山东省青岛实验初级中学2025~2026学年九年级上册数学12月月考试题【附解析】

这是一份山东省青岛实验初级中学2025~2026学年九年级上册数学12月月考试题【附解析】，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C．D．
6．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
7．图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（ ）

A．B．C．D．
8．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．B．﹣1C．D．
9．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．如下结论中不正确的是（ ）
A．与的面积相等
B．与始终相等
C．四边形的面积大小不会发生变化
D．
10．如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算：___________．
12．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B，在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm．（参考数据：，，，结果精确到）
13．考察函数的图象，当时，y的取值范围是 ．
14．如果矩形的长边为2，短边为1，若另一矩形的周长和面积分别是其周长和面积的3倍，则另一矩形的长边为 ．
15．如图，点在等边的边上，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点，的延长线与的延长线相交于点，则的值为 ．
16．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数时，；④；⑤；⑥若，且，则．其中正确的是 ．（只填写序号）
三、解答题
17．要求用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知线段，求作：，使，，且．
18．用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．
19．已知中，，若，，解此直角三角形．（参考数据：，，）
20．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长米，设苗圃的一边长为米．
（1）苗圃的另一边长为______米；（用含的代数式表示）
（2）当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标．
22．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cs73.7°≈，tan73.7°≈
23．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表：
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园：第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒；（用含x的代数式表示）
（2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）
（3）①与x的函数关系式是_____；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
24．问题提出：最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1．按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表①
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2．根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表②
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况：
表⑤
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个，最长边长为7的整数边三角形有___________个；
（2）最长边长为100的整数边三角形有___________个；
（3）在整数边三角形中，设最长边长为n，若k为正整数，用k的代数式表示：当时，整数边三角形有__个，当时，整数边三角形有__________个；
（4）在整数边三角形中，设最长边长为n，用n的代数式表示：
当n为奇数时，整数边三角形有________个，当n为偶数时，整数边三角形有________个．
25．已知，如图，中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点，过作，垂足是，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当t为何值时，；
（2）设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积是面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；
（4）连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查三视图，从物体上面看物体得到的平面图形就是物体的俯视图，从而确定答案，注意看得见的棱用实线、看不见的棱用虚线．
【详解】解：从上面看组合体，可得它的俯视图是，
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查平行投影，解题的关键是理解平行投影的定义，属于中考常考题型；
根据平行投影的定义判断即可；
【详解】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是：
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了求一个角的余弦值，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键．
过点A作于点H，则，由勾股定理求出，再由余弦的定义即可求解．
【详解】解：过点A作于点H，则，
∴由勾股定理得，，
∴，
故选B．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键．
根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标．
【详解】解：代入，得，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
由题意，得在x轴上，
∴轴，
，
∴．
故选B ．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
由顶点坐标可设抛物线解析式为，再根据抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同可得得到即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
∵抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，
∴，
∴抛物线的解析式为．
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解．
【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为，
将代入可得，
反比例函数解析式为，
根据反比例函数图象可得：
当液体密度时，浸在液体中的高度，
选项说法错误，不符合题意；
当液体密度时，浸在液体中的高度，
选项说法错误，不符合题意；
根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小，
当浸在液体中的高度时，该液体的密度，
选项说法正确，符合题意；
根据反比例函数图象可得，
当液体的密度时，浸在液体中的高度，
选项说法错误 ，不符合题意．
故选．
7．【正确答案】A
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．
故选A．
8．【正确答案】B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选B.
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键．
根据反比例函数系数的几何意义，可知，，代入即可判断选项、，设，则，，，可得，，，由此可判断选项、．
【详解】解：、点、是反比例函数的图象上的点，，故选项正确；
、设，则，，，则，，令，即，解得（负值舍去），故当点横坐标为时，与才相等，故选项错误；
、因为是反比例函数的图象上一动点，所以，故，故选项正确；
、设，则，，则，，所以，故选项正确；
故选．
10．【正确答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴的直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键．
由可得，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可．
【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点，
∴令，可得纵坐标为，纵坐标为 ，
，，
．
，

．
故选D．
11．【正确答案】2
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，直接根据特殊角的三角函数值计算即可．熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
【详解】解：
.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点B作于点D，过点C作于点E，在中，求得，即，在中，根据三角函数的定义，可求得，即得答案．
【详解】过点B作于点D，过点C作于点E，
，，
，
，
在中，，
，
，
与尺上沿的交点C在尺上的读数是．
13．【正确答案】或
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质解答即可．熟练掌握以上知识点是关键．
【详解】解：当时，，如图
由图可知当时，或.
14．【正确答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设另一矩形的长边为x，根据新矩形的周长是原矩形的3倍可得另一矩形的宽为，根据另一矩形的面积是原面积的3倍列出方程，通过解一元二次方程求出长边．
【详解】解：设另一矩形的长边为x，则另一矩形的宽为，根据题意得：
，
整理得，
解得，
∵x为长边，
∴.
15．【正确答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作于点，由旋转的性质得到，，，由直角三角形的性质求得的长，再由相似三角形的判定和性质求得的长即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
为等边三角形，，
，
，
，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
.
16．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．由抛物线开口向上得，根据对称轴得到，根据抛物线与轴交于负半轴，得到，①正确；由得，②错误；根据抛物线对称轴为直线，开口向上，得到函数最小值为，得到③正确；根据抛物线与轴的右交点在之间，左交点在和原点之间，当时，，得到④错误；当时，，得到⑤正确；根据得到， 结合， 得到抛物线对称轴为， 得到⑥正确．
【详解】解：二次函数的图象如图所示，
由抛物线开口向上得，
由抛物线对称轴为，
，
，
由抛物线与轴交于负半轴，则，
，故①正确；
由得，故②错误；
抛物线对称轴为直线， 开口向上，
函数最小值为，
为任意实数时，，即，故③正确；
抛物线与轴右交点在，之间，
左交点在，之间，
当时，，故④错误；
当时，函数值，故⑤正确；
，
，
当和时函数值相等，
抛物线对称轴为，
，故⑥正确
正确的有.
17．【正确答案】见详解
【分析】本题主要考查了复杂作图，三角函数，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．在直线上取点，过点作直线的垂线，在垂线上截取；在直线上截取，作线段的垂直平分线，交直线于点；连接，即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求．
作法：在直线上取点，过点作直线的垂线，在垂线上截取；
在直线上截取，作线段的垂直平分线，交直线于点；
连接，即为所求．
证明：∵，，，
∴，
∴．
18．【正确答案】抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
【分析】本题考查将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的图象和性质．
按照配方的基本步骤进行即可，注意二次项系数要先提取后化为1，再配一次项系数的一半的平方．
【详解】解：
，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
19．【正确答案】此直角三角形三边分别为，，，三个角分别为，，
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．先根据勾股定理求出斜边，再解直角三角形求出，进而求出即可．
【详解】解：在中，，，，
，
，
，
，
，
故此直角三角形三边分别为，，，三个角分别为，，．
20．【正确答案】（1）
（2）当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米
【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出相应的代数式．
（1）根据木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米，即可求解；
（2）根据题意列不等式求出，设苗圃的面积为，则，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米，
米.
（2）解：由题意可得，
解得，
设苗圃的面积为，
则，
，，
当时，最大，最大为，
答：当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米．
21．【正确答案】（1）；
（2）或
（3）
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；
（2）根据，两点坐标判断即可．
（3）设,，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
反比例函数的表达式为，
点在反比例函数图象上，
，
点A的坐标为点，
将点A，B坐标代入中，得，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：不等式的解集为或；
（3）解：令，则，
令，则，
解得，
点C的坐标为，点D的坐标为，
设，
点A的坐标为点，，
，
，
解得：，
22．【正确答案】点O到BC的距离为480m．
【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．
【详解】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON=MC，OM=NC，
设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，
在Rt△ANO中，∠OAN=45°，
∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，
在Rt△BOM中，BM=，
由题意得，840﹣x+=500，
解得，x=480，
答：点O到BC的距离为480m．
23．【正确答案】（1）
（2）
（3）①；②第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元
【分析】本题综合考查了一次函数的应用、二次函数的应用，运用函数关系正确表示利润是解答的关键．
（1）设第x天的单价，利用待定系数法求解；
（2）根据利润单价销售量固定成本，列式计算即可；
（3）①由图象可知：二次函数的图象经过点，，利用待定系数法求解；②列出关于x的函数关系式，变形为顶点式，求出最大值即可．
【详解】（1）解：设第x天的单价，
由题意得，
解得，
.
（2）解：由题意得，
整理得，
即（元）与x的函数关系式为；
（3）解：①由图象可知：二次函数的图象经过点，，
代入，得：，
解得，
；
②，
，
当时，有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元．
24．【正确答案】（1）12, 16
（2）2550
（3）；
（4）；
【分析】本题考查的是探究规律，解决问题的关键是列出规律并找出规律及正确分类．
（1）由上面列举得1至5的整数边三角形个数规律即可解答；
（2）根据1至7的整数边三角形个数规律即可解答；
（3）按照n为奇数和偶数分类，找出n与两数乘积中第一个的关系；
（4）由（3）可得结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
最长边是奇数时 算式
1
3
5
7
⋯⋯
n ；
最长边是偶数时 算式
2
4
6
⋯⋯
n ；
所以可得：最长边长为6时，n为偶数，算式为；
最长边长为7时，n为奇数，算式为；
∴ 最长边长为6的整数边三角形有12个，最长边长为7的有16个．
（2）解：最长边长为100时，n为偶数，个数为，
∴ 最长边长为100的整数边三角形有2550个.
（3）解：当时，n为奇数，个数为；
当时，n为偶数，个数为．
∴ 当时，整数边三角形有个；当时，有个．
（4）解：当n为奇数时，整数边三角形个数为；
当n为偶数时，整数边三角形个数为；
∴ 当n为奇数时，有个；当n为偶数时，有个.
25．【正确答案】（1）1
（2）
（3）存在，
（4）存在，或
【分析】（1）先证，得到，再根据点的运动速度求得所用时间的值；
（2）求出和的值，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某一时刻t，四边形的面积是平行四边形的面积的一半，根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值；
（4）存在某一时刻，使与的交点把线段分成的两部分．分情况讨论：或，根据, 可得，列出方程或，据此求出t的值．
【详解】（1）解：在中，，即，
，
，
，
，
点沿方向匀速运动，速度为，
当时，点运动了，
当时，；
（2）四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
由题意得，
∴，
，
解得,
，
，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
，
又，
，
∴
即,
,
与之间的函数关系式为；
（3）解：存在，．理由如下：
过点A作，
在中，，，
，
当四边形的面积是面积的一半时，则，
，解得，（舍去），
当时，四边形的面积是面积的一半；
（4）解：存在某一时刻，使与的交点把线段分成的两部分．理由如下：
设交于点，分情况讨论：
当时，如图，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
解得，
当时，
，
，
解得，
综上，存在或时，使与的交点把线段分成的两部分．单价（元/盒）
销售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
______
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
1
1
1
1个1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
2
1
1
2个1
2
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
3
1
1
2个2
2
，
2
3
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
4
1
1
3个2
2
，
2
3
，
2
4
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
1
1
3个3
2
，
2
3
3
4
，
2
5
1