黑龙江省哈尔滨市松北区2025~2026学年八年级上册期末考试数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省哈尔滨市松北区2025~2026学年八年级上册期末考试数学试题【附解析】，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．4，6，10B．2，5，8C．3，5，9D．4，5，6
2．以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．等腰三角形的顶角是，则此等腰三角形的底角度数为（ ）
A．B．C．或D．
5．如图所示，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在与中，、相交于点O，下列四组条件中，不能证明的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．3
10．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合，简称三线合一．
B．在三角形中，角所对的边等于最长边的一半．
C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
D．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称图形．
二、填空题
11．将用科学记数法表示为 ．
12．若要分式有意义，则x需满足的条件是 ．
13．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点是 ．
14．因式分解：
15．已知，，则的值为 ．
16．若是一个关于x的完全平方式，则k的值为 ．
17．已知在中，，是边上的高，若，则 ．
18．如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长是 ．
19．如图，在中，，，，点D为中点，，P为上一动点，连接，则的最小值为 ．
20．如图，在 中，，以 为边，作 ，满足 为 上一点，连接 ，连接 ，① ；② ；③ ；④若 ，则 ，其中正确的有 ．
三、解答题
21．先化简，再求代数式的值，其中．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度直尺按下列要求作图．
（1）在方格纸中，画出关于x轴对称的
（2）点M在x轴上，连接，请以为腰作等腰，且要求点D在第二象限内．
23．已知：，，．
（1）求的值．
（2）写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由．
24．已知：中，，平分，连接、，延长交于点，.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有底角为的等腰三角形.
25．某学校在手工制作课程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织1个大号中国结比编织1个小号中国结需多用绳6米；若用800米的绳编织大中国结的数量与用680米的绳编织小中国结的数量相同．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）学校决定编织以上两种中国结共15个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过558米，那么该中学最多需要编织多少个大号中国结？
26．如图1，已知为等腰三角形，，作射线，交的延长线于点D，点E为延长线上的一点，若．
初步探索：（1）求证：；
拓展延伸：（2）如图2，过点C作，垂足为F，过点D作，垂足为H，求证：；
灵活运用：（3）如图3在（2）的条件下，连接，，点P在线段上，，过点P作，交于点Q，交于点M，若，，求的长．
27．如图1，等腰在平面直角坐标系中，，，若的面积是36．
（1）求点A的坐标；
（2）点P为射线上的一点，连接，若点P的坐标为，的面积为S，用含有t的式子表示S．
（3）在（2）的条件下，如图2，当时，点M为线段上的一点，连接交y轴于点D，连接，连接交于点E，连接，若，求点M的坐标．
答案
1．【正确答案】D
【分析】此题考查了三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边”是解题的关键．
【详解】根据三角形三边关系：可用较小的两边之和大于第三边，求解即可．
A．，不能摆成三角形，故该选项不符合题意；
B． ，不能摆成三角形，故该选项不符合题意；
C． ，不能摆成三角形，故该选项不符合题意；
D． ，能摆成三角形，故该选项符合题意；
故选D．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形，进行逐项判断即可.
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故C.
3．【正确答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方运算的法则求解即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意．
故选D．
4．【正确答案】B
【分析】本题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数 ；
故选B．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，判定三角形全等是解题的关键；由题意可得，则有，再由三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即；
∵，
∴，
∴；
∴；
故选B．
6．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：A、在和中，
，
∴，该选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴根据，可得已有条件属于，不满足全等判定定理，无法证明，该选项符合题意；
C、∵，
∴，
在和中，
，
∴，该选项不符合题意；
D、在和中，
，
∴，该选项不符合题意；
故选B．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查尺规作图画线段垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质；由三角形内角和定理可得，由题意得：是的垂直平分线，可得，，根据即可求解.
【详解】解：∵在中，，，
∴,
由题意得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴.
故选A.
8．【正确答案】B
【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．
【详解】解：设慢车的速度是，则快车的速度为，
依题意得，
故选B．
9．【正确答案】D
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和含有角的直角三角形的特征，可求得，，，，据此即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴．
根据图形折叠的性质可知，，
∴．
∴．
∴．
故选D
10．【正确答案】C
【分析】本题考查等腰三角形和等边三角形的性质，以及全等三角形的对称性；选项A错误，因为三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边；选项B错误，因为角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形；选项C正确，因为有一个角是的等腰三角形所有角均为60°；选项D错误，因为全等三角形不一定轴对称.
【详解】解：A、三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线互相重合，简称三线合一，故A不符合题意；
B、角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形，即直角三角形中角所对边等于斜边的一半，故B不符合题意；
C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故C符合题意；
D、全等三角形不一定轴对称，故D不符合题意.
故选C.
11．【正确答案】
【分析】本题考查科学记数法；根据科学记数法的定义，将小数点向右移动5位得到，因此指数为.
【详解】解.
12．【正确答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件；分式有意义的条件是分母不为零.
【详解】解：∵分式有意义，
∴分母，解得.
13．【正确答案】（-3，-2）
【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得.
【详解】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，
点P（3，-2）关于y轴的对称点的坐标是（-3，-2）.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了分解因式，掌握分解因式的方法是关键；先提公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
15．【正确答案】6
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
16．【正确答案】9
【分析】本题考查完全平方公式；将表达式与完全平方公式对比，根据一次项系数求出常数项的值.
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴它可以写成，
∴比较系数，得，解得.
∴.
17．【正确答案】或
【分析】本题考查三角形的高，三角形内角和定理；根据是边上的高，得到，在中，利用三角形内角和定理求出，再在中，利用三角形内角和定理求出，有锐角和钝角两种情况，需分类讨论.
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
又∵，
当为锐角时，如图所示，
∴在中，，
即，
在中，，
∴，
当为钝角时，如图所示，
∴在中，，
∴即，
在中，，
∴.
18．【正确答案】
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，熟练掌握等边三角形的性质，等 腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】∵为等边三角形，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为，
同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为.
19．【正确答案】
【分析】本题考查的是最短路径问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质等，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
作A关于的对称点，连接、、、，则，，，，，结合题意易求，则为等边三角形，然后根据，推出当三点共线时，取最小值，即为的长度，最后根据得到等边的面积，即可解答．
【详解】解：作A关于的对称点，连接、、、，
则，，，，，
∴三点共线，
∴，
∴当三点共线时，取最小值，即为的长度，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
20．【正确答案】①③④
【分析】因为，且，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的；当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的；也可以通过线段的等量代换运算推导出③是正确的；设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故④是正确的．
【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，故①是正确的；
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故②是不正确的；
，
，
，
，故③是正确的，
设，则，
，
，
，
，
，
，
④是正确的；
故正确的有①③④．
21．【正确答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，涉及负整数指数幂和零次幂，先利用分式的运算法则对代数式进行化简，然后代入的值即可．
【详解】解：
；
，
∴原式．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题考查网格作图；
（1）根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，找到的对应点顺次连接即可；
（2）连接，则即为所求，由网格可得，得到，，所以是以为腰、点D在第二象限内的等腰直角三角形.
【详解】（1）解：根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，找到的对应点顺次连接即可，如图所示，
（2）解：如图所示，连接，则即为所求，
由网格可得，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴是以为腰、点D在第二象限内的等腰直角三角形.
23．【正确答案】（1）
（2），理由见详解
【分析】本题考查幂的运算；
（1）利用同底数幂的乘法即可求解；
（2）由可得，利用即可得结论.
【详解】（1）解：∵，，
又∵
∴.
（2）解：数量关系为，理由如下：
，
，
又，，，
即，
.
24．【正确答案】（1）见详解;（2）△ABE,△ACE,△DBE
【分析】（1）先根据SSS证明△ABE≌△ACE，证得∠DBE=∠ACD，再根据三角形外角的性质，得出∠DBE=∠DEB，即可证出结论．
（2）计算出相关角度，根据等角对等边即可判定
【详解】∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠CAE
∵AB=AC ∠BAE=∠CAE AE=AE
∴△ABE≌△ACE ，∴∠DBE=∠ACD
∵∠ADC=2∠ACD ∴∠ADC=2∠DBE
∵∠ADC=∠DBE+∠DEB ∴∠DBE=∠DEB
∴BD=ED
（2）在中，∵，.
∴∠ADC=, ∠ACD=，由（1）知：∠DBE=∠ACD
∴∠DBE=∠ACD=, ∴∠DBE=∠DEB=
∴△DBE是底角为的等腰三角形.
∵AE平分∠BAC ∠ADC=,
∴∠BAE=∠CAEDBE=∠DEB
∴△ABE和△ACE是底角为的等腰三角形.
25．【正确答案】（1）编织一个小号中国结用绳34米，编织一个大号中国结用绳40米
（2）最多需要编织8个大号中国结
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设编织一个小号中国结需要用绳x米，根据“用800米的绳编制大中国结的数量与用680米的绳编织小中国结的数量相同”列出分式方程求解即可；
（2）设该中学需要编织a个大号中国结，根据“两种中国结所用绳长不超过558米”列出一元一次不等式求解即可.
【详解】（1）解：设编织一个小号中国结需要用绳x米，
解得：
经检验为原方程的解
米
答：编织一个小号中国结用绳34米，编织一个大号中国结用绳40米.
（2）解：设该中学需要编织a个大号中国结
∵a为中国结数量，
∴a为非负整数，
∴a的最大值为8，
答：该中学最多需要编织8个大号中国结.
26．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）由，可得，由可得，结论即可得证；
（2）过点C作，先证明可得，进而得到，再证明可得，结论即可得证；
（3）延长相交于点N，在上截取，连接，证明得到，设，则，可得出是等腰三角形，，再证明得到，最后证明得到.
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴.
（2）过点C作，如图所示：
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）延长相交于点N，在上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴.
27．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，垂直平分线的定义和性质，三角形的面积计算，全等三角形的性质和判定；
（1）由题意得、、都是等腰直角三角形，利用可得点A的坐标；
（2）点P的坐标为，则，由，即可得出结果；
（3）延长交于点G，连接，交y轴于K，作轴，由，可得，由y轴垂直平分，可得，，进而得到，得出，易证明是等腰直角三角形，所以，设，利用可得，进而证明，利用，，即可求出M的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴在与中，，
∴与都为等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵点P的坐标为，点P为射线上的一点，
∴，
由（1）得：，
∴.
（3）解：延长交于点G，连接，交y轴于K，作轴，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵y轴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点M横坐标为4，
∴，
∴，
∴点M纵坐标为2，
∴.