北京市房山区2025~2026学年上册学业水平调研九年级数学试题【附解析】

这是一份北京市房山区2025~2026学年上册学业水平调研九年级数学试题【附解析】，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则下列比例式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．将二次函数的图象向上平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．B．C．D．
3．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（－1，2）B．（－1，－2）C．（1，－2）D．（1，2）
5．如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，是的中位线，与交于点．则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点和点，顶点为，给出下面四个结论：
①；
②（为任意实数）；
③关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根；
④连接，，若是等边三角形，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
二、填空题
9．若二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
10．如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为 ．
11．在物理课上同学们曾学过小孔成像（图1）．如图2，如果蜡烛火焰的高度为，倒立的像的高度为，小孔O到火焰的距离为，则小孔O到像的距离为 ，计算依据是 ．
12．写出一个二次函数表达式，满足：当时，y随x的增大而减小，则此函数表达式可以为 （写出一个即可）．
13．抛物线上有一点，点是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点的坐标为 ．
14．在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值：
根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于 （结果保留小数点后一位）．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在x轴的负半轴上，且，则点B的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为 ；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 ．
三、解答题
17．如图，与交于点O，，，，，求的长．
18．已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）此二次函数图象与x轴有________个交点．
19．已知二次函数．
（1）用配方法将其化为的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象（列表，描点，连线）；
（3）这个二次函数图象经过怎样的平移运动，可以过原点．
20．已知二次函数图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当________时，大于；
（3）当时，函数的最大值为________，最小值为________．
21．如图，中，平分，，，．
（1）用等式表示线段与的数量关系，并证明；
（2）求的长．
22．祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米．
（1）在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）；
（2）根据测量数据，计算祈年殿的实际高度．
23．某学生在打羽毛球时、发现羽毛球在空中的飞行路线可看作抛物线的一部分（不考虑空气阻力等因素），建立如图所示的平面直角坐标系，从点A处发球，羽毛球飞行过程中距离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下表：
（1）根据上述数据，羽毛球飞行过程中距离地面高度的最大值为________m；
（2）求y关于x的函数表达式（不必求自变量x的取值范围）；
（3）当对面另一名学生位于羽毛球正下方，羽毛球距离地面高度不大于他的最大击球高度2.4m时，视为击球成功．若对面这名学生位于羽毛球正下方时，，请问他能否击球成功？试通过计算说明．
24．如图，点M是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点D落在边上，记作点N．
（1）求证：；
（2）若与的相似比为，，求的长．
25．如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长．
26．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．
（1）当时，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若对于任意的，，总有，求m的取值范围．
27．在中，，，点D是边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在边上时，连接，直接写出的大小，并证明；
（2）如图2，若点E在的内部，连接，过点E作交的延长线于点F．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，给出如下定义：Q为图形W上一点，直线与图形W交于点（点P，Q，互不重合）．若，则称点P为图形W的“k倍伙伴点”
（1）已知点，，．
①在点，，中，________是正方形的“2倍伙伴点”；
②若点P是正方形的“2倍伙伴点”，则的最大值为________．
（2）已知点，，，，，，若线段上存在点P是四边形的“3倍伙伴点”，直接写出t的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．
由已知等式直接推导出比例式，逐一判断即可．
【详解】解：A．由得，原比例式错误；
B．由得，原比例式正确；
C．由得，原比例式错误；
D．由无法推导出，原比例式错误；
故选B．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的法则，“上加下减”，向上平移时在函数值上加相应的单位即可．
【详解】解：∵将二次函数的图象向上平移2个单位，
∴新函数表达式为 ，
故选A．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了比例的性质，由比例的性质得出是解题的关键．
由已知比例关系可得的值，再代入所给代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选B．
4．【正确答案】B
【分析】根据二次函数顶点式的特征计算即可；
【详解】∵抛物线，
∴顶点坐标为（－1，－2）；
故选B．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故A能判定与相似，不符合题意；
∵，，
∴，
故B能判定与相似，不符合题意；
∵，条件未给出，
∴不能判定，
故C不能判定与相似，符合题意；
∵，，
∴，
故D能判定与相似，不符合题意；
故选C．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，掌握函数图象与x轴交点坐标的求法是解题的关键．
令，分别求出二次函数图象与一次函数图象与x轴的交点坐标，可知都经过点，即可求解．
【详解】解：令二次函数，得，解得，，
二次函数与x轴交点坐标为和，
令一次函数，得，解得，
一次函数与x轴交点坐标为，
二次函数与一次函数的一个交点为，
根据各选项图象，可知选项A符合题目要求．
故选A．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质．根据中位线的性质可得，进而证明得出，，设，则，，进而表示出的面积，即可求解．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，
∴
∴，
∴
设，则，
∴
∴
故选D．
8．【正确答案】D
【分析】根据抛物线对称轴、函数的最值、抛物线与直线交点个数、等边三角形边与高的关系等知识点逐一判断即可．
【详解】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，即：①正确；
∵图象有最低点，
∴当时，最小；
当时，；
∴，
即：，即：②错误；
∵图象开口向上，与轴有两个交点，
∴直线与图象有两个交点即：关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，③正确；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴即：，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∵在的右侧，
∴，
∵，
∴，
即：，
∵，
∴，即：④正确；
综上：①③④正确；
故D．
9．【正确答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数图象开口向下，得二次项系数小于零，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
解得.
10．【正确答案】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得，，由平行线分线段成比例可得．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴.
11．【正确答案】10；相似三角形对应高的比等于相似比
【分析】本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．由相似三角形判定可得利用对应边成比例可得点O到的距离．
【详解】解：由题意，，
∴，
∴相似比为，
∴两个三角形的对应边的高的比为，
∴点O到的距离，
计算的依据为：相似三角形对应高的比等于相似比
12．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．当时，y随x的增大而减小，则抛物线开口向下，且对称轴在轴上或者轴左边，据此求解即可．
【详解】解：当时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，且对称轴在轴上或者轴左边，
此函数表达式可以为（答案不唯一）.
13．【正确答案】
【分析】本题考查抛物线对称轴及轴对称：先求抛物线的对称轴，再利用对称性质求点的坐标．
【详解】解：抛物线（）的对称轴为，
点关于对称轴的对称点的横坐标满足，解得，纵坐标不变，
故点的坐标为.
14．【正确答案】3.1（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，通过观察函数值符号变化确定根所在区间，并比较函数值的绝对值得到近似根。
【详解】解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间，
由于，
所以根更接近，
∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于.
15．【正确答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线交的延长线于点，
∵点A的坐标为，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
16．【正确答案】；或或
【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标；
（2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键．
【详解】解：（1）令，解得，
故点C的坐标为；
（2）令，解得或，
故点B的坐标为；
∵，
∴设点，；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
此时点；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
此时点；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
此时点；
综上，点P的坐标为或或．
17．【正确答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出的长．
【详解】解：，，
，
，
，，，
，
．
18．【正确答案】（1）；
（2）
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式和二次函数与轴的交点个数判断．熟悉利用待定系数法求二次函数的表达式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）令，得到关于的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）令，则，
解得，
∴此二次函数与轴的交点坐标为，
∴此二次函数图象与x轴有个交点.
19．【正确答案】（1）；
（2）见详解；
（3）如：向左平移1个单位（答案不唯一）．
【分析】（1）用配方法配方成顶点式即可；
（2）写出顶点坐标，计算其与其它交点的坐标，列表、描点，画出图象；
（3）通过顶点式的平移的性质，可解出答案，注意答案不唯一．
【详解】（1）解：
（2）
（3）①如果将二次函数上下平移，得到新的函数为：，将原点代入
得：，
，
∴将二次函数向下平移个单位长度；
②如果将二次函数左右平移，得到新的函数为：，将原点代入
得：，
，
，，
∴将二次函数向左平移个或个单位长度．
故答案不唯一．
20．【正确答案】（1）
（2）或
（3）；
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出二次函数解析式．
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据二次函数图象，直接可以得出结论；
（3）根据函数的性质和图象即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
根据题意得：
，
解得：，
二次函数的表达式为；
（2）二次函数图象经过点，对称轴为直线，
二次函数图象还经过点，
由图象得：当或时，，
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴时，函数取得最大值为
当时，最小值为
∴当时，函数y的最大值为，最小值为．
21．【正确答案】（1），见详解
（2）
【分析】（1）由得，由平分得，故，可证；
（2）由得，代入，解出的长即可；
本题主要考查了角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例是解题的关键．
【详解】（1）解：．
证明：，
，
平分，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）38米
【分析】本题考查三角形相似的实际应用：
（1）过A作，交于C，即为所求；
（2）根据写出比例关系即可求解．
【详解】（1）解：过A作，交于C，即为所求：
（2）解：，
，
，，
，
，
，即，
（米），
祈年殿的实际高度为38米．
23．【正确答案】（1）2.50
（2）
（3）能击球成功，见详解
【分析】本题考查了二次函数的对称性、待定系数法求解析式及函数值的计算，解题的关键是利用抛物线的对称性确定顶点位置，再用待定系数法求出函数表达式．
（1）利用抛物线对称性确定对称轴与顶点，得到最大高度；
（2）设二次函数一般式，代入表格数据联立方程，求出解析式；
（3）将代入解析式计算值，与2.4比较判断击球是否成功．
【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线的对称轴为（因和时值相等），故顶点在处，此时，即最大高度为．
（2）解：设抛物线的函数表达式为，代入表格数据：
当时，，得；
当时，，得，即；
当时，，得，即．
联立方程解得：，，
故函数表达式为：；
（3）解：当时，代入函数表达式：
，
因，故能击球成功．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）15
【分析】本题考查图形翻折的性质、矩形的性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理等：
（1）证明即可；
（2）设，根据相似比求出，从而可以表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
沿翻折得到，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
∵矩形性质可知，
由翻折的性质可知，
∵与的相似比为，
，得，
，
在中，，
，解得，
．
25．【正确答案】2
【分析】本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
过D作交于点G，根据是中线，可以推出，运用平行线分线段成比例定理推出，可以求出的长．
【详解】解：过点D作交于点G，
．
是中线，
，
．
设，则，
，
，，
．
，
，
．
26．【正确答案】（1），
（2）或
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）把代入函数解析式，求出二次函数解析式，再令得一元二次方程，求出方程的解即可解答问题；
（2）根据题意求出，再分和两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线为，
令，则，
解得：，，
抛物线与x轴的交点坐标为，；
（2）解：由可知，抛物线的对称轴为，
抛物线与x轴交点为，．
，
．
．
①若，如图，抛物线开口向上，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
，，
，，
应有，解得，
又，
在对称轴右侧，且在x轴上方，应有，解得，
；
②若，如图，抛物线开口向下，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
，
必有，
则有，
，解得，
又，
．
综上所述：m的取值范围是或．
27．【正确答案】（1），见详解
（2）①见详解；②，见详解
【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据三角形的外角的性质可得，根据即可求解．
（2）①根据题意画出图形，即可求解；
②连接，取中点G，连接，，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据证明，结合，证明，进而根据平行线分线段成比例，即可得证．
【详解】（1）
证明：
∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段．
∴
，
，
（2）①补全图形如图：
②
证明：连接，取中点G，连接，，
同理
点G为中点
28．【正确答案】（1）①，；②
（2）或
【分析】本题考查对新定义的理解，平行线分线段成比例定理，两点之间的距离，点到直线的距离，正方形的性质和判定，解题的关键是正确理解新定义．
（1）①根据“2倍伙伴点”的定义、平行线分线段成比例定理和两点之间的距离，即可求解；
②若要取最大值，则点在正方形上离点O最远，即为点B，此时点O即为点Q，此时，再根据正方形的性质求解即可；
（2）分类讨论，找出临界状态：①当线段在正方形的左下方，第一个临界状态是：当点P与点N重合，点Q与在边上，交与点；②当线段在正方形的内部，第二个临界状态是：当点P与点M重合，点Q与在边上，直线交与点；③当线段在正方形的内部，第三个临界状态是：当点P与点N重合，点Q与在边上，直线交与点；④当线段在正方形的右上方，第四个临界状态是：当点P与点M重合，点Q与在边上，直线交与点．
【详解】（1）解：①如图所示，，当点Q为正方形的边上任意一点（点B除外）时，与交于点，
∵，，
∴，即点总是的中点，
∴
∴是正方形的“2倍伙伴点”；
，当点Q为正方形的边上且与交于点时
∵，，
∴，
∴，
∵此时不符合题意，且为最大值了，当点Q为正方形的边上时，更不符合题意了，
∴不是正方形的“2倍伙伴点”；
此点在正方形内部，当点Q在上且点在或者点Q在上且点在时，
∵，且正方形边长为1，
∴，
∴，
∴是正方形的“2倍伙伴点”.
综上：、是正方形的“2倍伙伴点”.
②如图所示，若点P是正方形的“2倍伙伴点”，
若要取最大值，则点在正方形上离点O最远，即为点B，此时点O即为点Q
此时，如图所示，
∵，
∴.
（2）解：∵，，，，
∴，，
∴，
∵的中点坐标为即，的中点坐标为即，
∴与互相平分，
又∵，
∴四边形是正方形，且正方形的边长为，
∵、，点E、点H的横坐标和纵坐标相等，
∴点E、点H在直线上，即直线解析式为，
∵，，，
∴直线解析式为，直线解析式为，
∵，，
又∵，
∴点N在点M的上方，
线段上存在点P是四边形的“3倍伙伴点”，我们不妨来寻找临界状态，
①当线段在正方形的左下方，第一个临界状态是：当点P与点N重合，点Q在边上，交与点，如图所示：
过N点作交y轴于点，过点作，与y轴交于点I，
∵直线解析式为，
∴
∵，
∴直线的解析式为
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则，
∴，即点Q到的距离等于点P到的距离的2倍，
∵正方形的边长为，
∴点Q到的距离为，
∴P到的距离为，P到的距离即为，
∴
解得：
∴当时，正方形会向右上运动，点N会向左下运动，此时P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”，
∴，
②当线段在正方形的内部，第二个临界状态是：当点P与点M重合，点Q在边上，直线交与点，如图所示：
过M点作，与y轴交于点，
同理可得：，
，
此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则，
∴即点Q到的距离等于点P到的距离的4倍，
∵点Q到的距离为，
∴点P到的距离为，点P到的距离即为
∴，
解得：，
∴当时，点P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在上时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”，
∴，
③当线段在正方形的内部，第三个临界状态是：当点P与点N重合，点Q在边上，直线交与点，如图所示：
过点N作，交y轴于点，过点作，
同理可得：，
，
此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则，
∴即点Q到的距离等于点P到的距离的4倍，
∵点Q到的距离为，
∴点P到的距离为，点P到的距离即为，
∴
解得：，
∴当时，点P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在上时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”，
∴，
④当线段在正方形的右上方，第四个临界状态是：当点P与点M重合，点Q在边上，直线交与点，如图所示：
过点M作，
同理可得：，
，
此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则，
∴即点Q到的距离等于点P到的距离的2倍，
∵点Q到的距离为，
∴点P到的距离为，点P到的距离即为，
∴，
解得：，
∴当时，点P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在上时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”，
∴，
综上：或．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
1.15
2.45
2.75
2.05
0.35
…
0
3
6
9
0.70
2.05
2.50
2.05
…
…
…
…