河北省石家庄市第三十八中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份河北省石家庄市第三十八中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为10，方差为6B．平均数为12，方差为6
C．平均数为12，方差为8D．平均数为13，方差为9
2．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为30°，若木桩上升了，则楔子沿水平方向前进了（如箭头所示） （ ）
A．6cmB．C．D．
4．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上印有一条抛物线及抛物线上一点．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为，则此时抛物线的解析式为（ ）

A．B．
C．D．
5．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）

A．B．C．D．
6．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P．若点P的读数为135°，则∠CBD的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．60°
7．已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（﹣5，0）D．（5，0）
8．如图，在轴的上方，直角绕原点按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数、的图象交于、两点，则的大小的变化趋势为（ ）
A．先减小后增大B．先增大后减小C．不变D．无法确定
9．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．点D为的外心
10．如图，在平行四边形中，点E在上，与交于点F，若，的面积为3，则的面积是（ ）
A．27B．12C．9D．6
11．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
12．如图，半圆的直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（ ）
结论Ⅰ：的长与的长之和为定值；
结论Ⅱ：当时，点到的距离是；
结论Ⅲ：使得的值有两个．
A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅢC．Ⅰ和ⅢD．Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ
二、填空题
13．若m，n是方程的两个根，则的值是 ．
14．某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示：
若按照题目分析占，解法讲解占，题目拓展占来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 .
15．如图，，点O是的平分线上的一点，半径为4的经过点P，将水平向左平移，当与射线相切时，平移的距离是 ．
16．如图，中，，，，D、E分别是、边上的动点，，以为直径的交于点F、G两点，则线段的最大值为 ．

三、解答题
17．已知二次函数．
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画该二次函数的图象；
（2）根据图象回答：
①方程的两个解是________，________；
②当时，函数值的取值范围是________．
18．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在本校初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：；；；，下面给出了部分信息：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86，
根据信息，解答下列问题：
20名同学对《哪吒2》评分统计表
（1）上述图表中的______________________，___________
（2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在C组共有多少人？
19．在2020年新冠肺炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为低袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售最就会减少10袋．
（1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求每天所得销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？
20．如图，四边形是的内接四边形，连接、，延长至点E．
（1）若，求证：平分；
（2）若，的半径为2，求．
21．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式和顶点的坐标．
（2）连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．图1是木马玩具底水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心．的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高．
建模计算
（1）求点A的竖直高度；
操作理解
（2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？
拓展探索
（3）在上述操作过程中，直接写出圆心O移动的距离．（参考数据：）
23．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知米，排球场的边界点A距O点的水平距离为米，球网高度为米，且．
（1）C点的坐标为 （用含m的代数式表示）
（2）当时，求抛物线的表达式．
（3）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
（4）若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框（），其中米，米，米，若排球经过向右反弹后沿的轨迹落入回收框内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点横坐标的最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值．
24．已知线段，射线垂直于，点在射线上，设，点在经过点且平行于的直线上运动，的平分线交直线于点，过点作，交线段于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆．
（1）判断与的位置关系：______；
（2）已知的半径为，当所在直线与相切时，求的长；
（3）当时，若与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是多少？
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据平均数的定义可得，则可推出，可求出，根据方差的定义可推出，则可求出，据此可得答案．
【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴样本，，…，的平均数为12；
∵样本，，…，的方差为6，
∴，
∴，
∴
，
∴样本，，…，的方差为6，
故选B．
2．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案．
【详解】解：设月平均增长率为x，
由题意得，，
故选C．
3．【正确答案】A
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．
【详解】解：楔子沿水平方向前进了xcm，
则，
解得：（cm），
则楔子沿水平方向前进了6cm，
故选A．
4．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，坐标与图形变化—平移，先根据平移前后点P的坐标判断出平移方式，再根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案．
【详解】解：∵在抛物线经过平移后，抛物线上一点P的坐标由变为，
∴抛物线的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，
∴抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的解析式为，
故选B．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查求圆锥底面半径，根据圆锥底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可．
【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为，
由题意，
解得；
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】根据题意可知，根据切线的性质可得，进而即可求得∠CBD的度数．
【详解】解：∵直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P．
∴
点P的读数为135°，
．
．
．
故选B．
7．【正确答案】C
【分析】利用待定系数法求得c值，令y=0，解一元二次方程即可求得结论．
【详解】∵二次函数y=x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0），
∴1-6+c=0．
∴c=5，
∴二次函数y=x2+6x+5．
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得：x1=-1，x2=-5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-5，0）．
故选C．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定与性质等知识点来分析、判断、推理或解答是解决本题的关键．
先证明，再设，故把数值代入，得，则，结合，则，由①②知为定值，即的大小不变．
【详解】解：如图，分别过点作轴、轴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，
则，，，，
∴
∴,
解得或（舍去）
∵，
∴；
∵，
∴②，
由①②知为定值，
∴的大小不变，
故选C．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线，
，，
，
，
．
，
，
B正确，C错误；
，，
，
点为的外心，故D正确；
，，
，故A正确．
故选C．
10．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形对边平行得到，根据，得到，推出，最后根据等高的两个三角形的面积比等于底的比即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴．
故选C．
11．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负， 再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由所给图形可知，
抛物线的开口向下，
∴，
抛物线的对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在正半轴，
∴，
∴，故①符合题意，
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，函数取得最大值为，
则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于，
即，
∴，故②符合题意，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
即，故③符合题意，
由函数图象可知，当时，函数值小于零，
∴，
又∵，
∴，
即，故④符合题意，
∵抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零，
∴当时，函数值小于零，
又∵当时，函数值大于零，
则，
∴，
∴，故⑤不符合题意，
∴符合题意的有个，
故选C．
12．【正确答案】A
【分析】由等边三角形的性质和平角的定义可得，则可推出的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长，据此可判断Ⅰ；连接，可证明，，则由圆周角定理可证明，得到，则，解直角三角形求出的长即可判断Ⅱ；由圆周角定理可证明，则由三角形内角和定理可得，据此可判断Ⅲ．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
∴的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长，
∴的长与的长之和为定值，故结论Ⅰ正确；
当时，连接，如图所示，
则，
是等边三角形，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点O为的中点，
∴，，
∴，
∴点到的距离是，故结论Ⅱ正确；
是等边三角形，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴使得的值有无数个，故结论Ⅲ错误，
故选A．
13．【正确答案】
【分析】将代入方程，可得的值，根据根与系数的关系可得，再代入代数式求解即可．
【详解】∵m，n是方程的两根，
∴ ，，
∴．
14．【正确答案】
【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．利用加权平均数的计算方法解题即可．
【详解】解：选手的综合成绩为.
15．【正确答案】
【分析】本题考查了切线的性质、平移的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，则即为平移的距离，，，先由直角三角形的性质得，再由矩形的性质得，则，由平行线的性质得，求出，然后由直角三角形的性质即可得出答案，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，如图所示，
则即为平移的距离，，，
∵，是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由平移的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即平移的距离为.
16．【正确答案】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，根据垂径定理得，利用勾股定理，作适当的辅助线，运用数形结合的思想，理解当，重合时，最小，有最大值是解题的关键．
【详解】解：过点O作于M，连接、，如图：

根据垂径定理得：，
，
，
在中，为定值，
当最小时，的值最大，
过点作，则，
当，重合时，最小，此时的值最大，
在中，，，，
，
，即：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
.
17．【正确答案】（1）见详解
（2）①1，3；②
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
（1）先利用对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线，则利用对称性得到和对应的函数值，然后通过描点法画出函数图象；
（2）①方程的两个解就是使函数为0所对应的自变量的值，即抛物线与轴的交点的横坐标为方程的解；
②先确定和所对应的函数值，时有最小值，然后利用增减性求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
和对应的函数值相等，即，；
和对应的函数值相等，即时，；
补全表格，如下；
函数图象如图，
；
（2）解：①当和时，，
方程的两个解为，.
②时，，
当时，有最小值，
当时，，
当时，函数值的取值范围是．
18．【正确答案】（1），，．
（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由见详解
（3）280人
【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据中位数，众数的定义求得，进而得出评分在的人数，求得的值；
（2）根据中位数和众数分析，即可求解；
（3）用和分别乘以评分在C组的占比再求和，即可求解．
【详解】（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
出现最多，则，
根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为，
则
根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为，
∴评分分数为和的人数都是人
∴，则
（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下：
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》．
（3）
答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在C组约有280人．
19．【正确答案】（1）y=−10x＋500；（2）w＝-10x2＋700x−10000；（3）销售单价定位30元时，此时利润最大，最大利润是2000元．
【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据利润=每袋口罩的利润×销售量，得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝−10（x−35）2＋2250，根据二次函数的性质和x的取值范围，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）根据题意得，y＝250−10（x−25）＝−10x＋500；
（2）由题意得，w＝（x−20）（−10x＋500）＝−10x2＋700x−10000；
（3）根据题意得，，
∴x的取值范围为：27≤x≤30，
∵函数w＝−10（x−35）2＋2250，
∴当x＝30时，w最大值＝2000．
答：销售单价定位30元时，此时利润最大，最大利润是2000元．
20．【正确答案】（1）见详解；
（2）．
【分析】（1）根据四边形是的内接四边形，可得，再根据结合圆周角定理即可得出，从而证得平分；
（2）连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角为直角结合勾股定理可求得的长，从而求得，再根据圆周角定理可知，从而可得的值．
【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图，连接并延长交于点，连接，
是直径，
，
，的半径为2，
，
，
，
，
．
21．【正确答案】（1），
（2）存在，或或或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，以及面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）先求得所在直线的表达式为．得出，根据求得，进而根据，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得解得
∴该抛物线的表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）存在．
设所在直线的表达式为，
将点，代入，得
解得
∴所在直线的表达式为．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即或．
解，得，；
解，得，，
∴点的坐标为或或或．
22．【正确答案】（1）点A的竖直高度为；（2）点A的竖直高度升高了；（3）圆心O运动的路径长为
【分析】（1）连接，过点O作，与交于点C，与交于点D，利用垂径定理和勾股定理解答即可；
（2）过点A作于点于点F，利用矩形的判定与性质得到，设，利用勾股定理求得x值，则当与相切于点B时，A的竖直高度为，利用即可求得结论；
（3）依题意的长即为点O运动的路径长，利用（1）的结论和直角三角形的边角关系定理求得圆心角的度数，再利用弧长公式解答即可．
【详解】解：（1）连接，过点O作，与交于点C，与交于点D，如图，
由题意得：，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即点A的竖直高度为；
（2）当与相切于点B时，过点A作于点E，于点F，如图，
∵与相切于点B，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
即：，
∴当与相切于点B时，A的竖直高度为，
∵，
∴点A的竖直高度升高了；
（3）解：如图，
根据题意可得的长即为点O运动的路径长，
由（1）知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长，
∴圆心O运动的路径长为．
23．【正确答案】（1）
（2）抛物线的表达式为
（3）球能越过球网，球不会出界，理由见详解
（4）
【分析】（1）抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，OB＝m米，据此即可得到点C的坐标；
（2）当时，得到，设抛物线的表达式为，将点代入解得，即可得到答案；
（3）由（2）知，当时，抛物线的表达式为，由，得到，得到，求出当时，，即可判断球能越过球网，求出，即可判断球会不会出界；
（4）求出的表达式为，设点M的横坐标为，则，，当时，，解得：，（舍去），当时，，解得：（舍去），则，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，OB＝m米，
∴C.
（2）当时，
∴，
∴设抛物线的表达式为，
将点代入，得，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（3）球能越过球网，球不会出界，理由如下：
由（2）知，当时，抛物线的表达式为，
∵米，，
∴（米），
∵球网高度为米，
∴，
当时，，
∵，
∴球能越过球网，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴球不会出界；
（4）∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，
又∵是与形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米，
∴设的表达式为，
将点代入，得
解得：（舍去），，
∴的表达式为，
设点M的横坐标为，则，，
当时，，
解得：，（舍去），
当时，，
解得：（舍去），
∴，
∴．
24．【正确答案】（1）相切
（2）
（3）的半径的取值范围是或
【分析】（1）由角平分线和平行可证，从而得出四边形为菱形；则，垂足为，即可证明与相切；
（2）由，，，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可；
（3）当与相切时，，此时与只有一个公共点，当过点时，连接，作于，设，则，由建立方程，解方程即可，当第二次经过点时，同理可得．
【详解】（1）解：的角平分线交直线于点，
，
，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
，垂足为，
与相切.
（2）如图，当与相切于点时，，，，
在中，
设，则，
在中，
即
解得：
即；
（3）当与相切时，，此时与只有一个公共点，
当过点时，如图，连接，作于，
设，则，
由得，
设，
则方程转化为，
解得：（舍去），
，
当第二次经过点时，作于，如图3，
设，则，
由得，，
设，
则方程转化为，
解得：（舍去），
，
与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是或．项目
题目分析
解法讲解
题目拓展
成绩
…
0
1
2
3
4
…
…
3
0
…
性别
平均数
众数
中位数
方差
满分占比
女生
88
90
112.2
10%
男生
88
100
200.2
50%
…
0
1
2
3
4
…
…
3
0
0
3
…