值，最小值为．
此时由于A点坐标为，则直线的方程为．