2023-2024学年山东省济宁市任城区实验初中九年级上学期12月月考数学试题(含解析)

这是一份2023-2024学年山东省济宁市任城区实验初中九年级上学期12月月考数学试题(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

初四数学
一、选择题
1．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．圆既是中心对称图形也是轴对称图形
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧就是长度相等的弧
2．如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
4．如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（ ）

A．5B．6C．8D．9
5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（2，3）C．（3， 2）D．（4，）
6．如图，与正方形的两边相切，且与相切于E点．若的半径为5，且，则的长度为（ ）
A．5B．6C．D．
7．如图，四边形内接于，是直径，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为2，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为
A．4B．C．6D．
二、填空题
11．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．
12．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是 ．
13．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度米，如果要通过最大轮船的水面高度为米，则设计拱桥的半径应是 米．
14．如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE=1，DE=3，则AB= ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 ．
16．如图，已知半圆．点在半圆上，，在 取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．

三、简答题
17．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．
18．如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．

(1)求的长；
(2)计算图中阴影部分的面积．
19．如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接．
(1)直线与相切吗？并说明理由；
(2)若，，求半径的长．
20．如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线．
(1)求证：；
(2)延长到D，使，连接与交于点E，若的半径为3，，求的长．
21．如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作RtΔABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．
(1)求证：是的中点；
(2)若，，求弦的长．
22．如图，是半圆O的直径，点P在的延长线上，切于点C，，垂足为D，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求BD的长．
23．如图，内接于，C为的中点，D在上，连接．
(1)如图，若，垂足为E，直线分别交，于点F，G．求证：．
(2)如图，若与不垂直，过点C作，垂足为E，连接，写出之间的数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据弧、弦，圆心角的关系，轴对称图形的定义以及垂径定理进行逐一判断即可．
【详解】解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，原命题是假命题，不符合题意；
B、圆既是中心对称图形也是轴对称图形，原命题是真命题，符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，原命题是假命题，不符合题意；
D、等弧是同圆或等圆中圆心角相等的弧，原命题是假命题，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了弧、弦，圆心角的关系，轴对称图形的定义以及垂径定理，判断命题真假，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了等角对等边，三角形内角和定理，连接，根据，，设，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得 ，根据三角形内角和定理即可求得
【详解】解：如图，连接，
∴
设，
在中，
故选：D．
3．D
【分析】连接，根据切线的性质求出，再由圆周角定理求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：连接，
是的切线，点是切点，
．
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．
4．C
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求解，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
【详解】解：连接，如图：

为直径，且，，
，
在中，，根据勾股定理得：
，
，
，
故选C．
5．C
【详解】试题解析：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，
则函数的解析式是：y=，
∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切，
∴⊙B的半径是1，
则⊙A是2，
把y=2代入y=得：x=3，
则A的坐标是（3，2）．
故选C．
考点：1．切线的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征．
6．B
【分析】本题考查了切线和切线长定理，作辅助线，利用切线长性质求解是关键．连接，根据切线性质证四边形为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得．
【详解】解：连接，
∵都与相切，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】根据圆内接四边形的性质可知，然后根据等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内四边形的性质是解题的关键．
8．D
【分析】过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵O为三角形外心，
∴∠OAH=30°，
∴OH=OB=1，
∴BH=，AH=-AO+OH=2+1=3
∴
∴
故选：D
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9．B
【分析】利用辅助线构造直角三角形和相似三角形进行边的求解和角的转化即可．
【详解】：如图，连接PO，AO，取PO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90º.
∵△PCD的周长等于3r，
∴PA=PB=.
∵⊙O的半径为r，
∴在Rt△APO中，由勾股定理得
∴.
∵∠OHA=∠OAP=90º,∠HOA=∠AOP,
∴△HOA∽△AOP.
∴,
即，
∴，
∴；
∵∠AGH=2∠APO=∠APB,
∴.
故选：B．
【点睛】本题考查了以下内容：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用；解决本题的关键是进行角的转化，得到与∠APB相等的角．
10．B
【详解】试题分析：连结OD，如图， ∵DF是圆的切线， ∴OD⊥DF， ∴∠ODF=90°，
∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC， 而OD=OC， ∴∠ODC=60°，
∴∠ODC=∠A， ∴OD∥AB， ∴DF⊥AB
在Rt△ADF中，∠A=60°， ∴∠ADF=30°， ∴AD=2AF=2×2=4，
而OD∥AB，点O为BC的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴AD=CD=4，即AC=8，
∴AB=8， ∴BF=AB-AF=6， ∵FG⊥BC， ∴∠BGF=90°，
在Rt△BFG中，sinB=sin60°=， ∴FG=6×=3.
11．（6，2）
【详解】试题分析：本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．
解：设圆心坐标为（x，y）；
依题意得，
A（4，6），B（2，4），C（2，0）
则有
==，
即（4﹣x）2+（6﹣y）2=（2﹣x）2+（4﹣y）2=（2﹣x）2+y2，
化简后得x=6，y=2，
因此圆心坐标为（6，2）．
点评：本题考查了三角形外接圆的性质和两点之间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
12．3
【分析】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意，，
∴．
故答案为：3．
13．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：如图，点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB，延长交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB=AB=40，EF=ED-FD=AE-DF，
由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+(AE-DF)2，
设圆的半径是r．
则：r2=402+(r-20)2，
解得：r=50
故答案是：50．
【点睛】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．建立数学模型是关键．
14．2
【分析】连接AC、BD，根据同弧所对的圆周角相等，可以得出，进而得出，因为E是AB的中点，求出AE在乘2即可．
【详解】解：连接AC、BD，
∵和均是弧BC的圆周角，
∴=
∵=，，
∴，
∴，
∴，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE
∵CE=1，DE=3
∴，
解得：，
∴弦AB的长为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，运用相似三角形证明两条弦之间的关系是解题关键．
15．##
【分析】本题考查圆的切线，一次函数的图象和性质，直线l与x轴的夹角为，与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，画出示意图，求出直线l与x轴的交点坐标，即可求解．
【详解】解：如图，当直线l：与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，设圆心为B，切点为C，直线l与x轴的交点为D，连接，

点A的坐标为，
点B的坐标为，
，
直线l与半圆相切，
，
直线l：与x轴的夹角为，
是等腰直角三角形，
，
，
点D在x轴的负半轴，
点D的坐标为，
将代入，得，
解得．
故答案为：．
16．
【分析】如图，取的中点，连接，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小．
【详解】解：连接，取的中点，连接，

∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
当、、三点共线时，最小，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、圆周角定理推论“半（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径”，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
17．(1)见解析；（2）∠ADC的度数为37°．
【分析】（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出△ABD≌△CDB；
（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．
【详解】（1）证明：∵AB，CD是直径，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD和△CDB（HL）；
（2）解：∵BE是切线，
∴AB⊥BE，
∴∠ABE=90°，
∵∠DBE=37°，
∴∠ABD=53°，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，
∴∠ADC的度数为37°．
【点睛】题目主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
18．(1)4
(2)
【分析】（1）作于点E，连接，解直角三角形，即可求得的长，再根据勾股定理和垂径定理，即可解答；
（2）根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可解答．
【详解】（1）解：作于点E，连接，
，
，
，，
，
，
，
∴，
；
（2）解：，
，
，
∴阴影部分的面积为．

【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
19．(1)相切，理由见解析
(2)3
【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质等：
（1）连接，根据切线的定义可得，结合平行线的性质、等腰三角形中等边对等角，可得，再证，可得，即可证明直线与相切；
（2）利用勾股定理解即可．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又为的直径，
直线与相切；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
即半径的长为3．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
（1）连接，由及是的切线得出，再利用，得出结论，
（2）连接，得出是直角三角形，的外接圆的直径是，利用，求出．
【详解】（1）如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴的外接圆的直径是，
又∵，
∴，
∴，
∵的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)弦DG的长为．
【分析】（1）连AD，由AB为直径，根据圆周角定理得推论得到∠ADB=90°，从而有∠C+∠EAD=90°，∠EDA+∠CDE=90°，而∠CAB=90°，根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线，而DE与⊙O相切，根据切线长定理得ED=EA，则∠EDA=∠EAD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，则ED=EC，即可得到EA=EC；
（2）由（1）可得AC=2AE=6，结合cs∠ACB=推知sin∠ACB=，然后利用圆周角定理、垂径定理，解直角三角形即可求得DG的长度．
【详解】（1）证明：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EA，
∴∠EAD=∠EDA，
而∠C=90°-∠EAD，∠CDE=90°-∠EDA，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EA=EC，
即E为AC的中点；
（2）解：由（1）知，E为AC的中点，则AC=2AE=6．
∵cs∠ACB=，
设AC=2x，BC=3x，
根据勾股定理，得AB=，
∴sin∠ACB=．
连接AD，则∠ADC=90°，
∴∠ACB+∠CAD=90°，
∵∠CAD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠ACB，
在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACB=6×=2．
在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=2×=，
∴DG=2DF=．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
22．(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质：
（1）连接，，由切线可知，推出，结合推出，由直径所对的圆周角为90度可得，进而推出，可证；
（2）先证，推出，求出，再证，推出，代入数值即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
切于点C，
，
又，
，
，
，
，
，
是半圆O的直径，
，
，，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
．
23．(1)见解析
(2)．理由见解析
【分析】（1）连接、，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一的性质解答即可；
（2）在上截取，连接、，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）连接、，，如图，
∵C为优弧的中点，
∴，
∴，
又，
∴O、C都在的垂直平分线上，即是垂直平分线，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
又 ，
∴；
（2）．理由：
在上截取，连接，如图，
∵，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
∴，
∵．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
∴之间的数量关系为：．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，连接圆的半径和同弧所对的圆周角是解决此类题目常添加的辅助线．