陕西省西安市铁一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附答案）

这是一份陕西省西安市铁一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知（为虚数单位），则（ ）
A. B. 1C. D. 3
2. 已知集合，，则（ ）
A. 或B. 或
C. D.
3. 设函数，使得a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 直方图中x的值为0.004
B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10
C. 估计全校学生的平均成绩不低于80分
D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
5. 如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（ ）
A. 4B. 8C. D.
7. 已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则
C. 若 ，则事件与B相互独立D. 若，则
8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. 6D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果，，则直线不通过第二象限
B. 向量是直线的一个方向向量
C. 直线与直线关于直线对称
D. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件
10. 已知实数，满足，，则（ ）
A. B.
C. 最大值为15D. 的最小值为
11. 已知抛物线焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若，则________．
13. 如图，已知正方体的棱长为2，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，，则下列正确结论的序号是_____．
①点，，，不在同一个平面内；
②直线，，交于同一点；
③直线与直线所成角的余弦值为．
14. 双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．定位参数是距离差，位置线是双曲线，定位时需由至少三个已知点的组合，在待定点到三个已知点的三个距离中，取其中两个距离差，此时形成两条位置双曲线，两者相交便可确定待定点的位置．例如图所示，，，为三个已知点，点M即为两条位置双曲线，确定的待定点．现海上有三个两两相距180公里的岸台A，B，C三个岸台同时发射电磁波，远离岸台A，B，C的船只S同时接收到了来自岸台A，B的电磁波信号，而接收到岸台的信号比接收到岸台A，B的信号早了微秒（已知1微秒等于秒，且电磁波在空气中1微秒传播距离为300米），则船只S与岸台C的距离为______公里．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 设函数.
（1）求函数对称轴方程；
（2）中，角所对的边分别为，求的面积.
16. 已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率．
（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；
（2）若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围．
17. 已知圆，圆经过点，且与圆相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18. 如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）已知异面直线与所成角的余弦值为，
（i）求二面角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；
步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点．
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究．若取半径为的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若过点且不与轴垂直的直线与曲线交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．
（3）直线与曲线相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交曲线于两点，坐标原点位于直线之间，记的面积分别为，求的取值范围．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
【15题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）或
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）存，.
【19题答案】
【答案】（1）
（2）存在定点，定值为
（3）