2025-2026学年四川省成都市石室联合中学上册第三次月考八年级数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年四川省成都市石室联合中学上册第三次月考八年级数学试卷 [附答案]，共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．实数，，，中，无理数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、单选题
3．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．28cm2B．42cm2C．49cm2D．63cm2
4．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角，城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少5元．问有多少人？该物品价值多少元？如果设有人，该物品值元，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
7．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与x轴的交点是
C．图象与坐标轴形成的三角形的面积为3
D．点和都在该函数图象上，若，则
8．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8B．16C．12D．24
四、填空题
9．现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是 ．
10．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ．
11．若，则点关于y轴的对称点的坐标为 ．
12．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ．
13．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为 ．
五、解答题
14．计算：
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程组：
15．如图是一个的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为．
（1）作出线段关于轴对称的线段；
（2）在正方形网格中作以为斜边的等腰直角三角形，并求出的面积．
16．成都大运会期间，3.12万名志愿者“小青椒”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青椒”，必须经过层层考验，下面是大运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）：
（1）填空：甲选手的四项成绩的众数是__________分，乙选手的四项成绩的中位数是__________分；
（2）如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青椒”．
17．已知：如图，在中，，，的周长为30．
（1）证明：是直角三角形；
（2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点．
①证明：；
②求线段的长．
18．如图1，直线过点，且与y轴交于点，与x轴交于点A．
（1）求直线的函数表达式及点A的坐标；
（2）如图2，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的2倍时，求点P的坐标；
（3）如图3，点P为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长．
六、填空题
19．比较大小： ．（填“”、“”或“”）
20．如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是 ．
21．对于实数a，b，定义运算“※”：，例如，因为．所以，若x，y满足方程组，则 ．
22．如图，在中，，点D在上，点E在上，，点F在上，，，则 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，中，，则点B的坐标为 ；若点E，F分别是的边上的动点，且，当的值最小时，点E的坐标为 ．
七、解答题
24．商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润=（售价-进价）×销售量]
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）现商场决定再用15万同时购进A，B两种设备且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案．
25．在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得．
【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论；
【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点．
（1）如图1，过O作直线于C，求的长；
（2）在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标；
（3）如图2，点E在直线上，且横坐标为4，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值?若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案．
【详解】解：无理数有，，共计2个，
故选B．
2．【正确答案】AC
【分析】本题考查平方根和二次根式的运算．选项A涉及平方根的概念，选项B、C、D涉及二次根式的加减乘除运算．根据算术平方根和平方根的定义，以及二次根式的运算法则，逐一判断各选项的正确性．
【详解】解：对于选项A：，正确．
对于选项B：，错误．
对于选项C：，正确．
对于选项D：，错误．
故选AC．
3．【正确答案】C
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【详解】由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B的面积之和=49cm2．
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查平行线性质，等腰三角形性质及三角形外角性质，先根据平行线的性质，由得到，然后根据等腰三角形性质及三角形外角性质即可计算的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：轴上的点的纵坐标为．根据轴上点的纵坐标等于零，求出，即可得答案．
【详解】解：点在轴上，
，
解得：，
，
点的坐标为，
故选A．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键．
由题中设有人，物品价值元，根据每人出9元，多4元；每人出8元，少5元列方程即可得到答案．
【详解】解：设有人，该物品值元，
∵每人出9元，多4元，
∴；
∵每人出8元，少5元，
∴；
∴根据题意可列方程组
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的图象及其性质及一次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数的性质及函数图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．
根据一次函数性质即可判断A、D选项；通过计算可判断B、C选项．
【详解】解：A．一次函数，，，则图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项不符合题意；
B．令，则，即，图象与轴的交点是，故本选项不符合题意；
C．令，则，图象与轴的交点是，则图象与坐标轴形成的三角形的面积为，故本选项不符合题意；
D．一次函数，，函数值随自变量的增大而减小，所以若，则，故本选项符合题意；
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
由作图知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故选B．
9．【正确答案】109
【分析】本题考查上四分位数的概念．上四分位数是数据排序后上半部分的中位数．首先将数据排序，然后找到上半部分数据，计算其中位数．
【详解】解：数据排序后为：96， 98， 100， 102， 104， 106， 112， 113．
上半部分数据为：104， 106， 112， 113．
上四分位数为．
故答案为109．
10．【正确答案】
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【详解】解：∵，
根据题意得：，
解得：．
11．【正确答案】
【分析】本题主要考查了非负数和坐标与图形．熟练掌握算术平方根、实数的平方的非负性，关于y轴对称的点坐标特征，是解题的关键．关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．
根据，得，得，得，即得于y轴的对称点的坐标为．
【详解】∵，且，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴关于y轴的对称点的坐标为.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．根据两条直线的交点坐标即可解题．
【详解】解：把代入得，
∴点P的坐标为，
∴方程组的解是.
13．【正确答案】
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【详解】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵大正方形的面积为，
∴2ab=21-13=8，
∴小正方形的面积为13- =13-2ab=13-8=5.
故答案为5.
14．【正确答案】（1）
（2）2
（3）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则和解二元一次方程组的方法．
（1）分别计算二次根式的乘法，零指数幂和化简绝对值，再进行加减计算；
（2）分别计算二次根式的乘法和除法以及求立方根，再进行加减计算；
（3）利用加减消元法求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
由得，，
解得；
将代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为
15．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解，10
【分析】本题考查了画轴对称图形、等腰直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握轴对称图形和等腰直角三角形的性质是解题关键．
（1）先根据轴对称的性质画出点，再连接即可得；
（2）先找出的中点，再利用勾股定理可得的长，然后结合网格特点找出点，使得，且，连接即可得等腰直角三角形；利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求．
．
（2）解：如图，等腰直角三角形即为所求．
由图可知，，
所以的面积为．
16．【正确答案】（1）9；8.5
（2）甲将成为“小青椒”
【分析】本题主要考查了加权平均数、中位数和众数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解答的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可得到答案；
（2）根据加权平均数的计算方法，结合表格中的数据分别求出甲、乙的平均分，再比较即可得到答案．
【详解】（1）解：甲的面试成绩中，9分出现次数最多，故甲选手的四项成绩的众数是9分；
乙选手的四项成绩按大小顺序排列为8，8，9，10，故乙选手的四项成绩的中位数为分.
（2）解：甲的成绩为（分）；
乙的成绩为（分）；
∵，
∴甲将成为“小青椒”．
17．【正确答案】（1）见详解
（2）①见详解；②
【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键．
（1）由，，的周长为30，求得，则，所以是直角三角形；
（2）①由，得，由于点，得，则，由，得，所以，而，则，所以；
②由，，且，得，则，由，，证明，则，所以．
【详解】（1）证明：，，的周长为30，
，
，，
，
是直角三角形．
（2）①证明：，
，
于点，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
．
②解：，，且，
，
，
，，
，
，
，
，
，
线段的长为．
18．【正确答案】（1），；
（2）点P的坐标为或
（3）
【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（）先求出直线的表达式为：，当点在点下方时，则；当点在点上方时，则，再由三角形面积公式求解即可；
（）证明，得到，则，则 ，即可求解．
【详解】（1）解：设的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，则，
则直线的表达式为：，
令，则，即点；
（2）解：设直线，
则代入得，，
∴
∴直线的表达式为：，
当点在点下方时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在点上方时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：点P的坐标为或；
（3）解：在上截取，连接，作轴于点，设交于点，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，则，
∵，
则．
19．【正确答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的估算，根据实数的性质，运用比差法计算是解题的关键．
先估算，则，再由作差法得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，
∴，即.
20．【正确答案】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点表示的数．
【详解】解：如图，
在中，，
，
点表示的数为.
21．【正确答案】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组．
先解方程组求出和的值，再根据新定义运算的规则，比较和的大小，选择相应的运算公式进行计算．
【详解】解：，
由①得，
代入②：，
解得，
把代入①得，，
解得，
由于，根据定义，．
22．【正确答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
作于M，延长至N使，设，先证明为等腰三角形，然后证明，推出，从而得出，即可得到是等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：作于M，延长至N使，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
23．【正确答案】；
【分析】作轴于点D，则，求出，得到，则点D的坐标是，即可得到点B的坐标是，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则，证明，得到，进一步得到点C的坐标为，连接交于点P，连接，求出直线的函数解析式和直线的解析式，联立求出点P的坐标为，证明，则，当点E与点P重合时，取得最小值，当的值最小时，点的坐标为．
【详解】解：作轴于点D，则，
∵点，中，，，
∴
∴
∵，
∴，解得，
∴，
∴点D的坐标是，
∴点B的坐标是，
将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为，
连接交于点P，连接，
设直线的函数解析式为，
则，解得，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，解得，
∴点P的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴当点E与点P重合时，取得最小值，
∴当的值最小时，点的坐标为.
24．【正确答案】（1）购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套
（2）有2种方案：①购进A品牌2套、B品牌10套，获利2.3万元；②购进A品牌6套、B品牌5套，获利1.9万元；获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出等量关系列出方程和方程组是本题的关键．
（1）根据题意设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，再根据总进价为66万元，毛利润为9万元，列出二元一次方程组，解出答案即可；
（2）根据题意设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，根据题意列出二元一次方程，由于a， b均为正整数，即可得出方程的解，即可得出有2种进货方案，然后求出利润，比较大小可确定出获利最高的方案．
【详解】（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得，
，
解得，，
经检验，符合题意，
答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套；
（2）解：设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，
由题意得，，
∵a，b均为正整数，
∴此方程的解为：
，或，
综上所述，有2种方案：
①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套．
获利：万元；
②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套．
获利：万元．
∵，
∴获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套．
25．【正确答案】（1），见详解；（2）（1）中的结论成立，见详解 （3）
【分析】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解；
（2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论；
（3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：．
证明如下：
如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，
，
，
在和中，
在中，由勾股定理知：，
（2）解：（1）中的结论仍成立．
理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接，
∴，，
∴，
∵，
，
由（1）可知：，
（3）解：∵，，
∴，
∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，
，
如图，过A作，
则
的边上的高
26．【正确答案】（1）
（2）或
（3）存在最小值，最小值为，
【分析】（1）根据点，点，由两点间距离公式求解，结合，根据三角形面积不同表示方法，列式计算即可；
（2）分点A的对称点落在第一象限和第三象限两种情况，利用折叠的性质，待定系数法求交点的坐标的思想，规范解答即可．
（3）过点D作于点D，且使得，连接，利用三角形全等，待定系数法，两点之间线段最短，解方程组，两点间距离公式解答即可．
【详解】（1）解：∵点，点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：当对称点落在第一象限时，如图所示，
过点Q作于点G，
根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
当时，，
故；
当对称点在第三象限时，如图所示，记交x轴于点M，
根据折叠的性质，得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∵直线的函数表达式．
当时，，
故，
综上：Q点的坐标或
（3）解：存在最小值，理由如下：
∵直线的函数表达式，
∴时，，
∴点，
∴，
过点D作于点D，且使得，连接，连接交于，
∵直线轴于点T，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵直线轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
故当B，F，N三点共线时，取得最小值，且为的长度，
故当N与点P重合时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴；
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
根据题意，得，
解得
∴，
故．选手
外语能力
综合素质
形象礼仪
赛事服务经验
甲
10
9
9
7
乙
9
8
10
8
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4