广东省广州市天河区2025-2026学年上学期八年级数学期末考试试卷-自定义类型

这是一份广东省广州市天河区2025-2026学年上学期八年级数学期末考试试卷-自定义类型，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.第十五届全国运动会在广东、香港、澳门举行，观察下列运动图标，属于轴对称图形的是（）．
A. B. C. D.
2.点关于y轴对称的点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
3.以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（）．
A. 3，5，9B. 2，3，4C. 2，4，6D. 4，4，9
4.下列运算正确的是（）．
A. B. C. D.
5.已知一种植物种子的质量约为0.0000026千克，将数0.0000026用科学记数法表示为（）
A. 2.6×10﹣6B. 2.6×10﹣5C. 26×10﹣8D. 0.26×10﹣7
6.如图，点在线段上，且，若，，则的长为（ ）．
A. 3B. 4C. 5D. 10
7.已知，，则计算的结果为（ ）．
A. B. 1C. 5D. 6
8.如图，，P是的平分线上的一点，于点M，交于点N，若，则的长为（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.定义新运算“◎”：，如果，那么的值为（ ）．
A. 1或3或4B. 1或3C. 1或4D. 3或4
10.如图，和相交于点O，，且，连接，．设，，若，和的面积和等于68，则下列结论正确的有（ ）．
①②③④．
A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若分式有意义，则实数的取值范围是 ．
12.计算： ．
13.如图，直线a// b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 ．
14.如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，，若，则的度数为 ．
15.若，则代数式的值为 ．
16.如图，和是等腰直角三角形，，连接，．若，，当时，四边形面积的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.计算：
(1) ；
(2) 分解因式：．
四、解答题：本题共8小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
在我国传统工艺中，油纸伞的制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，已知，．求证：．
19.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1) 在图中画出关于轴对称的；
(2) 连接和，求证．
20.(本小题5分)
如图，在中，，垂足为，是的角平分线．若，．求的度数．
21.(本小题5分)
某公司响应“积极稳妥推进碳达峰碳中和”的节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的2倍，现公司用2000万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．求每辆型汽车进价．
22.(本小题6分)
小天和小河在学完数学活动《月历中的奥秘》后，又发现了日历上某些数满足一定的规律，图1是2026年1月份的月历，如果用图2所示的折型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减，例如：，，发现这两个算式计算结果相等．设折型框架中位置C上的数为x．
(1) 小天利用整式的运算对发现的规律给予证明．请你完成该规律的证明；
(2) 小河在研究中进一步发现：设位置A，B，C上的数的乘积为M，位置C，D，E上的数的乘积为N，令，求y与x的关系式．
23.(本小题6分)
小天和小河在学完《轴对称》之后，对教材P84习题15.3中的几道数学习题进行拓展研究，编写了两道数学题，它们的已知条件都是：在中，，点D，E是直线上任意两点（不与点B，C重合，且点D在点E的左侧）．解答下面两个问题：
(1) 如图，若点D，E分别是边的三等分点，且，则下列结论正确的是（ ）．
A. 图中共有2对全等三角形
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，在边上有一点P，设，当y取最小值时，的面积等于的面积的三分之一
(2) 若点D，E关于的对称轴对称，求证．
24.(本小题9分)
先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题．
【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．

【解决问题】
(1) 求代数式的最小值；
(2) 判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值；
(3) 如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？
25.(本小题6分)
如图，已知是等边三角形．
(1) 作线段的中点，延长至，使，连接，．求的度数；（要求：先尺规作图，后求角的度数）
(2) 若是线段延长线上一点时，延长至，使，连接，．
①求证；
②作交于，若，，，求的面积．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】40°
14.【答案】 /50度
15.【答案】6
16.【答案】14
17.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
．

18.【答案】证明：在和中，
又，
．

19.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求；
【小题2】
解：如图所示，连接和，
由（1）得：，
，，．
，
，
．
在和中，
，
，
．

20.【答案】解：∵，垂足为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴．

21.【答案】解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，
由题意得：，
解得：，
检验：当时，，所以是原分式方程的解．
答：每辆型汽车进价是10万元．

22.【答案】【小题1】
解：先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减等于定值35．
证明：设折型框架中位置C上的数为x，则位置B上的数为，位置A上的数为，位置D上的数为，位置E上的数为，
则：

．
【小题2】
解：

．

23.【答案】【小题1】
A
【小题2】
解：①如图，当点D，E在线段上时，过点A作于点H，
中，，，
是的对称轴，，
∵点D，E关于的对称轴对称，
，
即；
②如图，当点D，E在外部时，过点A作于点H，
​​​​​​​中，，，
是的对称轴，，
∵点D，E关于的对称轴对称，
，
∴，即．

24.【答案】【小题1】
解：

，
当时，代数式有最小值，最小值为；
【小题2】
解：
，
当时，代数式有最大值，最大值为12；
【小题3】
解：设，则，
由题意得，生物园的面积

，
当时，生物园的面积有最大值，最大值为50．
答：当时，围成的生物园的面积最大．

25.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求．

解：是等边三角形，
．
又点为线段的中点，
平分，，
．
又，
，
∴，
又，
，
；
【小题2】
①证明：如图，过点作交于，

是等边三角形，
，，
，
，，
，
为等边三角形，
．
又，
，
．
，
，
，
．
在和中，
，
，
；
②解：如图，作交于，连接，
​​​​​​​是等边三角形，，
平分线段，
垂直平分线段，
，
．
由（2）可知，，
．
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．