广东省揭阳市普宁市2025-2026学年九年级上学期1月期末考试数学试题-自定义类型

这是一份广东省揭阳市普宁市2025-2026学年九年级上学期1月期末考试数学试题-自定义类型，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（）
A. B. C. D.
2.小聪在解方程x2=3x时，只得到一个根x=3，则被漏掉的一个根是
A. x=-3B. x=0C. x=1D. x=2
3.已知电流在一定时间段内正常通过某一个电子元件的概率是0.5，则在如图所示的电路中，在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ）
A. B. C. D.
5.黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm．
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，下列三角函数表示正确的是（ ）
A. sinA=
B. csA=
C. tanA=
D. tanB=
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A. OA=BDB. AB⊥BDC. AD=BDD. AC=BD
8.如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点C为直线AB上一点，过点C的一条直线分别交两条平行线于点D，E，则有，这一步的依据是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 三角形中位线定理
C. 平行线分线段成比例
D. 相似三角形的对应边成比例
9.关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算： ．
12.国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费.某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x,那么根据题意可列方程为 .
13.一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则n的值为 .
14.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（-3，n），B（2，m），结合图象，关于x的不等式的解集为 .
15.如图，以为顶点分别作等腰直角，；连接，当时，延长交相交于点，交于点，若，则的长是 ．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题．
(1) 上述解题过程有误，错在步骤 （填序号），错误的原因是 ．
(2) 请你写出正确的解答过程．
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、BC的中点，BF∥DE，EF∥DB.求证：四边形BDEF是菱形.
18.(本小题6分)
某校七、八两个年级计划在星期一至星期五期间，利用连续两天（例如：星期一、星期二；星期二、星期三等）时间开展社会实践活动．
(1) 七年级选择星期二、星期三两天进行社会实践活动的概率是 ；
(2) 请用列表或画树状图的方法求七、八年级同时选择星期四、星期五两天进行社会实践活动的概率．
19.(本小题7分)
有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为．
(1) 长方形信封的长和宽分别是多少？
(2) 能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请说明理由．
20.(本小题7分)
如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1) 图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出；
(2) 图2中，在线段上画一个点P，使．
21.(本小题7分)
某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”后，开展测量本市某地标性建筑的高度的实践活动，甲、乙两组分别设计了不同的方案：
(1) 数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一组的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为哪组测量方案存在问题？并提出修改建议；
(2) 乙组的测量方案能计算出地标建筑的高吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到；若不能，请说明理由．
22.(本小题7分)
【问题背景】
如图1，矩形的顶点B，C分别在x轴和y轴上，点A的坐标为，E是边上的一个动点（不与C，A重合），反比例函数的图象经过点E且与边交于点F，连接，沿着将矩形折叠使A、D两点重合，连接对角线．
(1) 【构建联系】
①点E坐标是______（用含有k的代数式表示）；
②请探究与的位置关系，并说明理由；
(2) 【深入探究】连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
23.(本小题10分)
【问题提出】：
如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系．
​​​​​​​
(1) 【问题探究】：先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数
(2) 再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示）
(3) 【问题拓展】：如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】1000（1+x）2=1690
13.【答案】16
14.【答案】0＜x＜2或x＜-3
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
②
两边同时除以3，右边没有除以3
【小题2】
解：
移项得，
两边同时除以3得，
配方得，
即，
∴或，
∴，．

17.【答案】∵BF∥DE，EF∥DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴BD=AB，ED是△ABC的中位线，
∴ED=AC，
∵AB=AC，
∴BD=ED，
∴平行四边形BDEF是菱形．
18.【答案】【小题1】

【小题2】
解：分别用字母A，B，C，D表示（周一，周二），（周二，周三），（周三，周四），（周四，周五），表格如下所示：
由上可得，一共有16种等可能结果，其中同时选择（周四，周五）的只有一种，
所以七、八年级同时选择星期四、星期五两天进行社会实践活动的概率是．

19.【答案】【小题1】
解：设长方形信封的长为，宽为．
由题意得：，
解得：，（负值舍去），
∴，，
所以长方形信封的宽为，长为．
【小题2】
解：∵，
∴正方形贺卡的边长为，
∵，而，
∴，
答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．

20.【答案】【小题1】
解：如图，延长到使，延长到使，点与点重合，连接，
设正方形网格中的小正方形的边长为，
∴，，
∴，，
∵，，
∴点和点是格点，
∵，，
∴，
又∵点、、三点共线，点、、三点共线，
∴和位似，位似比为且以为位似中心，
则即为所作；
【小题2】
解：点P即为所求，
∵，
∴，，
∴，
∴．

21.【答案】【小题1】
解：甲组的测量方案存在问题．
修改建议：在方案中加上“测量出测角仪与该建筑的距离______”．
【小题2】
解：能．
由题意，知，，．
设．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
解得．
答：该地标建筑的高约为．

22.【答案】【小题1】
解：①∵矩形的顶点B，C分别在x轴和y轴上，点A的坐标为，E是边上的一个动点（不与C，A重合），
∴点E的纵坐标为3，
将代入，得
解得
∴点E坐标是；
②，理由如下：
∵点A的坐标为，
∴，，
∴，
∵点F在上，
∴点F的横坐标4，
∵点F在上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：存在的最小值．理由如下：
由②知：，
∵沿着将矩形折叠使A、D两点重合，
∴垂直平分，
∴，
∴点D的轨迹为过点A且与垂直的射线上，
根据垂线段最短，得当时，最小，
即点D落在上时，取得最小值，如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的最小值．

23.【答案】【小题1】
解：过点作的延长于H，
∵，
，，
，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
∵菱形，
∴，
，
，
．
【小题2】
在上截取，使，连接．
​​​​​​​，，
．
∵菱形，
∴，
，
．
．
，
，
．
．
【小题3】
过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．如图，
​​​​​​​，点G为边的三等分点，
∴或，
，或，．
∵菱形，
∴
∴
，，
由（2）知，
，
．
或
∴或．
由（2）知：，，
∴或，
∵，，
∴或，
∵，，
∴
∴
由勾股定理，得，即，
∴或．
解：移项得， ①两边同时除以3得， ②配方得， ③即，或 ④， ⑤
课题：测量本市某地标性建筑的高度
甲组方案
乙组方案
测量示意图
测量方案与测量结果
如图1，小组成员在点D处用距离地面高度为的测角仪测出该建筑顶端A的仰角．
如图2，在地面上点O处水平放一面镜子，小组成员站在点D的位置，通过镜子反射刚好看到该建筑顶端A处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到该建筑的距离，．
参考数据


A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）