2025上海南汇中学高二上学期期末试卷数学

这是一份2025上海南汇中学高二上学期期末试卷数学，共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：100分 完成时间90分钟 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分）
1．直线的倾斜角为 ．
2．已知A，B为两个独立事件，且，，则 ．
3．乘积 (其中)的展开式中共有 项．
4．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是 ．
5．现有7张卡片，分别写上数字2，4，5，5，6，9，16，则这7个数的第75百分位数是 ．
6．已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 .
7．关于正整数的方程是，则 ．
8．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 ．
9．的二项展开式中，系数最大的项是第 项．
10．设公差的等差数列中，满足，则的值为 .
11．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，且所有棱长都相等.已知棱长为1的正四面体，，，…，在线段上，且. 现过点作平行于直线和的平面，记该平面截正四面体的截面的周长为，则 ．
12．平面向量为2维向量，可由2元有序实数组表示；空间向量为3维向量，可由3元有序实数组表示.维向量可由（为正整数）元有序实数组表示.已知维向量，我们称 为该向量的范数，其中，记范数为奇数的的个数为.设，则 .
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分）
13．已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（ ）
A．0.06B．0.5C．0.6D．0.7
14．已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
15．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
A．B．C．D．
16．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数n等于4046
三、解答题（本大题共5小题，共52分）
17．如图，在正方体中，E是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线DE与所成角的大小．
18．已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和.
19．某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组()．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求a的值；
(2)从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，其中.已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
20．已知正四棱锥（如图所示）的高为3，底面边长为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球，，，…，，，…，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切.

(1)求正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小；
(2)求球的表面积；
(3)求放入的所有球的体积之和.
21．在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为.例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为，则记.
(1)计算；
(2)设数列满足，，求的通项公式；
(3)计算数列（）的逆序数.
1．
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系结合倾斜角的范围求解.
【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，
所以，可得．
故答案为：.
2．0.28##
【分析】应用独立事件乘法公式计算即可.
【详解】因为A，B为两个独立事件，且，，
则．
故答案为：.
3．12
【分析】根据分步乘法计数原理计算可得答案.
【详解】从中取一项共有3种不同取法，从中取一项有4种不同取法，
由分步乘法计数原理知，该展开式共 (项).
故答案为：12.
4．
【分析】根据直线平行可设，根据直线经过点可得结果.
【详解】设直线的方程为，
∵直线经过点，∴，解得，
∴直线的方程是.
故答案为：.
5．9
【分析】利用百分位数的定义进行判断即可.
【详解】由于，则这7个数的第75百分位数是9，
故答案是：9.
6．##
【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
7．5
【分析】根据排列数的计算公式即可求解.
【详解】由得，，
∴，即，解得或，
∵，∴.
故答案为：5.
8．
【分析】根据求通项公式，验证的结果即可得到答案.
【详解】当时，，
当时，，满足上式，
∴.
故答案为：.
9．12和13
【分析】写出二项展开式的通项公式和对应系数，根据条件列不等式可得结果.
【详解】的二项展开式的通项公式为，系数为，
由得，，
∴系数最大的项是第12和13项.
故答案为：12和13.
10．##
【分析】先根据已知条件求得，再利用等差数列的性质化简、，即可求得比值.
【详解】因为为等差数列，所以，
所以，，，
因为，所以，
整理得：，即，
因为，所以，根据等差数列的性质，有：
，
，
所以.
故答案为：
11．4048
【分析】设为靠近的第个等分点，过作平行于的平面分别交，，于，，，可证明四边形为平行四边形，求得，从而可得答案.
【详解】设为靠近的第个等分点，
过作平行于的平面分别交，，于，，，如图，
因为平面，且平面平面，所以，
同理，，，
则，故四边形为平行四边形．
又为靠近的第个等分点，且，
故．
故四边形的周长．
所以为常数列，即，
则
故答案为：
12．985211
【分析】由或可知中有偶数个，计算每种情况下的个数，求和即能得到结果.
【详解】当时，.
∵，∴或.
要使为奇数，则需中有偶数个.
当均不为时，，的个数为，
当中有2个时，，的个数为，
当中有4个时，，的个数为，
当中有6个时，，的个数为，
∴，
∴.
故答案为：985211.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是讨论中0的个数，计算每种情况下的个数，求出的值，即可得到的结果.
13．D
【分析】根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可.
【详解】因为B与C互为对立，，
所以，
因为A与B互斥，
所以.
故选：D.
14．C
【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可.
【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误；
由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误；
若，，则，故C正确；
若，，则或，故D错误.
故选：C.
15．B
【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式．
【详解】解：当时，左端＝，
当时，左端＝，
故左边要增乘的代数式为.
故选：B．
16．C
【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确.
【详解】∵，∴，∴．
∵，∴，即一个大于1，一个小于1，
∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确.
，选项B正确.
，选项C错误.
，
，选项D正确.
故选：C．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）由，得出是异面直线DE与所成角，再根据正切求角即可.
【详解】（1）连接，在正方体中，E是的中点，
所以E是的中点，且，即，
因为平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面.
（2）连接CE，因为，所以是异面直线DE与所成角.
记正方体的棱长为，
在中，，
所以异面直线DE与所成角是 .
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求数列的公差即可得到通项公式.
（2）由（1）可得数列是以4为首项，4为公比的等比数列，利用公式即可求出.
【详解】（1）设数列的公差为，
∵，∴
∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴，
∴数列是以4为首项，4为公比的等比数列，
∴.
19．(1)
(2)
(3)88；19
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出.
（2）求出两个小组的频率比，结合分层抽样求出两个区间内各抽取的人数，再借助组合计数问题求出概率.
（3）求出剔除两个数据后的平均数，再利用方差的定义求出方差.
【详解】（1）依题意，， 所以.
（2）由频率分布直方图知：在两个小组内的学生人数比为，
所以抽取7名学生中，来自的分别为2人、5人，
随机选出2人，两人恰好来自不同小组的概率.
（3）依题意，，，
剔除的两个为的数后余下数据的平均数为，
此时方差为.
20．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义找到二面角的平面角，利用边长关系即可求解.
（2）根据相切结合图形特征建立等量关系，解方程可求出球的半径，利用球的表面积公式可得结果.
（3）根据题意可得，进而得到，利用数列是等比数列可求所有球的体积之和.
【详解】（1）如图，四棱锥中，为底面正方形的中心，

则底面，取的中点，连接，
则，且，
则为侧面与底面所成角，设侧面与底面所成角为，则，
∵底面，∴.
在中，，
∴，即正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为.
（2）设球与侧面相切于点，则点在线段上，且，
记球的半径为，由（1）可知，
∴，
∴，即，解得
∴球的表面积为.
（3）记球的半径为，体积为，设四棱锥的高为，
根据（2）可知，
设，则，
∴，两式相减可得，即，
∵，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴，
当时，，故所有球的体积之和为.
【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是分析出数列是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式结合极限的概念可得结果.
21．(1)13
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据逆序数的概念计算可得结果.
（2）由（1）得，利用构造法可得数列是以为首项，以14为公比的的等比数列，由此可计算结果.
（3）分析数列中奇数项、偶数项的取值范围及单调性，讨论为奇数和为偶数时的逆序数即可得到结果.
【详解】（1）.
（2）由（1）得，
∴，
∴数列是以为首项，以14为公比的的等比数列，
∴，故.
（3）当为奇数时，．
当为偶数时，，，
∴．
当为奇数时，逆序数为，
当为偶数时，逆序数为.
综上得，.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.