天津市河东区2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份天津市河东区2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．“任意的一个三角形，其内角和是”是必然事件
B．“购买1张，中奖”是不可能事件
C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3
D．某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次也一定不中靶
3．平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
6．关于二次函数的图象，有下列说法：①对称轴为直线；②图象开口向下；③当时，y随着x的增大而减小．其中正确的说法个数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
7．已知方程 的两根分别为 和 ，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知点都在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（ ）
A．4B．5C．D．
10．如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
11．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
14．关于x的方程的一个根是，则它的另一个根 ．
15．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ．
16．如图：P是的直径的延长线上一点，是的切线，A为切点，，则 ．
17．如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．
（1）线段的长为 ；
（2）若为的中点，则线段的长为 ．
18．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，点，均落在格点上，且过点的网格线为圆的切线，点为格线上一点．

（1）线段的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心（点），并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题
19．解下列方程：
（1）；
（2）．
20．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（0，－3），求抛物线的解析式和顶点坐标．
21．已知中，为的弦，直线与相切于点．
（1）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小；
（2）如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长．
22．已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．
（1）如图①，求的大小；
（2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．
23．海鲜市场某销售商销售一种成本为6元/千克的海产品，市场调查反映，若按12元/千克销售该产品，每天可售出200千克；如调整价格，销售价每降低1元，每天可多售出50千克，设每千克该产品的售价为x（）元，每天的销售量为y千克，每天能获得的利润为w元．
（1）填表
（2）直接写出y与x之间的函数关系式：____________；
（3）当售价定为多少元时，每天能获得最大利润？最大利润为多少元？
24．在等边中，，垂足为点，点为直线上一动点，连接，以点为旋转中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图①，当点在线段上时，求证：．
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，连接，，若，求的大小．
（3）若等边的边长是6，连接，在点运动过程中，直接写出线段的最小值．
25．在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若，．
①求该抛物线的解析式；
②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标．
（2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义：“一个图形绕一点旋转180度，能与自身完成重合，这样的图形叫做中心对称图形”，进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2．【正确答案】A
【分析】根据随机事件，必然事件以及概率的概念判断即可．
【详解】A.三角形内角和是，因此“任意的一个三角形，其内角和是”是必然事件，故正确；
B. “购买1张，中奖”是随机事件，故错误；
C.概率是经过大量的重复的实验后得到的概率，而不仅仅是10次，故错误；
D. 某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次可能中靶，故错误；
故选A
3．【正确答案】A
【分析】根据点关于原点对称的点的坐标为即可解答．
【详解】解：点关于原点对称的点坐标是，
故A．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故选A
5．【正确答案】A
【分析】根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式是．
故选A．
6．【正确答案】A
【分析】先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解；∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随着x的增大而减小，
∴①②③都正确，
故选A．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查根于系数的关系．根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
8．【正确答案】A
【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴，开口向上，当时，随的增大而减小，再结合横坐标可得结果．
【详解】解：，
函数图象的对称轴是直线，图象的开口向上，
当时，随的增大而减小，
，
，
故选A．
9．【正确答案】D
【分析】根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选A．
11．【正确答案】D
【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
【详解】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故选D
12．【正确答案】C
【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③．
【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为，
①当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，故①正确；
②当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随t的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
即当时，的最大面积为，故②错误；
③当点M在上时，
∵的面积为，
∴，
解得：（舍去），
∴当时，的面积为；
当点M在上时，
∵，，
∴，即，
此时，
解得：，
∴当时，的面积为；
∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确．
故选C
13．【正确答案】
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：∵不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．
故答案为．
14．【正确答案】-1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出另外一个根即可．
【详解】解：∵关于x的方程的两根之积为：，
∴，
∵，
∴，解得：．
15．【正确答案】2
【详解】解：扇形的弧长==2πr，
∴圆锥的底面半径为r=2．
故答案为2．
16．【正确答案】
【分析】如图，连接，由是的切线，可得，则，由圆周角定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
由圆周角定理得，.
17．【正确答案】2；/
【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键；
（1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解，
（2）作辅助线，构造中位线求解即可．
【详解】（1）四边形是正方形，
，
在中，，
，
，
；
（2）延长到点，使，连接
由点向作垂线，垂足为
∵为的中点，为的中点，
∴为的中位线，
在中， ，
，
在中，，
为的中位线，
.
18．【正确答案】；见详解
【分析】（1）根据勾股定理求出答案即可；
（2）找到的中点，的中点E，连接，相交于点P，则点P即为所求．
【详解】解：（1）.
（2）如图，连接圆与网格线的交点，H，与过点的网格线交于点，则为的外心，，取与网格线的交点，连接交圆于点，则为的中点，再利用平行线分线段成比例定理和网格的特点找到的中点M，连接并延长交于点E，则点E为的中点，连接，相交于点P，则点P即为所求．

证明：∵过点的网格线为圆的切线，
∴是的外接圆直径，
∵，
∴是的外接圆直径，
∴与的交点O是的外心，
由网格的特点可知，点G是的中点，
∴，
∴，
∴，
即平分,
由网格的特点可知，，
∴，
∴点M是的中点，
∴，
∴，
∴，
即平分，
则与的交点P即为的内心.
19．【正确答案】（1），
（2），
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用因式分解法进行解方程，即可作答．
（2）运用配方法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
则，
或，
，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
则，
∴，
，．
20．【正确答案】，
【分析】把，代入解方程组即可得到结论．
【详解】解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为．
21．【正确答案】（1）；
（2）
【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
（1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可；
（2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可．
【详解】（1）为的弦，
．得．
中，，
又，
．
直线与相切于点为的直径，
．即．
又，
．
在中，．
，
．
（2）如图，连接．
∵ 直线 与 相切于点 ，
∴
∵
∴．
，得．
在中，由，
得．
．
在中，，
．
22．【正确答案】（1）
（2）3，
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可；
（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接．
与相切于点，
．又，
平分．
∴．
，
．
在中，，
．
（2）由（1）知：．
，
．
为的一个外角，
．
由题意，为的直径，
．
又的半径为3，则：．
在中，，
．
23．【正确答案】（1）
（2）
（3）售价定为元时，每天能获得最大利润，最大利润为元
【分析】（1）根据销售价每降低1元，每天可多售出50千克，填写表格即可；
（2）根据销售价每降低1元，每天可多售出50千克可得y与x之间的函数关系式；
（3）由总利润单利润销售量可得与的关系式，根据二次函数的最值解题即可．
【详解】（1）根据销售价每降低1元，每天可多售出50千克，填写表格为：
（2）解：
（3）
∵
∴抛物线开口向下，当时，有最大值1250，即最大利润为1250元，
答：当售价定为元时，每天能获得最大利润，最大利润为元．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质；
（1）由旋转得到，，再证明，得到；
（2）先证明，得到，，由等边三角形的性质可得，得到，由，得到是等腰直角三角形，即可得到，得到；
（3）过作，则，，由（1）（2）可得点在直线上运动，过作于，则长度即为的最小值，再根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵等边，
∴，，
线段顺时针旋转，得到线段，
，，
，
，即，
，
；
（2）解：同（1）可知，，，
，即，
，
，，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，
又，
，
；
（3）解：过作，则，
∵，
∴，，
由（1）可得，当点在线段上时，，；
由（2）可得，当点在在线段的延长线上时，，；
∴点在直线上运动，
过作于，则长度即为的最小值，此时，
∵等边的边长是6，
∴，
∴，
∴中，，，
∴的最小值为．
25．【正确答案】（1）①；②
（2）1
【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可；
②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标．
（2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：①抛物线与x轴交于点，，
，解得：，
该抛物线的解析式为；
②抛物线与y轴交于点C，
令，则，
，
，
，，
，
，，
如图，过点作轴，则，
，
，
，
点D的坐标为．
（2）解：，
抛物线，对称轴为直线，
令，则，
，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即当点在上时，有最小值为，
的最小值为，
，
在中，，，
，
整理得：，
解得：或（舍），
即a的值为．
每千克的售价为x（元）
12
11
10
8
每天的销售量为y（千克）
200
每千克的售价为x（元）
12
11
10
8
每天的销售量为y（千克）
200
250
300
400