北京市第三十五中学2025~2026学年八年级上册数学阶段检测（12月考）（含答案）

这是一份北京市第三十五中学2025~2026学年八年级上册数学阶段检测（12月考）（含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图案中，可以看成轴对称图形的是（ ）
A．B．
C． D．
2．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在中，作出边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（ ）
A．B．C．D．
5．下列分式中，从左到右变形错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．10B．8C．7D．4
7．某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本，设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
8．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）.若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2B．2＜m＜3C．m＜3D．m＞3
二、填空题
9．计算：（1） ；（2） ．
10．若分式有意义，则的取值范围是 .
11．等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为 ．
12．计算： ．
13．若是一个完全平方式，则常数 ．
14．如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是 （用含a，b的式子表示）．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，若点P在平面直角坐标系中，且以O，A，P为顶点的三角形与全等，则满足条件的P点的坐标是 ．

16．如图， 中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 ．
三、解答题
17．分解因式：
（1）；
（2）．
18．（1）计算：）；
（2）先化简，再求值：，其中．
19．解方程：
20．如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．
（1）求证：．
（2）若，，求∠F的度数．
21．如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)，
（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ；
（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点的坐标是 ；
②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．
22．已知：如图1，线段a，b（）．
（1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．
作法：①作线段．
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
③在MN上取一点C，使．
④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；
（2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．
作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝ ．
④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．
23．（1）如果，那么m的值是 ，n的值是 ；
（2）如果，
①求的值；
②求的值．
24．在中，，，为的中线，点E是射线上一动点，连接，作，射线与射线交于点F．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E在线段上，且与点A，D不重合时，
①依题意，补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
（3）当点E在线段的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段之间的数量关系．
25．在平面直角坐标系中，将过x轴上的点，且平行于y轴的直线，记作直线．对于图形M和N，若存在直线，使得图形M关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的一阶t包含图形．若存在直线与直线且，图形M关于直线的对称图形记为图形W，图形W关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的二阶m，n包含图形．
已知，，，，
（1）若，
①A是线段的一阶k包含图形，则______；
②A是线段的一阶s包含图形，则s的取值范围是______；
（2）若点A为四边形的二阶，1包含图形，则a的取值范围是______．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，来对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则，积的乘方的法则，熟记运算法则是解本题的关键．
根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则，积的乘方的法则对各选项进行解答即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意，
故选D．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查三角形高线的定义，即从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线．
对于，边上的高是过点向作垂线．
【详解】根据三角形高线的定义，在中，作边上的高，应该过点向作垂线，
只有符合题意．
故选．
4．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案．
【详解】在和中
，
∴，
∴，即是这个角的平分线，
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选B．
6．【正确答案】C
【详解】根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m的最大值．
【分析】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则，即
又为整数，则整数m的最大值是7，
故选C．
7．【正确答案】C
【分析】先求出花费20元买了本笔记本，再根据“当花费超过20元时，每本便宜1元”建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：王老师花费20元买了本笔记本，
则可列方程为，
故选C．
8．【正确答案】B
【分析】过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO=BD=2，BO=CD=n=a，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
∵点A（0，2），
∴AO=2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，
∴∠ABC=90°=∠AOB=∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD=90°=∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO=∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO=BD=2，BO=CD=n=a，
∴0＜a＜1，
∵OD=OB+BD=2+a=m，
∴
∴2＜m＜3，
故选B．
9．【正确答案】/0.5；1
【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，利用负整数指数幂的意义，（），计算；利用零指数幂的意义，（），计算，即可．
【详解】解：（1）.
（2）∵，
∴．
10．【正确答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件，分母不能等于0，即可求解．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得.
11．【正确答案】15
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键．根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可．
【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为和，
∴等腰三角形的三边长为3，3，6或6，6，3，
当三边为3，3，6时，，三角形不存在；
当三边为6，6，3时，，三角形存在，
故周长为.
12．【正确答案】/
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、单项式乘单项式运算法则求解即可．
【详解】解：=.
13．【正确答案】
【分析】本题主要考查完全平方式的定义，掌握完全平方式的形式：是解题的关键．
根据完全平方式的结构特征，直接求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴.
14．【正确答案】4ab
【分析】组合后多出来的面积就是中间小正方形的面积，用大正方形减小正方形的得到原来长方形面积．
【详解】∵为图2大正方形的面积；为小正方形面积，
∴为图1长方形面积
∴=2a×2b=4ab
15．【正确答案】或或
【分析】根据题意，这两个三角形中为公共边，故分，三种情况讨论，根据题意作出图形，进而求得点的坐标
【详解】解：如图，

①作关于的对称的点，连接
，
∴
②作关于直线对称的点，连接，
则
又
则点
作关于x轴的对称的点，连接，
则
又
则点
16．【正确答案】/
【分析】先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可．
【详解】解：连接，
∵中，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
过点F作于H，若要使最大，则需要最小，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴最小值为，的最大值为.
17．【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】本题主要考查了分解因式，分解因式应首先观察多项式中是否有公因式，如果有公因式要先提公因式，然后再考虑是否能运用公式法分解因式，分解因式一定要分解到不能再分解为止．
（1）先提出公因式，然后再用完全平方公式分解因式；
（2）首先把多项式中的整体作为公因式提出来，然后再利用平方差公式继续分解因式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【正确答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据多项式乘多项式，展开合并同类项；
（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
【详解】解：（1）原式，
；
（2），
，
，
，
，
当时，原式．
19．【正确答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
解得；
经检验，是原方程的解；
∴原方程的解为．
20．【正确答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明；
（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F．
【详解】（1）证明：
，
即
又，
（2）解：，，
21．【正确答案】（1）见详解，（1，2），（1，-2）；（2）①（5，1）；②P点位置见详解；③（2-m，n）
【分析】（1）由A、B点坐标即可知x轴和y轴的位置，即可从图象中得知C点坐标，而的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数．
（2）由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①点是点A关于直线l的对称点，由横坐标和点A横坐标之和为2，纵坐标不变，即可求得坐标为（5，1）．
②由①可得点A关于直线l的对称点，连接B交l于点P，由两点之间线段最短即可知点P为所求点．
③设点Q（m，n）关于l的对称点为（x，y），则有（m+x）÷2=1，y=n，即可求得对称点（2-m，n）
【详解】（1）平面直角坐标系xOy如图所示
由图象可知C点坐标为（1，2）
点是 C点关于x轴对称得来的
则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数
即点坐标为（1，-2）．
（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①A点坐标为（-3，1），
关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变
则为坐标为（5，1）
②连接①所得B，B交直线x=1于点P
由两点之间线段最短可知为B时最小
又∵点是点A关于直线l的对称点
∴
∴为B时最小
故P即为所求点．
③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y）
有（m+x）÷2=1，y=n
即x=2-m，y=n
则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2
即对称点坐标为（2-m，n）．
22．【正确答案】（1）见详解；（2）b，a，见详解
【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可；
（2）根据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可．
【详解】解：（1）如图，ABC就是所求作的等腰三角形；
（2）作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝b．
④以P为圆心，以a的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
如图，PEF就是所求作的等腰三角形．
故b，a．
23．【正确答案】（1）-1， -6；（2）①；②13
【分析】（1）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较即可求出m和n的值；
（2）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较求出a+b=-2，ab=；
①利用多项式与多形式的乘法法则化简后，把a+b=-2，ab=代入计算；
②先通分，再根据完全平方公式把分子变形，然后把a+b=-2，ab=代入计算；
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴m=-1，n=-6，
故-1， -6；
（2）∵，
∴，
∴，
∴a+b=-2，ab=；
①
=ab-2a-2b+4
=ab-2(a+b)+4
=-2×(-2)+4
=；
②
=
=
=
=
=13．
24．【正确答案】（1）见详解；（2），见详解；（3）当时，,当时，
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；
（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；
（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴,，
∵为的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2），证明如下：
如图2，在线段上取点G，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，为的中线，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）当时，如图3所示：
与（2）同理：在线段上取点H，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，为的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图4所示：当重合时，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴当时，
在线段的延长线上取点N，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【正确答案】（1）①；②
（2）
【分析】本题是四边形的综合题，主要结合四边形、三角形、坐标图形背景考查了新定义内容，正确理解题意和利用中点坐标公式求出一次对称点或者两次对称点是解题关键．
（1）①根据定义，利用中点坐标公式直接得解；
②满足A关于直线对称点落在对角线上即可；
（2）先求出点A关于直线，直线的二阶对称点，要使点A为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可得解．
【详解】（1）解：①关于直线的对称点在线段上，
.
②关于直线的对称点在线段上，且关于直线的对称点为，
，
解得.
（2）解：由题可知关于直线对称点，关于直线对称点，
要使点A为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可，
，，
，
.