天津河西实验中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】

这是一份天津河西实验中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列四个圆形图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C．
D．
2．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．C．3D．
3．如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
4．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
则关于x的方程的解为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（ ）

A．B．C．D．
8．如图，与x轴交于点，，与轴的正半轴交于点．若，则点的纵坐标为( )
A．B．C．D．
9．对于二次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，有最大值B．当时，随的增大而减小
C．开口向下D．函数图象与轴交于点和
10．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系
11．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为长方形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，则线段EF的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
12．如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥B．②⑤⑥C．②③⑤D．①⑤⑥
二、填空题
13．已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为 ．
14．正六边形的半径为3，则正六边形的边心距为 ．
15．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为 ．
16．如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为 ．
17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m.
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于___________；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．
三、解答题
19．解下列方程：
（1）
（2）
20．如图，四边形内接于，为的直径，．

（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求与的长度．
21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出将关于原点O的中心对称图形．
（2）将绕点E顺时针旋转得到，画出．
（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
22．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
23．某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
在抽取的人中最喜欢套餐的人数为 ，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为 ；
依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数；
现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
24．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）．
（1）如图①，当时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
（3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
25．如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．
【详解】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1，
∵OD⊥AB，AB=4，
∴AC=AB=2，
在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，
∴r2=22+（r-1）2，
r=，
故选D．
3．【正确答案】A
【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故选A．
4．【正确答案】B
【分析】根据切线的性质和切线长的性质定理，即可求解．
【详解】∵，是的切线，是的直径，
∴∠CAP=90°，PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵，
∴∠PAB=∠CAP-=75°，
∴=180°-75°-75°=30°．
故选B．
5．【正确答案】A
【分析】根据题意画出树形图，即可求出在这两个路口都直接通过的概率．
【详解】解：由题意画树形图得，
由树形图得共有4种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是P=．
故选A
6．【正确答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据表格信息求解的对称轴为直线，再进一步求解即可.
【详解】解：由表格信息可得：的对称轴为直线，
而当时，，
根据对称性可得：
当时，，
∴的解为：，；
故选A
7．【正确答案】C
【分析】本题主要考查的是圆内接正多边形的性质以及圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，由于圆内接正方形将圆分成四等分，所以，由圆周角定理知，根据即可得出答案．
【详解】解：连接；
四边形是圆的内接正方形，
；
，
，
故选C．

8．【正确答案】B
【分析】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥y轴于E，根据圆周角定理得到∠APB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=30°，由垂径定理得到AD=BD=3，解直角三角形得到PD=，PA=PB=PC=2，根据勾股定理得到CE=，于是得到结论．
【详解】连接，，，过作于，于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为.
故选B．
9．【正确答案】A
【分析】先把一般式配成顶点式得到y=-（x-1）2+4，再根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程-x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标，可对D进行判断．
【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，-1＜0，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），故C正确，不符合；
当x≥1时，y随x的增大而减小，故B正确，不符合；
当x=1时，y有最大值4，故A错误，符合；
当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），故D正确，不符合；
故选A．
10．【正确答案】A
【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
，整理得：，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
11．【正确答案】C
【分析】连接AC，取AC的中点O，求出OF、OE，当O、E、F三点共线时EF最大，据此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点O，
∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F为CD的中点，
∴AC==10，
∵AO=OC，CF=FD，
∴OF=AD=BC=4，
∵∠AEC=90°，
∴OE=AC=×10=5，
当O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF的最大值为4+5=9．
故选C．
12．【正确答案】B
【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，可得到 ；进而得到 同号，再有抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，可得 ， ，从而得到 ；再由抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），可得线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当 时， ，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解．
【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故①错误；
∵，
∴，即 同号，
∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），
∴抛物线与轴的另一个交点为 ，故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），
∴当时 ， ，
即抛物线与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故④错误；
观察图象得：当 时， ，
在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势，
即此时 随 的增大而增大，
又当 时， ，
∴，故⑤正确；
观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，
∴不等式的解集为，故⑥正确；
∴正确的有②⑤⑥．
故选B
13．【正确答案】//
【分析】首先根据二次函数的性质得到开口向上，对称轴为，然后将和代入求解即可．
【详解】∵二次函数，
∵，
∴开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，
∴当时，y取得最小值，即，
∵当时，即，
当时，即，
∴当时，y取得最大值4，
∴，
∴的最大值与最小值的差为．
14．【正确答案】
【分析】依题意，依据正六边形的性质，构造等边三角形；然后求其高即可．
【详解】解：如图：过O作于G，连接，

∵六边形是正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴为等边的高，
∴即为正六边形的边心距，
又,
∴，
由勾股定理可得.
15．【正确答案】
【分析】如图，连接 证明为圆的直径，再利用勾股定理求解 再利用扇形面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接

为圆的直径，



16．【正确答案】5cm
【分析】连接BC，由题意易得，进而问题可求解．
【详解】解：连接BC，如图所示：
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为5cm；
故答案为5cm．
17．【正确答案】
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
18．【正确答案】（1）；（2）见详解
【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解；
（2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==；
（Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
19．【正确答案】（1），
（2），
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
（1）利用因式分解法先提取公因式，得到，此时或，进而求得x的值；
（2）先整理方程得，利用因式分解法得到，此时或，进而求得x的值．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
∴，．
（2）解：，
，
，
∴或，
∴，．
20．【正确答案】（1）等腰直角三角形，见详解
（2），
【分析】（1）圆周角定理得到为直角，，进而得到，即可得出结论；
（2）勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长，过点作于点，分别利用勾股定理求出，即可．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，证明如下：
∵为的直径，
∴，
∵（同弧所对的圆周角相等），
又，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵为的直径，
∴，
∴，
过点作于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心，
对于（1），作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可；
对于（2），将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接；
对于（3），连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是．
22．【正确答案】（1）见详解；（2）4
【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．
（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴EA∥OD，
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线DE与⊙O相切．
（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：
作，垂足为F，如图2所示：
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在中，，
．
23．【正确答案】（1）60，108°；（2）336；（3）
【分析】（1）用最喜欢套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢C套餐的人数，然后用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案；
（2）先求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以960即可；
（3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率．
【详解】（1）最喜欢套餐的人数=25%×240=60（人），
最喜欢C套餐的人数=240-60-84-24=72（人），
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为：360°×=108°.
（2）最喜欢B套餐的人数对应的百分比为：×100%=35%，
估计全体名职工中最喜欢套餐的人数为：960×35%=336（人）；
（3）由题意可得，从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人，总共有6种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，列举如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，
其中甲被选到的情况有甲乙，甲丙，甲丁3种，
故所求概率P==．
24．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）过点作轴，根据旋转得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可；
（2）过点D作轴于G，于H，则，由勾股定理得出的长，等面积法求出，进而求出，勾股定理求出，即可；
（3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：四边形是矩形，点，点，
∴，
过点作轴，则：，
∵旋转，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为；
（2）过点D作轴于G，于H，如图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵矩形，，
∴，，
∵旋转，
∴，
∴，
∵， 即：，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为；
（3）连接，作轴于G，如图所示：
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴点E的坐标为．
25．【正确答案】（1）抛物线的解析式；（2）的最小值为；（3）点Q的坐标：、．
【分析】（1）将点B的坐标为代入，，B的坐标为，将，代入，解得，，因此抛物线的解析式；
（2）设，则，，当时，有最大值为2，此时，作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．，此时最小；
（3）作轴于点H，连接、、、、，由，，可得，因为，，所以，可知外接圆的圆心为H，于是设，则，或，求得符合题意的点Q的坐标：、．
【详解】解：（1）将点B的坐标为代入，
，
∴B的坐标为，
将，代入，
解得，，
∴抛物线的解析式；
（2）设，则，
，
∴当时，有最大值为2，
此时，
作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．
，此时最小，
∵，
∴，
，
即的最小值为；
（3）作垂直对称轴于点H，连接、、、，
∵抛物线的解析式，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
可知外接圆的圆心为H，
∴
设，
则，
或
∴符合题意的点Q的坐标：、．x
…
0
2
…
y
…
15
0
0
…