辽宁省铁岭市2025-2026学年上学期期末高二 数学试题及答案

这是一份辽宁省铁岭市2025-2026学年上学期期末高二 数学试题及答案，共9页。试卷主要包含了 已知双曲线E， 已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
*注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.下列是离散型随机变量的是
A.车载大灯的使用寿命X1
B.从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2
C.某次物理实验测量所得的实验误差X3
D.某培养皿上的细菌个数X4
2.若X服从两点分布，且P(X=1)=7P(X=0)，则P(X=0)=
A.78B.112
C.18D.14
3.直线4x−3y+4=0与圆(x+1)2+y2=1的公共点个数为
A.0B.1C.2D.3
4.已知平面α，β的法向量分别为n1=(1,k,4)，n2=(p,3p,2)，若α∥β，则k=
A.−8+p3pB.1
C.2D.3
5.已知抛物线y2=8x的焦点为F，A(3,1)，点P在抛物线上，则|PA|+|PF|的最小值为
A.3B.4C.5D.6
6.已知直线l的方向向量为a=(2,1,1)，平面α的法向量为n=(1,0,k)，若l与α所成角的正弦值为306，则k=
A. 14B. 12
C.2D.4
7. 已知双曲线E:x24−y212=1的右焦点为F，右顶点为A，一条渐近线为l，过点F作l的垂线，垂足为H，则tan∠AHF=
A. 12 B. 13
C. 55 D. 33
8. 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，以F为圆心，3a2为半径的圆与E交于M，N两点，若cs∠MFN=127162，则E的离心率为
A. 23或34
B. 34或45
C. 45或56
D. 56或67
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线E:x2−λy2=k(λ>0,k≠0)的渐近线方程为y=±2x，其焦点分别为F1，F2，点P在E上，则
A. λ=14
B. E的离心率为5
C. 当k=4时，F1到渐近线的距离为4
D. 当k=−9时，||PF1|−|PF2||=12
10. 已知空间向量a=(sint,t+1,cst)，b=(cst,sint,1)，t>0，则
A. |b|=2
B. 当t=π时，a·b=−1
C. |a||b|
11. 已知函数f(x)=ax+bx+1n，其展开式中x项的系数为an，则
A. 当b=0时，an=an
B. 当a=b=1时，an=n2
C. 其展开式中所有项的系数之和为(a+b+1)n
D. 当n=3，a=b=2026时，f(22026)+f(−22026)=2
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 圆C1:x2+(y−3)2=16与圆C2:(x−4)2+y2=100的公切线条数为 ¯。
13. 将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为 ¯。
14. 某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知。（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从甲、乙两个抽样后的批次中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为 ¯。
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分18分）
某公司招募了A，B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作。已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8。
（1）求A，B两位员工均能完成工作的概率；
（2）证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立；
（3）求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率。
16.（本小题满分15分）
如图，AC，BD为圆柱的母线，AB，CD为圆柱的底面直径，点F在底面圆周上（不与A，B重合），E为BF中点。
(1)证明：平面FAC⊥平面FBD；
(2)若AB=AC=2AF，求直线AE与平面FCD所成角的正弦值。
17.（本小题满分15分）
已知抛物线E：y2=2px的焦点为F12,0，其上两点P，Q满足|PQ|=1。
（1）求E的方程；
（2）若PQ的斜率为1，求其与x轴的交点坐标；
（3）求PQ与x轴交点横坐标的最大值，并求当取得最大值时∆PQF的面积。
18.（本小题满分17分）
现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球。
（1）若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（n≥3），求摸到黑球的次数不超过n−2次的概率；
（2）若抽完球记录后不放回口袋。
（Ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率；
（Ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列。
19.（本小题满分17分）
在直角坐标系xOy中，F(1,0)，点P到l:x=4的距离为2|PF|，记P的轨迹为E。
（1）求E的方程；
（2）已知l与x轴交于点T，过点F的直线与E交于A，B两点，点M，N满足AT→=3AM→，BT→=3BN→，直线MN与E交于C，D两点。
（Ⅰ）证明：直线CD过定点；
（Ⅱ）若直线AB斜率存在，记AT，BT，AB的斜率分别为k1，k2，k，证明：k1k2|MN|2k2|CD|2是定值。
高二期末质量监测·数学
说明：
一、本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12.0 13.36 14.50
四、解答题
15. 解：（1）设事件A表示“A员工完成工作”，事件B表示“B员工完成工作”，
由题意可知P(A)=0.5，P(B)=0.8。（1分）
因为A，B两位员工必定至少有一位完成工作，即事件A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=1。（2分）
根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，解得P(AB)=0.3。（4分）
所以A，B两位员工均能完成工作的概率为0.3。（5分）
（2）由（1）可得P(AB)=0.3，（6分）
且P(A)P(B)=0.4。（7分）
由于P(AB)≠P(A)P(B)，（9分）
故事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立。（10分）
（3）所求概率为条件概率P(A|B)。
则由条件概率公式，P(A|B)=P(AB)P(B)=38。（12分）
故在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率为38。（13分）
16. 解：（1）由平面几何知识知FA⊥FB，（1分）
由AC⊥平面FAB，FB⊂平面FAB知FB⊥AC，（2分）
由FA∩AC=A，FA⊂平面FAC，AC⊂平面FAC知FB⊥平面FAC，（4分）
由FB⊂平面FBD得平面FAC⊥平面FBD。（6分）
（2）取AB中点O，以O为坐标原点，垂直于平面ABDC的方向为x轴正方向，OB→的方向为y轴正方向，（8分）
AC→的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O−xyz，
不妨设AF=2，则A(0,−2,0)，C(0,−2,4)，D(0,2,4)，F(3,−1,0)，E32,12,0，则AE→=32,52,0，CD→=(0,4,0)，CF→=(3,1,−4)，（10分）
记平面FCD的法向量为n=(x,y,z)，
{n⋅CD→=0n⋅CF→=0，即{4y=03x+y−4z=0，
可取n=(4,0,3)。（12分）
记直线AE与平面FCD所成角为θ，（13分）
则sinθ=|AE→·n||AE→||n|=2334+25416+3=2319×7=2399133。（14分）
故直线AE与平面FCD所成角的正弦值为2399133。（15分）
17. 解：（1）显然p2=12，p=1，（1分）
E:y2=2x。（2分）
（2）不妨设lPQ:x=my+n，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立{x=my+ny2=2x，有y2−2my−2n=0，（4分）
Δ=(−2m)2+8n=4(m2+2n)>0，
此时y1+y2=2m，y1y2=−2n，（5分）
故|PQ|=1+m2·(y1+y2)2−4y1y2=1+m2·4m2+8n=1，（7分）
即(1+m2)(4m2+8n)=1.
当 PQ 斜率 k=1m=1 时，m=1，
于是 2(4+8n)=1，解得 n=−716，（9分）
故交点坐标为−716,0。（10分）
（3）求最大值不妨考虑 n>0。
注意到 8n=11+m2−4m2≤1，当且仅当 m=0 时，等号成立，（12分）
此时 n=18，ln0:x=18。（13分）
注意到此时 F 到 PQ 的距离 d=12−18=38，（14分）
故∆PQF的面积 S=12|PQ|d=316。（15分）
18. 解：（1） 记事件 An： 抽到 n 次黑球，易知抽到黑球次数服从二项分布 Bn,49，（2分）
于是 P(An)=Cnn49n590=49n，（4分）
P(An−1)=Cnn−149n−1591=5n·4n−19n，（5分）
故所求概率 p=1−P(An)−P(An−1)=1−4n+5n·4n−19n。（6分）
（2）（ⅰ） 事实上，只需考虑前三次抽球。
记事件 M： 第二次抽到灰球且第三次抽到黑球，
N1： 第一次抽到白球，N2： 第一次抽到灰球，N3： 第一次抽到黑球，
则 P(MN1)=39×28×47=121，（8分）
P(MN2)=29×18×47=163，（9分）
P(MN3)=49×28×37=121，（10分）
可得 P(M)=P(MN1)+P(MN2)+P(MN3)=763=19。（11分）
（ⅱ） 显然前 X−1 次应该抽非灰球，在此条件下，此时第 X 次抽到灰球的概率为
29−(X−1)=210−X，（13分）
而前 X−1 次抽不到灰球，对应概率为 p0=79×⋯×7−(X−1)9−(X−1)，（14分）
故可得第 X 次抽到灰球的概率为 2p010−X，（15分）
而X的取值可以是1∼8，故可得分布列为
（17分）
19.解：（1）不妨设P(x,y)，|4−x|=2(x−1)2+y2， （2分）
化简得x24+y23=1. （4分）
（2）（Ⅰ）T(4,0)，AB斜率为0时CD过x轴上点，
不妨设lAB:x=my+1， （5分）
可由平行线分线段成比例知AB∥CD，
故记lCD:x=my+n， （6分）
由条件知4−1=3(n−1)，得n=2，
故lCD:x=my+2，其过定点(2,0). （7分）
（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，注意到(2,0)在椭圆上，不妨设D(2,0)，
联立{x=my+23x2+4y2=12，有(3m2+4)y2+12my=0，
可得C的纵坐标为−12m3m2+4，
于是|CD|=1+m20−−12m3m2+4=12|m|m2+13m2+4， （10分）
联立{x=my+13x2+4y2−12=0，得(3m2+4)y2+6my−9=0，
于是y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
于是|AB|=1+m2(y1+y2)2−4y1y2=1+m236m2(3m2+4)2+363m2+4=12(m2+1)3m2+4， （13分）
可得|MN|=23|AB|=8(m2+1)3m2+4，
而k1k2=y1y2(my1+1−4)(my2+1−4)=−9m2×(−9)−3m×(−6m)+9(3m2+4)=−14(m2+1)， （15分）
而k=1m，于是k1k2|MN|2k2|CD|2=−14(m2+1)×64(m2+1)2(3m2+4)21m2×144m2(m2+1)(3m2+4)2=−19，为定值，故得证. （17分）1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
C
D
C
B
D
A
9
10
11
ACD
ABD
AC
X
1
2
3
4
5
6
7
8
P
29
736
16
536
19
112
118
136