陕西省宝鸡市渭滨区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省宝鸡市渭滨区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. 5D. 7
3. 已知向量，若，则（ ）
A. 7B. 5C. D.
4. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A. B. C. 2D.
5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心轨迹是（ ）
A. 抛物线B. 双曲线的一支C. 椭圆D. 圆
6. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（ ）
A. 14B. 13C. 12D. 11
7. 已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线满足，且间距离为，若的方程为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ）
A. B. 是等比数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若 成等差数列，则________．
13. 若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________.
14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前项和为．
（1）若为等比数列，，，求的公比；
（2）若为等差数列，，，求．
16. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值.
17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18 已知数列满足，．
（1）求数列通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）若，数列前项和为，证明：．
19. 已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为.
（1）求的标准方程；
（2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点.
①求的大小；
②求四边形面积的最小值.
高二年级数学试卷
202601
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线方程即可求解准线方程.
【详解】由得，即，故准线方程为，
故选：C
2. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用，代值计算，即可求解.
【详解】由数列满足，可得．
故选：A.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. 7B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量共线定理进行求解即可.
【详解】因为，所以，
即.
故选：D
4. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据圆的弦长公式可得.
【详解】由圆，圆心，半径.
则圆心到直线的距离，
又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得.
故选：A.
5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ）
A. 抛物线B. 双曲线的一支C. 椭圆D. 圆
【答案】C
【解析】
【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求.
【详解】如图，设动圆的圆心为，半径为，
由题意得圆：，圆：，
则，，，
所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）.
故选：C.
6. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（ ）
A. 14B. 13C. 12D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】记第组中无人机的架数为，可知数列是首项为1，公差为3的等差数列，结合等差数列求和公式运算求解.
【详解】记第组中无人机的架数为，
由图形可得，
可知数列是首项为1，公差为3的等差数列，
则数列的前项和，
令，得，解得（舍）或，
所以210架无人机可以同时排出的图形组数是12．
故选：C
7. 已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当在线段上时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解.
【详解】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得，
所以，因为，故在椭圆内，
所以，
当在线段上时，等号成立.
故选：B.
8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围.
【详解】由题意知，，关于原点对称，
不妨设点为第一象限内一点，则，，
又，，所以，，
记，因为为锐角三角形，
所以，，，
即，，，
解得，所以.
故选:D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解.
【详解】设直线的方程为，
则间的距离，
解得，或，
所以直线的方程为或.
故选：AB.
10. 在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项通过空间向量的加减法，将向量按向量减法法则变形为，利用向量与基底的关系得到表达式；对于B选项根据空间向量的线性运算，通过选取路径，结合三等分点的向量表示，得出结果；对于C选项，展开向量平方并代入已知模长与夹角的内积公式，综合运用空间向量数量积的运算法则；对于D选项，通过计算其数量积是否为零来实现，再次利用已知夹角与向量内积的性质.
【详解】对于A选项，在平行六面体中，，故A正确；
对于B选项，因为点是上靠近的三等分点，所以，
又，所以，故B正确；
对于C选项，因为，，
，
所以，所以，故C错误；
对于D选项，，所以，故D正确.
故选：ABD
11. 已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ）
A. B. 等比数列
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由的递推公式可判断A，由可判断B，确定数列中含的个数，可判断CD；
【详解】对于A：由，
可得：，
所以：，
所以，正确，
对于B：
所以，
即是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以
则，不是等比数列，错误；
对于C：数列的第106项为213，
又，，，，，，，
所以，
所以的前项和为
，
C对，D错；
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若 成等差数列，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用等差中项公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，解得．
故答案为：.
13. 若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用空间向量的方法计算点到直线的距离，已知点与点，首先求在直线上的投影向量为的模长，然后再利用勾股定理即可求出点到直线的距离.
【详解】设向量在直线上的投影向量为，则，
所以点到直线的距离.
故答案为：.
14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值.
【详解】曲线，
当，时，曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
作出曲线如图：
到直线的距离，
则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性，
只需考虑，时的情况；
当，时，曲线C的方程为，
曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，
而到直线的距离为，
由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，
故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前项和为．
（1）若为等比数列，，，求的公比；
（2）若为等差数列，，，求．
【答案】（1）1或
（2）-100
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程组，解方程组即可
（2）方法1：根据等差数列结合下标和性质即可求解；方法2，根据等差数列的公式列出关于和的方程组，解方程组即可.
【小问1详解】
设数列的公比为，由题意得
两式相除，得，即，
解得，或．
【小问2详解】
法1：由，，得，
因为这些项成等差数列，且项数为80，
由等差数列的性质，得，
所以，
所以，
所以．
法2：设数列的公差为，由，，得
化简，得解得
所以．
16. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设，列出方程求得，求得圆；
（2）根据题意求得，当时，得到，取得最小值，进而得出面积的最小值.
【小问1详解】
由题意，圆心在直线上，可设，
因为圆过点，且过点，
可得，整理得，
所以，即，且半径
所以圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，圆，圆心，半径，
则四边形的面积，
设，因为，
所以当时，，
此时四边形的面积最小，最小值为；
17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质得平面，进而得，再根据即可结合证明平面，最后证明结论；
（2）分别取的中点，连结，进而证明对应的垂直关系，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
小问1详解】
证明：因为四边形是正方形，所以.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面PAD，所以，
又平面，
所以平面，
又平面PCD，所以平面平面PCD.
【小问2详解】
解：分别取的中点，连结，
因为，所以，且，
因为四边形ABCD是正方形，分别是的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，，
又平面平面，
所以，即，
又，所以，
以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
.
设为平面的一个法向量，则
令，得，所以.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项和；
（3）若，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，利用累乘法，求得，进而得到的通项公式；
（2）由（1）求得，利用乘公比错位相减法求和，即可求解；
（3）由（1）知，化简得到，结合裂项法求和，求得，结合，即可得证.
【小问1详解】
解：由，得，
所以，
将以上各式相乘，可得，
因为，所以，
又因为满足上式，所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
设前项和为，可得，
则，
以上两式相减得，
所以，所以的前项和为．
【小问3详解】
证明：由（1）知，
可得，
所以
，
因为，所以，所以．
19. 已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为.
（1）求的标准方程；
（2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点.
①求的大小；
②求四边形面积的最小值.
【答案】（1）；
（2）①；②3.
【解析】
【分析】（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可.
（2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；②利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为c，则，
而点到的距离的取值范围为，
因此，解得，，
所以的标准方程为.
【小问2详解】
①由（1）知点，设直线的方程为，，
由消去得，
，，
则，线段的中点，
直线的斜率，直线交直线于点，
因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直，
所以.
②由①知，
，
直线的方程为，同理得，
因此四边形的面积，
而，当且仅当，即时取等号，
则，
所以四边形面积的最小值为3.