山东省济宁市鱼台县12月月考2025~2026学年上册九年级月考数学试题【附解析】

这是一份山东省济宁市鱼台县12月月考2025~2026学年上册九年级月考数学试题【附解析】，共27页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
4．关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．当时，随的增大而增大B．图象位于第二、四象限
C．点在函数图象上D．当时，
5．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ）
A．只有方法1对B．只有方法2对C．方法1，2都对D．方法1，2都错
8．如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表：
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图象如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
9．如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（ ）

A．B．或
C．D．或
10．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
12．如图，直线交于点，，若，则的值为 ．
13．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得超然楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得超然楼的高度是 m．（参考数据：）
14．如图，正八边形的顶点，，，在坐标轴上，顶点，，，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
15．如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为 ．
三、解答题
16．（1）解方程：．
（2）计算：．
17．实验中学校开设的活动课程受到同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的芦苇席编织课程更是火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级5班的小俊、小珂和家乐都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小俊先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小珂再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小俊胜；若和小于4，则小珂胜；若和等于4，则家乐获胜．
（1）请用列表或画树状图的方法，说明小俊参加活动课程的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？
18．如图，在中，点P是的边上的一点．
（1）以上三人方法正确的有哪些________．（填序号）
（2）选择一种正确的方法，求证：；
（3）在（2）的条件下，，若，，求的长．
19．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
20．综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
21．如图，在中，，，点P为线段（不与点A重合）上一点，过点P作交于点Q．设的长度为x，线段的长度为，等于的周长与的周长之比．
（1）求出，分别关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出函数，取值范围内的图象；求出它们的交点坐标；
（3）请写出函数的一条性质，并结合函数图象直接写出与的取值范围．
22．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．
23．已知二次函数的图象经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在第三象限内二次函数的图象上有一动点P，连接，与直线交于点E，当的值最大时，求点P的坐标，及的值．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选D．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．
根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米，
∴根据题意得：，
故选D
4．【正确答案】D
【分析】根据反比例函数的图象性质判断即可；
【详解】解：∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，故A不符合题意；
∵ ，
∴图象位于第二、四象限，故B不符合题意；
当 时， ，故C不符合题意；
当 时， ，故D错误，符合题意；
故答案选D．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见详解），根据可得的长，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：方法，连接，，
由网格可知，，，
∴，
∴；
方法，连接，，
由网格可知，，，
∴，
∴；
综上可知：方法，都对，
故选．
8．【正确答案】C
【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图象；观察所画图形，回想常见几种函数的图象特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【详解】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设
把代入求得
∴
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为，
把代入得，
∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选C．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，计算即可．
【详解】解：∵等边的顶点，，
∴，
过A作轴于C，

∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，
∴与的位似比为，
∴点A的对应点的坐标是或，即或，
故选D．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故选A．
11．【正确答案】
【分析】本题考查根的判别式，当时，方程有两个相等的实数根，由此可解．
【详解】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
.
13．【正确答案】51
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．
延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解．
【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．【正确答案】/
【分析】此题考查了正多边形的性质、等腰直角三角形的性质、求反比例函数是比例系数．作轴于点，求出，根据在反比例函数的图象上即可得到答案．
【详解】解：作轴于点，在正八边形中，内角的度数，
∵轴，
∴轴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
同理可得，是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴.
15．【正确答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出.
在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值.
【详解】解：在上取点，使，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当在上时，取最小值，为.
故答案为.
16．【正确答案】（1）， ；（2）2
【分析】（1）运用因式分解法解方程；
（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可；
本题考查一元二次方程与三角函数的综合应用，熟练掌握特殊角的三角函数值以及运用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
【详解】解；（1）
，
，
， ；
（2）
．
17．【正确答案】（1）
（2）游戏公平，理由见详解
【分析】本题主要考查树状图法或列表法求概率、游戏的公平性，
（1）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再找到两次数字之和大于4的结果，然后根据概率计算公式计算即可．
（2）结合（1）中得一共有9种等可能性的结果数，进而求出两次摸到的数字之和大于4、两次摸到的数字之和小于4和两次摸到的数字之和等于4的概率，即可判定．
【详解】（1）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，
小俊获胜的概率为，
答：小俊参加活动课程的概率是；
（2）解：游戏公平；理由：
由（1）可知，一共有9种等可能性的结果数，两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和等于4的结果数有3种，
∴小俊获胜的概率为；小珂获胜的概率为；家乐获胜的概率为，
∵，
游戏公平．
18．【正确答案】（1）①②
（2）见详解
（3）2
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果；
（2）见详解（1）；
（3）利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：①小星的证明：
∵，
∴；
②小红的证明：
∵，
∴；
③小亮的证明：由不能证明，
∴小星和小红对，小亮错．
（2）证明：小星的证明：
∵，
∴；
小红的证明：
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得．（负值已舍去）
19．【正确答案】（1）反比例函数的表达式为：
（2）
【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；
（2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，
∵含角的三角板为等腰直角三角形，，
∴，，
如图，连接，旋转到的位置；
∴，
∵的对应点在的图象上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴.
20．【正确答案】该城市规划展览馆的高度为；打印模型的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键．
任务二：先由矩形得到，，然后解即可；
任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可．
【详解】解：任务二：由题意得为矩形，
∴，，
∵在中，
∴，
∴，
答：该城市规划展览馆的高度为；
任务三：设打印模型的高度约为，
则由题意得：，
解得：，
答：打印模型的高度约为．
21．【正确答案】（1）
（2）见详解；
（3）随x增大而减小（答案不唯一）；；
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定：
（1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案；
（2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象，再联立两函数解方程即可求出交点坐标．
（3）根据函数的图象写出一条性质数即可，再求出与的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
联立两函数：
解得：或（舍去），
故两函数图象的交点坐标为：．
（3）解：由函数图象可知，随x增大而减小；
∵，
∵，
∴在区间内，随x的增大而增大，
当时，，当时，，
则，
∵，，
∴在区间内，随x的增大而减小，
且在时，取得最小值为1，
则．
22．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【分析】（1）连接，根据是的角平分线，进而可得，，根据垂径定理的推论可得，由，即可证明，即可证明是的切线；
（2）由可得，，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可得，根据圆内接四边形的对角互补，可得，可得，即可证明
（3）连接，根据直径所对的圆周角等于90°，进而勾股定理求得，由，进而求得，根据（2）的结论，列出比例式，代入数值计算即可求得线段的长．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的角平分线，
是的切线；
（2）
，
（3）如图，连接
是的直径，
，
在中，，
在中
即
23．【正确答案】（1），
（2）①该二次函数的解析式为；，；②，的值为
【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得；
（2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，；
②先求得直线的表达式为，过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H，则，先证明得到，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵的图象经过，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴，
∵，
，
∴，
∴，；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，；
②设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为，
过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H，
则，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时，
即点P坐标为．……
10
15
20
25
30
……
……
45
30
22.5
18
15
……
项目分析
活动目标
测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度
测量工具
测角仪、皮尺
项目实施
任务一测量数据
以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．
1．测出测角仪的高．
2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角．
3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离．
任务二计算实际高度
根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
任务三换算模型高度
将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到）
项目结果
为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据