天津市第二耀华中学2025-2026学年九年级上学期 数学期末试卷（原卷版+解析版）

这是一份天津市第二耀华中学2025-2026学年九年级上学期 数学期末试卷（原卷版+解析版），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是由6个相同小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 值等于（ ）
A. B. C. D.
4. 已知方程的两个解为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A. (2，1)B. (2，0)C. (3，3)D. (3，1)
6. 若点都在反比例函数的图象上，则有（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. x2-（x+3）2=82B. x2-（x-3）2=82C. （x+3）-x2=82D. （x-3）2-x2=82
9. 已知二次函数中的与的部分对应值如下表：
则下列判断正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线与轴交于负半轴
C. 方程的正根在与之间
D. 当时，随的增大而减小
10. 如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图：
①在直径上顺次截取线段，，使；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，；
③作直线，与⊙相交于，两点，连接．
下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，的延长线与边相交于点F，连接．若，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接，，．
（1）当时，t值为8
（2）当时，面积最大且最大面积为16
（3）t有三个不同的值，满足面积为9
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题
13. 不透明的袋子中装有3个球，其中有2个绿球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出2个球，则两个都取到绿球的概率为______．
14. 抛物线有最_____点（填“高”或“低”），这个点的坐标是_____；把这个抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的新抛物线是_____．
15. 已知圆锥的侧面积是，底面半径是3，则母线长为________．
16. 如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．
17. 如图，，都是等腰直角三角形，，，．如图所示，将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，的度数为__________，的长度为__________，的长度为__________．
18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点．
（1）线段的长为___________；
（2）在弧上画点，使，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的___________．
三、解答题
19. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根．
20. 抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，抛物线与y轴相交于点，其顶点为D．
（1）二次函数解析式是 ，顶点D的坐标 ，点A和点B的坐标分别为
（2）若抛物线上有两点，则 （从符号，，，，中选择一个填空）；
（3）当时，则y的取值范围是 ；
（4）连接，过顶点D作直线l，使得，直线l与抛物线相交于点M，则点M的坐标为 ，线段的长为 ．
21. 如图，是的直径，弦于点E，过点C作的切线交的延长线于点F．连接．

（1）如图1，若，求的大小；
（2）如图2，连接，取中点G，连接，若，且，求的半径．
22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量山高度．
某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为．
（1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）；
（2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，．
23. 综合实践：怎样才能命中篮筐．
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级同学小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米．
（1）小玟初次投篮时 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”）
（2）该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）．
（3）在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？
24. 在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点． 把 绕点 逆时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ．
（1）如图①，点 的坐标为_____，点 的坐标为_____；
（2）如图②， 与 交于点 ，当 轴时，求点 的坐标；
（3）连接 是 的中点，连接 ． 请直接写出 的取值范围．
25. 已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C．
（1）若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标；
（2）当时， 求b的值；
（3）若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值．…
…
…
…
天津市第二耀华中学2025－2026学年度第一学期期末质量调查
初三年级数学
一、选择题
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从左边看，底层是三个正方形，中间上层是一个正方形．
故选：B．
3. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，直接代入特殊角的三角函数值进行计算．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选C
4. 已知方程的两个解为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程、代数式求值，通过因式分解求出方程的两个根，然后代入表达式计算即可.
【详解】解：∵方程可因式分解为，
∴, ，
∴．
故选：A．
5. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A. (2，1)B. (2，0)C. (3，3)D. (3，1)
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似变换性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比，
∴，
又∵点A(6，3)、B(6，0)．
∴OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
6. 若点都在反比例函数的图象上，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，的图象在二、四象限，且在两个象限内随增大而增大．
【详解】解：∵，
∴的图象在二、四象限，且在两个象限内随增大而增大，
∵，
∴，
故选：B．
7. 如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解此题的关键．根据切线的性质得出，，求出，求出，根据圆周角定理求出，根据，即可求解．
【详解】解：、分别与相切于点、，
，，
，
，
，
是的直径，
，
，
故选：C．
8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. x2-（x+3）2=82B. x2-（x-3）2=82C. （x+3）-x2=82D. （x-3）2-x2=82
【答案】B
【解析】
【分析】设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程即可．
【详解】解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，
在中，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
9. 已知二次函数中的与的部分对应值如下表：
则下列判断正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线与轴交于负半轴
C. 方程的正根在与之间
D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据确定二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点及根的区间，逐一分析选项即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴根据对称性确定对称轴为，
∴顶点坐标，抛物线开口向下，
∴是最大值，
∴抛物线开口向下，不符合题意；
、当时，，
∴抛物线与轴交点为，位于正半轴，不符合题意；
、根据表格可知：对称轴为，时，，
∴根据对称性，与时，
∴方程的正根在和之间，不符合题意；
、∵抛物线开口向下，对称轴，
∴当时，随的增大而减小，符合题意；
故选：．
10. 如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图：
①在直径上顺次截取线段，，使；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，；
③作直线，与⊙相交于，两点，连接．
下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题目主要考查垂直平分线的作法，垂径定理的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
根据题意得出，确定，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意得：，故A选项正确，不符合题意；
∴，故B选项正确，不符合题意；
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，选项C正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
11. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C对应点分别为点D，E，的延长线与边相交于点F，连接．若，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据旋转的性质得出，，根据勾股定理求出，证明，得出，证明垂直平分，得出，根据三角形面积得出，求出，求出即可．
【详解】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
12. 如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接，，．
（1）当时，t的值为8
（2）当时，面积最大且最大面积为16
（3）t有三个不同的值，满足面积为9
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，一元二次方程的几何动点问题，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分当点P在上时和当点P在上时两种情况求解即可；（2）分三种情况讨论：点P在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向求得面积，利用二次函数和一次函数的性质即可作答；（3）当的面积为9时，由（2）三种情况列方程求解可得出结果，进而可得答案．
【详解】解：（1）当时，有两种情况：
当点P在上时，点P所走路程为，则（秒）；
当点P在上时，点P所走路程为，则（秒），
则当时，t的值为4或8，故原结论错误；
（2）①当点P在上时，，如图所示：
则，，，
，
∵，
∴当时，面积最大且最大面积为16；
②点P在时，，如图所示：
同理得，
则，
∴；
③点P在时，，如图所示：
同理得，
，
∴，
综上所述，当时，面积最大且最大面积为16，故原结论正确；
（3）当时，由得：，（舍去）；
当时，由得：；
当时，由得（舍去）
综上所述，当的面积为9时，则或，故原结论错误．
综上，正确的结论有1个，
故选：B．
二、填空题
13. 不透明的袋子中装有3个球，其中有2个绿球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出2个球，则两个都取到绿球的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求概率，根据题意画出树状图表示出所有结果，再找出两个都取到绿球的种数，利用即可解题．
【详解】解：根据题意，可画树状图如下：
由图知，从袋子中随机取出2个球的结果总共有6种，其中两个都取到绿球的结果有2种，则两个都取到绿球的概率为．
故答案为：．
14. 抛物线有最_____点（填“高”或“低”），这个点的坐标是_____；把这个抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的新抛物线是_____．
【答案】 ①. 高 ②. ③. ．
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象和平移规律即可求解，解题的关键是熟练掌握“上加下减，左加右减”的函数图象平移规律．
【详解】解：在中，
∵，
∴图象有最高点，这个点的坐标是，
则这个抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的新抛物线是，
故答案为：高；；．
15. 已知圆锥的侧面积是，底面半径是3，则母线长为________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查求圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵圆锥的侧面积是，底面半径是3，
∴圆锥的母线长为；
故答案为：5．
16. 如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．
【答案】54
【解析】
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．
【详解】连接AD，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC=∠C=108°，
∴∠ABD=72°，
∴∠F=∠ABD=72°，
∴∠FAD=18°，
∴∠CDF=∠DAF=18°，
∴∠BDF=36°+18°=54°，
故答案为54．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题．
17. 如图，，都是等腰直角三角形，，，．如图所示，将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，的度数为__________，的长度为__________，的长度为__________．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据等腰三角形的性质和勾股定理得到，，根据旋转的性质得到，，，由全等三角形的性质得到，利用勾股定理求出，，的长即可得到答案．
【详解】解：如图，过作于，
、都是等腰直角三角形，，，，，
，，，
将绕点逆时针方向旋转后得，
，，，，
，
，
，，
在中，，
在中，，
，
故答案为：；；．
18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点．
（1）线段的长为___________；
（2）在弧上画点，使，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的___________．
【答案】 ①. ②. 图见解析，取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，则点F即为所求作的点
【解析】
【分析】本题考查了作图，勾股定理解三角形，圆周角定理，垂径定理，以及直径所对的圆周角为，解决本题的关键是由直径找到圆的圆心．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，连接，，则点F即为所求作的点．
【详解】解：（1）根据勾股定理，线段；
故答案为：；
（2）如图，取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；
根据网格特点可得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理得：，
即，
∴、为圆的直径，
∴点O为圆心，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴；
如图，取格点D，连接并延长，交圆于点F，连接，，则点F即为所求作的点．
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，则点F即为所求作的点．
三、解答题
19. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根．
【答案】（1）；
（2）k的值为，方程的另一根为4．
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可；
（2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：设方程的另一个根为a，
∴，
解得：，
∴方程的另一个根为4；
∴，
解得：；
∴k的值为，方程的另一根为4．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练堂握根的判别式及根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
20. 抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，抛物线与y轴相交于点，其顶点为D．
（1）二次函数解析式是 ，顶点D的坐标 ，点A和点B的坐标分别为
（2）若抛物线上有两点，则 （从符号，，，，中选择一个填空）；
（3）当时，则y的取值范围是 ；
（4）连接，过顶点D作直线l，使得，直线l与抛物线相交于点M，则点M的坐标为 ，线段的长为 ．
【答案】（1）；，，
（2）
（3）
（4），
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与一次函数的综合，涉及到了待定系数法求函数解析式，抛物线的图像与性质的运用等知识，解题关键是牢记函数图像的性质，并能准确计算．
（1）先将点代入抛物线解析式求出，再令求解即可．
（2）比较两个点到抛物线的对称轴的距离即可求解；
（3）利用抛物线的图像与性质即可求解；
（4）利用两直线平行，那么一次项的系数相同求出直线l的解析式后，与抛物线的解析式联立，即可求解．
【小问1详解】
解：将点代入解析式得：，
∴，
∴；
∴，
当时，
解得
∴，；
故答案为：，，，；
【小问2详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，又，
∴点离对称轴更远，
∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越远的点纵坐标越小，
∴；
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y值最小，此时，
当时，y的值最大，此时，
∴当时，则y的取值范围是，
故答案为：；
【小问4详解】
解：设直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线，
∴设直线l解析式为，
将点代入解析式得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
与抛物线解析式联立方程组，得，
解得：或；
∴点M的坐标为
∴．
故答案为：，．
21. 如图，是的直径，弦于点E，过点C作的切线交的延长线于点F．连接．

（1）如图1，若，求的大小；
（2）如图2，连接，取中点G，连接，若，且，求的半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键：
（1）连接，圆周角定理，得到，垂径定理，得到，切线得到，再利用角的和差关系进行求解即可；
（2）分别连接，求出，设的半径半径为r，在中，利用三角函数求出，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，

∵，，
∴．
∵是的直径，弦于点E，
∴，
∴．
∵为的切线，且为半径，
∴，即，
∴．
【小问2详解】
如图，分别连接，

由（1）可知，且，
∵，
∴．
在中，有，
即：，
∴．
∵是的直径，
∴，
∵，且G为中点，
∴，
∴，
∴，
设的半径半径为r，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，，
由勾股定理得：，
∴，即半径为．
22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度．
某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为．
（1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）；
（2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，．
【答案】（1）两座山之间水平距离约为
（2）这座山的高度为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）在中，由解直角三角形的知识得，，又，解出的长度即可；
（2）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形得，，由解直角三角形的知识得，最后根据即可得解．
【小问1详解】
解：由题意知，，，，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
两座山之间水平距离约为；
【小问2详解】
解：过点作，垂足为点，
，
，
四边形是矩形，
，，
由题意可知，
在中，，
，
，
答：这座山的高度为．
23. 综合实践：怎样才能命中篮筐．
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级同学小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米．
（1）小玟初次投篮时 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”）
（2）该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）．
（3）在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？
【答案】（1）不能 （2）的值为
（3）不能
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的关键．
（1）易得小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐；
（2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值；
（3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐．
【小问1详解】
解：由题意得：小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标为，
设，
经过点，
，
解得：，
，
当时，，
时，篮球命中篮筐，
小玟初次投篮时不能命中篮筐．
故答案为：不能；
【小问2详解】
解：向前走了米后抛物线的解析式为：，
经过点，
，
，
解得：（不合题意，舍去），，
答：的值为；
【小问3详解】
解： 不能命中篮筐，理由如下：
由题意得：小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：，
当时，，
不能命中篮筐．
24. 在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点． 把 绕点 逆时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ．
（1）如图①，点 的坐标为_____，点 的坐标为_____；
（2）如图②， 与 交于点 ，当 轴时，求点 的坐标；
（3）连接 是 的中点，连接 ． 请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知、根据直角三角形中的边角关系可得∶，从而得到点B的坐标；由已知“点C为的中点可得点C的坐标；
（2）由已知、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知∶，得是等边三角形，由旋转知∶、，由已知、根据“平面内，如图一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”知∶轴，设交y轴于点E、由直角三角形中的边角关系得，从而得到，在中，由边角关系得到，即可得出点D的坐标；
（3）取的中点，连接，则是的中位线，从而得到，进而可得∶在的旋转过程中点P在以点M为圆心、为半径的圆上，从而可得∶当点P在与的交点处时，的值最小，为；当点P在M与的交点处时，的值最大，为，即可得出的取值范围．
【小问1详解】
解：点 ，
，
，
，
点 在 轴的正半轴上，
，
点 为 的中点，
，即；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：设与轴的交点为E，
，
，
点 为 的中点，
，
是等边三角形，
由旋转的性质可知：，
，，
轴，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：取的中点，连接，如图：
则，
点是的中点，
是的中位线
，
在的旋转过程中，点在以点为圆心、为半径的圆上，
当点在与的交点处时，的值最小，为；
当点在与的交点处时，的值最大，为．
的取值范围是
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质，旋转的性质、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质及解直角三角形的相关知识等，综合性强，有一定难度，正确找到动点的运动轨迹是解题的关键。
25. 已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C．
（1）若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标；
（2）当时， 求b的值；
（3）若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值．
【答案】（1）抛物线的顶点坐标为
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、平行四边形的性质等，确定的最小值是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）表示出点，令，则或，即点，即可求解；
（3）通过作辅助线证明四边形为平行四边形，得到，即可求解．
【小问1详解】
解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，则：，
∴抛物线的表达式为：，
把代入，得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
抛物线的对称轴为：，
当时，；
则抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线的表达式为：，则点，
令，则或，即点，
∵，
则，
解得：；
【小问3详解】
解：由（2）知，点，点，抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为：，
当时，，即点，
作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向右平移的长度，
则点，
连接，则四边形为平行四边形，
则，
连接交抛物线对称轴于点、连接，
则，
当、、共线时（此时在处），上式等式成立，即的最小值为：，
即，
解得：（舍去）或，
即．…
…
…
…