黑龙江省大庆市第三十六中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省大庆市第三十六中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．以上都不是
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．紫斑牡丹是国家重点一级保护野生植物，其花粉粒类似圆形或椭圆形，直径大小平均（）用“”为单位表示数据“”，可以表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．小明在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一种瓷砖来铺设地板，以下正多边形不能铺满地面的是（ ）
A．正八边形B．正六边形C．正方形D．正三角形
7．在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（ ）．
A．米B．米C．米D．米
8．一个圆锥的高为，底面圆半径为2，则其侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．矩形中，，点在边上，，．分别以点，为圆心，大于长为半径在直线的两侧作弧，使两弧分别交于点，，作直线交的延长线于点，交于点，连接，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线．有下列结论：①；②；③当时，；④方程有两个不等的实数根；⑤、是方程的两根，则方程的两根、满足，且．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．已知，且是整数，请写出的值 ．
12．函数中自变量x的取值范围是 ．
13．多边形的每个内角是，它是 边形．
14．如图，点从数0的位置出发，每次运动一个单位长度，运动一次到达数1的位置，运动二次到达数2的位置，运动三次到达数3的位置依此规律运动下去，点从0运动6次到达的位置，点从0运动21次到达的位置点、、在同一条直线上，则点从0运动 次到达的位置．
15．若点与点关于原点对称，则 ．
16．已知关于x的方程有实数根．且是方程的两个实数根，实数m使得成立，则 ．
17．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于 ．
18．如图①，，点是线段上的一个动点，于，记与的函数关系图象如图②所示，则图②中的最低点的坐标是 ．

三、解答题
19．计算：
（1）
（2）
20．先化简，再求值：，自己任选一个整数代入求值．
21．某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
22．根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝______，b＝______，c＝______；
（3）已知该校共有2400名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
23．图1是一座人行天桥玩具积木，如图2是天桥一坡道的示意图，坡道长，坡角，于点C．在不改变坡道高度的情况下，现准备减小坡道的坡角，新坡角变为．
（1）求该坡道的高度．
（2）求坡道新起点D与原起点B之间的距离．（假设图中C，B，D三点在同一直线上，参考数据：，，）
24．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似的，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，__________；
（2）纸片还可以按图3的方式折叠成一个四边形，
①求证：折出的四边形为矩形
②若，，求__________．
25．点茶是宋代传统文化技艺，它的重现具有历史、文化、艺术、科学等多重价值和意义．小华在体验点茶文化时，发现倒茶时的情景（图1）可以抽象为平面图形，并建立平面直角坐标系，如图2所示，已知某种茶壶的壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点，曲线与茶水可视作在同一条抛物线上．若点所在直线与轴（桌面）平行，且茶碗边沿（厚度忽略不计）点与壶口点所在直线垂直于轴．已知线段，线段，壶柄与竖直方向的夹角为，．茶碗的直径为，高度为．若点相对桌面的高度时，抛物线水流恰好落在茶碗水面中心点．
（1）求点相对桌面的高度．
（2）求图中抛物线的解析式．
（3）为展现精湛的技术，小华手持茶壶稳稳向上提起（视作向上平移），要求茶水一滴都不能洒到茶碗外，求移动过程中点处相对桌面的高度的取值范围．
26．如图，直线的解析式为．
（1）若反比例函数与线段有交点，则k的最大值是_______；
（2）若反比例函数的图象交线段于点，且，求k的值；
（3）在（2）的条件下的面积是_______．（直接写出结果）
27．如图1，四边形内接于，，点C在上，于点F．

（1）连接，求证：．
（2）设为x度，为y度，写出y关于x的函数表达式．
（3）如图2，作于点G，连接并延长交于点H．
①，，，求的长．
②若，求的长．
28．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若为抛物线上一点，且在对称轴的右侧，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点向轴作垂线，交轴于点，当时，求点的横坐标．
（3）为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，点，在轴上，且点在点的上方．
①当正方形在轴右侧的顶点落在抛物线上时，求的值；
②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出的值．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【详解】解：的相反数为 ，
故选A．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A.，原式计算错误；
B. ，原式计算错误；
C.不是同类项，不能合并，原式计算错误；
D.，计算正确；
故选D．
3．【正确答案】C
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据，把数据“”换算成米为单位的量，并用科学记数法表示即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选B．
5．【正确答案】A
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及三视图的定义是解题的关键．根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图为：
故选A．
6．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了镶嵌，先分别求出每种正多边形的一个内角，再根据内角和能否拼成可判断答案．
【详解】解：正多边形的内角和公式为：，
正八边形（A）：每个内角为，，非整数，无法铺满，
正六边形（B）：每个内角为，，整数，可铺满，
正方形（C）：每个内角为，，整数，可铺满，
正三角形（D）：每个内角为，，整数，可铺满．
故选A．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解．
【详解】解析：∵，
设，则，
∵，
∴，
即，
解得：，（舍去），
∴线段的长为米．
故选B．
8．【正确答案】D
【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式．圆锥的侧面展开图面积即侧面积，需先利用勾股定理求母线长，再代入侧面积公式计算．
【详解】解：∵圆锥的高，底面半径，
∴母线长，
∴侧面积，
故选D．
9．【正确答案】D
【分析】由线段的垂直平分线的性质证明即可判断①；利用等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可判断②；利用相似三角形的性质求出、即可判断③④．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
，故①正确；
，
四边形是矩形，
，，
，
，
平分，故②正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，故③正确；
，
，故④正确．
综上所述，其中正确的有4个．
故选D．
10．【正确答案】C
【分析】由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故①错误；根据对称轴为直线得到，当时，，于是得到，故②错误；当 为实数时，代入解析式得到，于是得到，故③正确；根据方程，可化为，即与的交点，结合图形即可求解；⑤由方程的根得到函数与轴的交点横坐标分别为，进而由方程的两根为，即为函数与直线 的交点横坐标，得到与、与之间的关系．
【详解】解：由图象开口向上，可知，
与轴的交点在轴的上方，可知，
又对称轴为直线，所以，所以，
，故①错误；
，
，
当时，，
，
，故②错误；
当 为实数时，
，
，故③正确，
根据方程，可化为，即与的交点，
经过二、四象限，与有个交点
故④正确；
⑤是方程的两根，
与轴的两个交点的横坐标为，
方程 的两根为，，
函数与直线的交点横坐标为，，
函数图象开口向上，
，故⑤正确，
正确的个数有3个，
故选C．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的估算，二次根式的性质可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，即，且为整数，
∴.
12．【正确答案】且
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的条件、分母不为0、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案．
【详解】解：由题意得，，，
解得，且．
13．【正确答案】/十
【分析】本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握边形内角和为是解题的关键．
设是边形，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：设是边形，
依题意得，，
解得，.
14．【正确答案】
【分析】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．由题意得：从点从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得到答案即可．
【详解】解：由题意得：从点从0跳动个单位长度，到达，
跳动个单位长度，到达，
由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为，
，
点从跳到跳动了.
15．【正确答案】2
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，以及求代数式的值．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此求出的值，进而即可求得的值．
【详解】解：因为点与点关于原点对称，
所以，，
解得，；
因此．
16．【正确答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，反过来也成立，也考查了根的判别式．
根据判别式的意义得到，然后解不等式；根据根与系数的关系得到，利用得到，则
，然后解方程后利用的范围确定的值．
【详解】根据题意得
解得；
根据题意得，
即
整理得，解得，
∴的值为．
17．【正确答案】2
【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可．
【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9，
，
，负值舍去，
个直角三角形的面积和为，
，
，
∵，
，
．
18．【正确答案】
【分析】利用勾股定理用含的代数式表示出，进而求出与的解析式，转化为两点之间的距离和，利用将军饮马模型求出最小值，求出一次函数的解析式，进而求出的值，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴为点到点的距离与点到点的距离和，
设点，点，点为轴上一点，
如图：

作点关于轴的对称点，则：，，
∴，
当且仅当三点共线时，取最小值，为，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
当时，，
∴是.
19．【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．【正确答案】，当时，原式=10
【分析】此题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的的值代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：原式
，
∵，，
∴，，，
当时，
原式．
21．【正确答案】型车的平均速度为
【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，
根据题意可得，，
整理得，，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
22．【正确答案】（1）① 18；②见详解
（2）5，，3
（3）该校2400名学生中大约有720名学生竞赛成绩不低于90分
【分析】（1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图；
（2）根据众数、平均数和中位数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
【详解】（1）解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为
．
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人），
补全第1小组得分条形统计图如下∶
（2）解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则，
第2小组获得1分的学生所占百分比为，
第2小组的平均分为（分），则，
第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分），则．
（3）解：（人）．
答：估计该校有720名学生竞赛成绩不低于90分．
23．【正确答案】（1）该坡道的高度为．
（2）坡道新起点D与原起点B之间的距离是．
【分析】（1）根据的正弦值直接进行计算即可；
（2）先根据三角函数值求出、的长，然后根据线段之间的关系进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
答：该坡道的高度为．
（2）解：∵
，
，
∴．
答：坡道新起点D与原起点B之间的距离是．
24．【正确答案】（1）
（2）①见详解，②13
【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理；
（1）根据折叠后的图形全等，进而得到面积相等即可得到，，然后表示出和即可求解；
（2）①由折叠的性质得：，，再结合，可得，同理可得：，即可判断折出的四边形为矩形；
②先由勾股定理求出，再由折叠的性质得：，，，，推出，最后由得到．
【详解】（1）解： 由折叠的性质得：，四边形四边形，
，，
，
∴
.
（2）①证明：∵由折叠的性质得：，，
又∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴折出的四边形为矩形；
②解： ，，，
，
如图：
由折叠的性质得：，，，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
；
25．【正确答案】（1）点相对桌面的高度为
（2）抛物线为
（3）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，二次函数的应用．
（1）依据题意，延长交轴于点．由，从而，再由，可得，，又，进而求出即可判断得解；
（2）依据题意，分别求出，为，从而可得抛物线的对称轴是直线，再利用待定系数法计算可以得解；
（3）依据题意，设抛物线向上平移个单位（），又当抛物线过对面的点，设平移后抛物线解析式为，求出，结合水一滴都不能洒到茶碗外，故，从而，结合原始高度为，则，进而可以得解．
【详解】（1）解：如图，延长交轴于点．
，
．
又，
，．
又，
．
点相对桌面的高度为；
（2）解：由题意，，，
．
又，
为．
抛物线的对称轴是直线．
茶碗的直径为，高度为．
．
设抛物线为，
．
，．
抛物线为；
（3）解：设抛物线向上平移个单位（），
当抛物线过对面的点，
设平移后抛物线解析式为，
．
又水一滴都不能洒到茶碗外，
．
又，
．
已知原始高度为，则．
答：．
26．【正确答案】（1）4
（2）
（3）
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，熟知一次函数与反比例函数的性质是解题的关键
（1）联立两函数解析式得到，根据题意可得方程有实数根，据此利用判别式求解即可；
（2）过点C作轴于E，过点D作轴于F，则，可证明，得到，设，则，即可得到,解方程即可得到答案；
（3）求出点B坐标，根据列式求解即可
【详解】（1）解：联立得，
∵反比例函数与线段有交点，
∴方程有实数根，
∴，
∴，
∴k的最大值为4；
（2）解：如图所示，过点C作轴于E，过点D作轴于F，则，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵C、D都在反比例函数图象上，
∴,
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
27．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）①；②
【分析】（1）根据，得出，，根据圆周角定理得出，即可证明结论；
（2）根据为x度，得出，根据解析（1）可知，，根据三角形内角和得出；
（3）①连接、，，证明为等边三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，（舍去），得出，证明，得出，求出，得出；
②连接，，，根据，，得出，，证明，求出，即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵设为x度，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴
，
即；
（3）解：①连接、，，如图所示：

∵，，是直径，
∴
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴；
②连接，，，

∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1）
（2）或
（3）①或；②或或
【分析】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、正方形的性质等知识，正确求出二次函数解析式并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）设点，则，根据抛物线的对称性得到点，则，利用已知得到，进而解方程可求解；
（3）①设点，根据题意和中点坐标公式可得点，点，求出当点落在抛物线上时和当点落在抛物线上时的值即可解答；②分当正方形与抛物线的交点在边和上时；当正方形与抛物线的交点在边和上时；正方形与抛物线的交点均在边上；当正方形与抛物线的交点在边和上时；正方形与抛物线的交点在边和上，分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：将点和代入得
，
解得，
抛物线L的解析式为；
（2）设点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
根据题意得，点与点关于对称轴直线对称，
点，
点在对称轴的右侧，
，
，
，
，
或，
整理得或，
解得或（舍去）或或（舍去），
点的横坐标为或；
（3）①点在抛物线上，
点，
四边形为正方形，点，在轴上，点为正方形的中心，，
点，点，
当点落在抛物线上时，，
解得（舍去）或，
当点落在抛物线上时，，
解得（舍去）或m，
综上所述，的值为或；
②根据题意，抛物线与正方形的边必有一个交点，分以下几种情况：
当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图，
由①得当抛物线过点时，，
，此时点在点的下方，
交点的纵坐标之差为，
，
解得；
当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图，
，此时点在点的下方．
交点的纵坐标之差为，
，
解得或（舍去），
当点与点重合时，，
解得（舍去）或，
当时，正方形与抛物线的交点均在边上，不符合题意，
当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图，
，此时点在点的上方，点在点的下方，
交点的纵坐标之差为，
，
解得m或m（舍去），
当时，正方形与抛物线的交点在边和上，此时交点纵坐标的差为，不可能为；
综上所述，的值为或或．
平均数
中位数
众数
第1小组
4
a
第2小组
b
5
第3小组
c
3