天津市第二十一中学2025~2026学年上册八年级第二次月考数学试题【附解析】

这是一份天津市第二十一中学2025~2026学年上册八年级第二次月考数学试题【附解析】，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C．D．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到△COD，则CD的长度是（ ）
A．1B．2C．2D．
3．《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（ ）
A．4步B．5步C．6步D．7步
4．的值等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ）
A．2B．C．D．4
7．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（ ）
A．4B．6C．8D．10
9．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（ ）
A．寸B．13寸C．25寸D．26寸
10．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对角线BD，EG都在直线l上，将正方形ABCD沿着直线l从点D与点E重合开始向右平移，直到点B与点G重合为止，设点D平移的距离为x，，，两个正方形重合部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，若点E恰好在边BC上，AB⊥DE于点F，则∠BAE的大小是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
12．如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边，在同一条直线l上，点C，E重合．现将沿直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，为y，则下列结论：
①y始终随x的增大而减小；
②y的最小值为3；
③函数y的图象关于直线对称；
④当x取不同的数值时，y也取不同的数值．
其中，正确的是( )
A．①②B．①④C．②③D．②
二、填空题
13．已知的半径为，点在外，则 （填“”、“ ”或“”
14．若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF= ．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是 ．
16．如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3．其中正确结论的序号为 ．
17．如图，已知中，，将绕点A逆时针旋转得，当第一次与平行时，连接并延长交于点D，则 ．
18．如图，E是的斜边上一点，作点E关于，的对称点F，G，连接．若，，则的最小值为 .
三、解答题
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．已知二次函数的图象经过点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点P，使的面积为3，求P点坐标
21．如图，为的外接圆的直径，点I为的内心，连接．
（1）如左图，求的度数；
（2）如右图，连接并延长交圆于点D，连接，在过D点的圆的切线上取点H，连接，使，若已知长为10，求的长．
22．如图是两座建筑物和，已知建筑物的高为米，从A点测得C点的俯角为，从B点测得D点的仰角为，求建筑物的高度为________米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，，，）
23．综合与实践：设计隧道的限高方案．
素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为8米，宽度为16米．
素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米．
解决问题：
（1）确定隧道形状：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2）探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？
24．如图1，四边形是正方形，以为边在正方形的外部作等边，点F是对角线上的一个动点（点F不与点B、D重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，当G、F、C三点在同一直线上时，判断线段与的数量关系与位置关系，并证明你的结论；
（3）若，直接写出点F在运动过程中过最小值
25．已知抛物线对称轴为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）当时：
①求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
②对称轴上有动点D，连接、、，当点D在何处时，的周长最小？求出点D的坐标并求出对应的最小值；
（2）抛物线恒过定点H（不与点C重合），若，时，求抛物线上一定M，使．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选B．
2．【正确答案】B
【分析】根据题意按照缩小的比例进行计算即可解答
【详解】解：∵点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，
将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，
∴C(1，2)，则CD的长度是：2
故选B
3．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键．
先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径．
【详解】解：∵在中，，步，步，
∴步，
如图：过O作，则半径为，连接，
∵，
∴，
解得：，
∴的直径为步．
故选A．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解.
【详解】，
故选A.
5．【正确答案】C
【分析】由，，可得再建立方程即可．
【详解】解： ，，

，

解得：经检验符合题意
故选C
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了正六边形与圆，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，连接，过点作于点，证出是等边三角形，再根据解直角三角形即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选B．
7．【正确答案】A
【分析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意，
∴
故选A．
8．【正确答案】D
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，
∴AB==10，
故选D．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识点，连接，设圆的半径是x寸，根据垂径定理得出寸，在中，寸，，在中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长，正确作出辅助线是关键．
【详解】解：连接，设圆的半径是x寸，
∵弦，寸，
∴寸，
在中，寸，，
∵，
则，
解得：，
则（寸）．
故选D．
10．【正确答案】A
【分析】由题意易知，重合部分的形状是点或正方形，BD＝2，EG＝4．然后分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6讨论即可．
【详解】解：如图（1），当0≤x≤2时，S=DE2=x2.
如图（2），当2＜x＜4时，正方形ABCD在正方形EFGH内部，
则 S=DB2=.
如图（3），当4≤x≤6时，BG＝2﹣（x﹣4）＝6﹣x，
∴S=BG2=2．综上所述，选项A符合题意．
故选A．
11．【正确答案】B
【分析】由旋转40°可得△ABC≌△ADE，所以AE=AC，∠AED=∠ACE=∠AEC=70°，由AB⊥DE，可得∠AFE=90°，从而得出答案．
【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，
∴∠EAC=40°为旋转角，△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∴∠AED=∠ACE=∠AEC=70°；
∵AB⊥DE于点F，
∴∠AFE=90°，
∴∠BAE=20°；
故选B．
12．【正确答案】D
【分析】分0≤x≤2和2＜x≤4两种情况，分别列出y与x之间的函数表达式，根据二次函数的性质即可作出判断．
【详解】解：如图1所示，当0≤x≤2时，作AH⊥l于点H，连接AF，则∠AHF＝∠AHB＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴ ∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，BH＝HC＝BC＝2
∴AH＝ABsin∠ABC＝2×sin60°＝，
∵△DEF是边长为2的等边三角形
∴在沿直线l向右移动过程中，△AHF是直角三角形，HF＝3－x，AH＝，
由勾股定理得
即y，
当2＜x≤4时，如图2，在沿直线l向右移动过程中，△AHF是直角三角形，HF＝x－3，AH＝，
由勾股定理得
即y，
∴沿直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，
y，其中0≤x≤4，
抛物线y（0≤x≤4）的开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，3），
①当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，故①错误；
②当x＝3，y有最小值3，故②正确；
③由于0≤x≤4， 对称轴为直线x＝3错误；
④∵抛物线y（0≤x≤4）的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴ 对于图象上关于直线x＝3对称的两点的x肯定不同，但函数值一定相等，故④错误；
综上，正确的是②，
故选D
13．【正确答案】
【分析】根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．
【详解】解：的半径为，
点在外，
．
14．【正确答案】4：9
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴S△ABC：S△DEF=（）2=4：9．
故选C．
15．【正确答案】k＞1.
【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1.
考点：一元二次方程根的判别式.
16．【正确答案】①③④
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力．①根据该抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴相交于正半轴，得出，即可判断①；②由图可知，，推出，根据对称轴为直线，推出，则，即可判断；③根据，抛物线对称轴为直线， 得出点M离对称轴更近，结合该抛物线开口向下，即可判断③；④根据抛物线的对称轴为直线，得出抛物线还经过点，则方程的两根为，3．即可判断④．
【详解】解：①∵该抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴相交于正半轴，
∴，
∴；故①正确，符合题意；
②由图可知，，
∵，
∴，
令抛物线与x轴两交点的横坐标为，且，
∴，
∵对称轴为直线， ，
∴点A到对称轴距离，
∴，
∴，故②错误，不符合题意；
③∵，
∴
∵抛物线对称轴为直线，
∴点M离对称轴更近，
∵该抛物线开口向下，
∴，故③正确，符合题意；
④∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴抛物线还经过点，
∴方程的两根为，3．
故④正确，符合题意.
17．【正确答案】
【分析】证明四边形是矩形，由旋转的性质得求得,进一步得出从而可求最后即可求出
【详解】解：过点作于点E，于点F，则有：
，
又
∴四边形是矩形，
∴
∵
∴
由旋转得，
∴
∴
在中，，
∴
∴
在中，设，
∵即
解得，，
∴,
∴；
∴
在中，，
∴.
18．【正确答案】/9.6/
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理及利用三角形面积公式求对应边的高，根据轴对称的性质得出，，进而得到与的关系，再利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式求出的最小值即可．
【详解】解：在中，，
由题意知，，，
∴，
∴如图，当时，最小，此时为中边上的高，
由可得，，
∴，
∴.
19．【正确答案】（1），
（2），
【分析】本题考查利用公式法、因式分解法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是快速解题的关键．
（1）利用公式法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
移项，得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：，
变形得：，
移项得：，
因式分解得：，
即，
∴或，
∴，．
20．【正确答案】（1）
（2）点P的坐标为或
【分析】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据待定系数法计算求解即可；
（2）过点P作轴交于点H，确定直线的解析式为，设点，则，结合图形得出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，
将点代入得：
，
解得：，
∴；
（2）过点P作轴交于点H，如图所示：
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设点，则，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为3，
∴，
解得：，
当时，，此时；
当时，，此时；
综上可得：点P的坐标为或 ．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】题目主要考查圆周角定理，三角形的内心，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据圆周角定理得出，确定，再由内心的性质得出平分，平分，然后结合图形计算角度即可；
（2）连接，根据内心的性质得出，，，，确定，再由切线的性质得出，确定是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再由三角形外角的定义及等腰三角形的判定求解即可．
【详解】（1）解：∵为的外接圆的直径，
∴，
∴，
∵点I为的内心，
∴平分，平分，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵点I为的内心，
，
∵为的外接圆的直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵是圆O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．【正确答案】
【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意结合图形求解是解题关键．
根据题意得出，再由正切函数得出，再次利用正切函数求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
在中，，
在中，.
23．【正确答案】（1）
（2）该隧道限高米
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意，然后设该二次函数的表达式为，然后利用待定系数法解题即可；
（2）先求得点，然后代入，求得其函数值，即可求得答案．
【详解】（1）解：由题意可知，，
不妨设该二次函数的表达式为，代入点，
得
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，，
∵保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于米．
∴该隧道限高（米）．
答：该隧道限高米．
24．【正确答案】（1）见详解
（2），，见详解
（3）
【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出辅助线是解题关键．
（1）根据题意得出，，确定，再由全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）先证明，从而得是直角三角形，，结合正方形的性质，即可得到结论；
（3）根据题意得出，在下方作射线，使，交的延长线于点M，过点G作，过点E作，得出，确定，过点A作，当A、G、H三点共线时，即点H移动到点时，取得最小值，即取得最小值，结合图形，根据各角之间的关系确定，利用勾股定理及等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示：
∵旋转
∴，，
∵四边形是正方形，以为边在正方形的外部作等边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），．理由如下：
连接，
∵旋转，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵在正方形中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
，即，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴．
（3）∵四边形是正方形，
∴，
由（1）得，
∴，
在下方作射线，使，交的延长线于点M，过点G作，过点E作，如图所示：
∴，
∴，
过点A作，
当A、G、H三点共线时，即点H移动到点时，取得最小值，即取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【正确答案】（1）①抛物线的解析式为；顶点P的坐标为；②；
（2）或
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及线段最值与二次函数，角度与二次函数综合；
（1）①由对称轴为和，求出，则抛物线的解析式为，再求出顶点坐标即可；
②先求出，，，由对称得到，则周长，当点在线段上时，周长最小，最小值，求出直线与对称轴的交点即为；
（2）先根据对称得到定点，再由，求出抛物线的解析式为，根据得到，线段中点在轴上，则，，，
在轴上取一点，使，则，此时，直线与抛物线交点为；在轴上取一点，使，则，则，直线与抛物线交点为，分别求出直线解析式，再与抛物线联立求交点坐标即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线对称轴为，
∴，即，
∵，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴顶点P的坐标为；
②令，则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴，
∴，，
如图，连接，
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴，
∴周长
∴当点在线段上时，周长最小，最小值，
设直线的解析式为，
将、代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：∵抛物线过定点，对称轴为，
∴抛物线过关于对称轴对称的点，
∴定点，
∵抛物线对称轴为，
∴，即，
∵，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵，，
∴，线段中点在轴上，
∴，，
∴，
当在上方时，在轴上取一点，使，则，
∴，
∴，
∵，
∴直线与抛物线交点为，
设直线的解析式为，
将、代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴；
当在下方时，在轴上取一点，使，则，则，
∴，
∵，
∴直线与抛物线交点为，
同理解得；
综上所述，抛物线上存在或，使得．