内蒙古包头区2025-2026学年度高一年级上学期期末教学质量检测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份内蒙古包头区2025-2026学年度高一年级上学期期末教学质量检测数学试题（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 函数的图象如图所示， 已知正数满足，则 的最小值为， 已知，则大小关系为， 下列命题正确是， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定位置.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1. 若全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
3. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的图象如图所示.则可能是（）
A. B. ，
C. ，D. ，
6. 已知正数满足，则 的最小值为（ ）
A. 4B. C. 5D.
7. 已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（ ）．
A. B.
C. 或D.
8. 已知，则大小关系为（ ）
A. c>a>bB. c>b>aC. b>c>aD. a>c>b
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “，”的否定是“，”
D. 命题“，”是假命题
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若角为锐角，则角为钝角
B. 是第三象限角
C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2 rad
11. 对于任意表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称
B. 函数的值域为
C. 对于任意的，不等式恒成立
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的终边经过点，若，则______.
13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当，________．
14. 已知函数，则不等式的解集是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，求值；
（2）已知，，用，表示.
16. （1）若，且，求的值.
（2）已知，求的值.
17. 对于函数.
（1）探索函数的单调性；并证明.
（2）是否存在实数使函数为奇函数?如果存在求出值，如果不存在说明理由.
18. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．
（1）假设小王将上述10万元只用于经销产品，则他能获得的收益是多少？若只用于经销产品，他的收益是多少？
（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．
19. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知．
（1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由；
（2）若，求的最小值；
（3）设函数，求证：其定义域内有且仅有两个零点．
2025-2026学年度第一学期高一年级期末教学质量检测
数学
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定位置.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1. 若全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算，再计算交集得到答案.
【详解】因为，集合，
所以，，则.
故选：B
2. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】对A和C，根据条件，通过取特殊值检验，即可判断出正误；对B和D，根据条件，通过作差法，即可判断正误.
【详解】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，因为，又，则，所以，
得到，所以B错误，
对于C，取，显然满足，此时，
不满足，所以C错误，
对于D，因为，又，则，
所以，得到，所以D正确，
故选：D.
3. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二分法可得答案.
【详解】已知 ，，
根据零点存在定理，函数在区间 内有零点，
区间中点 ，
，
由，，及零点存在定理知：
零点位于区间 内，
下一步应考察的区间为 .
故选：A
4. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出函数的对称轴，依题意可得或，解得即可.
【详解】函数的对称轴为，
依题意或，
解得或，所以实数的取值范围是.
故选：C
5. 函数的图象如图所示.则可能是（）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】用排除法和特殊值，逐一排除不符合的选项，即可得出结果.
【详解】由图象过， ，知不正确，
由， ，知不正确，
由图象为曲线， 是一次函数，图象为直线，知D不正确，
显然该图象符合对数函数解析式.
故选：A.
6. 已知正数满足，则 的最小值为（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正数满足，
所以，
即，当且仅当时取等号，
因此当时，的最小值为.
故选：B
7. 已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（ ）．
A. B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】由关于x的不等式的解集为或，可得到，化简，解不等式，即可求得答案.
【详解】由关于x的不等式的解集为或，
可知，且-2和1是方程的两根，
故由根与系数的关系得，即得，
又，故不等式为，即，解得，
故选：B
8. 已知，则的大小关系为（ ）
A. c>a>bB. c>b>aC. b>c>aD. a>c>b
【答案】B
【解析】
【分析】由换底公式求出，对数函数单调性判断出，与分别与比较，可判断出大小关系.
【详解】，，，
∵，，，，，
∴.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “，”的否定是“，”
D. 命题“，”是假命题
【答案】ABD
【解析】
【分析】从充分性，必要性两个方面分析可判断AB；利用全称命题的否定规则可判断C；利用一元二次方程判别式以及存在命题的真假性可判断D.
【详解】对于A选项：若 ，则必有 ，充分性成立；
反之，若 ，不一定有 （例如 且 ），必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对于B选项：若 ，则 ，不等式两边同乘以，得，即，充分性成立；
反之，取 ，满足 ，但不满足 ，必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于C选项：全称命题“”的否定应为“”，
而选项给出“”，C错误；
对于D选项：方程 的判别式 ，无实数根，
故命题“”为假，D正确.
故选：ABD
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若角为锐角，则角为钝角
B. 是第三象限角
C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2 rad
【答案】CD
【解析】
【分析】利用举反例可判断A项错误；找到与终边相同的角即可判断B项；利用扇形弧长与面积公式，借助于二次函数的值域即可判断C，D两项.
【详解】对于A，若取为锐角，但也是锐角，故A错误；
对于B，，即与终边相同，为第二象限角，故B错误；
对于C，设扇形半径为，依题，，解得，
则扇形面积为，故C正确；
对于D，设扇形半径为，弧长为，则，
扇形面积为，
故当时，扇形面积最大，此时，，扇形圆心角为rad，故D正确.
故选：CD.
11. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称
B. 函数的值域为
C. 对于任意的，不等式恒成立
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合取整函数定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项.
【详解】对于A：当时，，当时，，
所以，不是奇函数，即函数图象不是关于原点对称，故A错误；
对于B：由取整函数的定义知， ，所以，
，函数的值域为，故B正确；
对于C：由取整函数的定义知，，，
所以，故C正确；
对于D：由得，解得，
结合取整函数的定义可得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的终边经过点，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数定义求值即可.
【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，
所以，
故答案为：
13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当，________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合奇函数的性质，即可求解.
【详解】当时，，因此，因为函数是定义在R上的奇函数，所以.
故答案为：.
14. 已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数解析式判断的单调性，令，应用奇偶性的定义判断的奇偶性，进而确定的对称中心，再由单调性和对称性求不等式的解集.
【详解】因为均在上单调递增，则也是增函数，且向左平移1个单位得，
的定义域为，且，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，
所以可化为，
结合单调递增可知，解得，所以原不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，求的值；
（2）已知，，用，表示.
【答案】（1）7；（2）
【解析】
【分析】（1）通过对已知条件平方，利用完全平方公式求出；
（2）利用对数的换底公式与运算法则，将 转化为用和表示的形式.
【详解】（1）∵，两边平方得.
∴.
（2）.
16. （1）若，且，求的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角的范围与三角恒等式，可求得，再对所求式子进行齐次化处理，代入运算即可；
（2）根据三角函数诱导公式进行变形，代入运算即可.
【详解】（1），，
则.
所以.
（2）因为，
所以.
17. 对于函数.
（1）探索函数的单调性；并证明.
（2）是否存在实数使函数为奇函数?如果存在求出值，如果不存在说明理由.
【答案】（1）增函数，证明见详解；
（2），理由见详解.
【解析】
【分析】（1）用函数单调性定义证明即可；
（2）利用函数奇偶性的定义，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
函数在上是增函数，证明如下：
因为的定义域为，
任取且，
则，
因为在上单调递增且，
所以，即，
又因为，
所以，即，
所以函数在上是增函数.
【小问2详解】
因为函数为奇函数，
所以，即，即，
解得，
所以存在实数，使函数是奇函数.
18. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．
（1）假设小王将上述10万元只用于经销产品，则他能获得的收益是多少？若只用于经销产品，他的收益是多少？
（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．
【答案】（1）12万元；2万元；
（2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元．
【解析】
【分析】（1）将代入求值即可.
（2）利用基本不等式与二次函数在给定区间上值域的求法，分别求分段函数的值域，再进行比较，可得答案.
【小问1详解】
因为投入10万元，即，
若只经销商品，则所获得收益为万元；
若只经销商品，则所获得的收益为万元.
小问2详解】
设商品投入万元，则商品投入万元，
可知总收益，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以在上的总收益最大值为16万元；
若，则，
可知的图象开口向下，对称轴为，
则，
所以在上的总收益最大值小于万元；
因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元．
19. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知．
（1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由；
（2）若，求的最小值；
（3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点．
【答案】（1）、是；不是，理由见解析
（2）12 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）结合函数新定义逐个判断即可；
（2）由（1）结合，得到，再结合基本不等式即可求解；
（3）确定在上单调递增，在上单调递增．根据零点存在性定理可得函数在上有且只有一个零点，再结合可判断在存在一个零点，即可.
【小问1详解】
，
所以是“好玩函数”．
，
所以是“好玩函数”．
由，则或，而，
当或时无意义，
所以不是“好玩函数”．
【小问2详解】
因为，
所以在上单调递增，
由（1）知，，所以，
又，所以，
所以．
，
当且仅当即时等号成立．
所以，的最小值为12．
【小问3详解】
因为，
在上单调递增，在上单调递增．
又，
由零点存性定理知，，
所以在上有且只有一个零点．
又
所以是“好玩函数”，，
所以，
故也是的零点，
所以在和各有一个零点，
即在定义域内有且只有两个零点．