安徽省六安市舒城县2025~2026学年上册九上数学月考测试题【附解析】

这是一份安徽省六安市舒城县2025~2026学年上册九上数学月考测试题【附解析】，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线沿着轴向下平移一个单位长度后，所得新抛物线的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．1B．C．2025D．
4．在中，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知点，，均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，若，且，若的周长为15，则的周长是（ ）
A．45B．40C．35D．30
7．一段楼梯如图所示，已知米，楼梯每级的级宽为米，小华跨上6个台阶后，上升了米，则该楼梯的坡度为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，抛物线交轴，轴分别为A，B两点，对称轴为直线，且一次函数的图象过A，B两点．下列结论错误的是（ ）
A．
B．当时，
C．抛物线最高点的坐标为
D．方程有两个相等的实数根
9．如图，为的边上一点，且，延长到点，使，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，是上一点，过点作交于点．若，则的长为（）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题
11．在正方形网格中，在网格中的位置如图，点A，B，C均在正方形的顶点上，则 ．
12．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点上方的琴弦长为 ．
13．如图，的两个顶点B、C在轴正半轴上，，．双曲线在第一象限的分支过点，且，，则 ．
14．如图，在平行四边形中，是一条对角线，为线段上一点，且．过点作交于点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1）若，则的长为 ；
（2）若，则四边形的面积为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）．
（1）作出与关于轴对称的；
（2）以原点为位似中心，在原点另一侧画出，使与的相似比为2，并写出与的关系．
17．如图，在中， ，交于点，交于点E，为的中线，与交于点．若，求的值．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式（不用写自变量的取值范围）；
（2）根据图象，直接写出使成立的的取值范围．
19．万佛塔位于安徽省亳州市蒙城县城内东南隅，始建于宋崇宁元年（年），如图1，整座塔为八角十三层楼阁式砖塔，因塔体内外镶嵌佛像八千余尊而得名．某校数学实践小组开展测量万佛塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：请完成表中任务．
20．二次函数的图象过点，与轴相交于点A，B，且点在点的左边，与轴交于点C
（1）求的值及点的坐标；
（2）求的面积；
21．饮水机的工作原理是开机后自动开始加热（此过程中水温与开机时间分满足一次函数关系）．当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温与开机时间成反比例关系），当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示表示某时刻水温，饮水机开始加热至下一次加热前与的变化过程）
（1）求图中一次函数与反比例函数的表达式（写出自变量的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，如果饮水机从水温开始加热到自动停止后，水温第一次降至，此时距离开始加热过去了多长时间？
22．如图，为正方形的边的中点是上的一点．，于点，连接，．求证：
（1）；
（2）；
（3）
23．【教材呈现】如下是沪科版九年级上册数学教材第125页的部分内容．如图，在中，，求三角形的面积（精确到）
【得出结论】
在中，的对边分别是
【结论应用】
（1）若，求的面积；
（2）如图，在中、是边的中点，过点作，交BC于点，过点作，交的延长线于点、连接交于点．
①求的值；
②设AC的长为的面积为，求关于之间的函数表达式（不用写的取值范围）
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据比例的性质，内项之积等于外项之积，计算对照判断解答即可.
本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键.
【详解】解： A. 根据题意，外项之积 ，内项之积，故，与不一致，本选项不成立；
B. 根据题意，外项之积 ，内项之积，故，与不一致，本选项不成立；
C. 根据题意，外项之积 ，内项之积，故，与一致，本选项成立；
D. 根据题意，外项之积 ，内项之积，故，与不一致，本选项不成立；
故选C.
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线沿着轴向下平移一个单位长度后，所得新抛物线的表达式为，
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了求反比例函数值，能理解函数图象上点的特点是解此题的关键．
将点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故选B．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查直角三角形中三角函数的定义，掌握知识点是解题的关键．由知为直角三角形，为斜边，根据正弦定义等于角的对边与斜边的比值，据此作答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过计算各点的纵坐标值，比较大小即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵点，，均在抛物线上，
∴，，，
∵，
∴，
故选 B．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据相似三角形的性质得到、、，进而得到的周长为，据此解答即可．
【详解】解：根据题意得，且，
，
、、，
的周长为
，
故选D．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
假设小华跨上6个台阶后位于点，过点作于点，根据题意可得米、米，计算的值即可．
【详解】解：假设小华跨上6个台阶后位于点，过点作于点，如图：
根据题意得：米、米，
则，
因此该楼梯的坡度为，
故选A．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查了抛物线与一次函数的图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键．
根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一次函数的交点，逐项分析判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴，，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故A正确；
当时，，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∵抛物线与一次函数的图象交于A，B两点，
∴由图象，可得
当时，，故B正确；
将代入抛物线，得
，
∴抛物线的顶点为，
由抛物线的开口向下，得最高点的坐标为，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴点关于对称轴直线的对称点为，
即当时，抛物线上有两个点为，，
∴当时，，即，
方程有两个不相等的实数根，故D错误．
故选D．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过点作交于点，易证得和，根据相似三角形的性质证得和，设、、、，则，根据得到，从而得出的值．
【详解】解：过点作交于点，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设、、、，
，
，
即，
，
，
故选C．
10．【正确答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
设，，则，，过点C作于点F，根据求得，根据列出方程，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴．
过点C作于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴．
故选C
11．【正确答案】
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握余弦的定义是解题的关键；由网格可知：，则有，然后根据余弦的定义可进行求解．
【详解】解：如图，
由网格可知：，
∴，
∴；
故答案为．
12．【正确答案】
【分析】本题主要考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．
【详解】解：∵二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，即点B为黄金分割点，
设B点下方的琴弦长为，且二胡的琴弦长为，
则有，
解得，
∴，
∴
13．【正确答案】12
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
根据题意易得点，设点的坐标为，根据角的正弦值设，，利用勾股定理求出，得点，利用待定系数法求出的值即可．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，即，
解得，
∴，
∴设点的坐标为，
∵，
∴设，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，即点的坐标为，
将点代入得.
14．【正确答案】8；12
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到答案；
（2）证明，，，进一步根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
即的长为8.
（2）四边形是平行四边形，
，，，
，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
平行四边形的面积为12．
15．【正确答案】1
【分析】本题考查特殊角的三角函数，实数的混合运算，掌握知识点是解题的关键．
先计算特殊角的三角函数，再进行实数的混合运算即可．
【详解】解：
．
16．【正确答案】（1）图见详解
（2）图见详解，
【分析】本题主要考查坐标与轴对称及位似，熟练掌握坐标与轴对称及位似的性质是解题的关键；
（1）先得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后问题可求解；
（2）根据位似的性质可进行求解．
【详解】（1）解：所作如图所示：
（2）解：如图所示，即为所求．
由位似可知，，
，
，且．
17．【正确答案】
【分析】根据平行线判定三角形相似，利用性质列式解答即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴．
18．【正确答案】（1），
（2）或
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求函数解析式，根据待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）根据函数图象结合交点坐标即可解答．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴
点，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：根据图象可知使成立的的取值范围是或．
19．【正确答案】万佛塔的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（仰角俯角问题），利用三角函数（正切）建立方程求解未知线段长度是解题的关键．
延长交于点，利用矩形性质得，，得是等腰直角三角形，可得，设，则，在中，利用列方程，解出后，结合即可算出塔高．
【详解】解：如图，延长交于点，
由题意可知：四边形是矩形，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
在中，由正切定义得：
，
即，
解得，即，
∴．
20．【正确答案】（1），点B的坐标为
（2）12
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程，二次函数的面积问题，准确理解二次函数的相关运算是解题的关键．
（1）先求出，得到二次函数的解析式为，然后将代入求值即可解答；
（2）先求出点坐标，再求出，然后根据，即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为，
当时，
，
，
解得，
∵且点在点的左边，
∴．
（2）当时，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1），
（2）10分钟
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解函数解析式；
（2）将代入反比例函数解析式即可求解时间．
【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间分的函数表达式为，
依据题意，得，
解得，
故此函数表达式为，
在水温下降过程中，设水温与开机时间分的函数表达式为，
依据题意，得，
即，
当时，，
故反比例函数的表达式为；
（2）解：由于水温是从下降到，
，
解得．
答：从水温开始加热到停止后水温达到，此时距离开始加热过去了10分钟．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）设正方形的边长为，即，证明，结合得到，因此，又，从而，即可得证；
（2）由得到，由同角的余角相等得到，因此，根据相似三角形的性质即可证明；
（3）由（1）有，则，进而得到，从而，再证，即可得证结论．
【详解】（1）解：设正方形的边长为，即，
∴
∵点F是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：由（1）有，
，
，
，即
，
，
，
∵，，
∴，
∴．
23．【正确答案】（1）；（2）①；②
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据结论直接求解即可；
（2）①设，，则，．根据同角的余角相等证明，因此；
②由，得到，因此，，从而，因此是等腰直角三角形，得到，．由得到，根据相似三角形的性质求出，再由结论即可解答．
【详解】解：（1）根据结论，得；
（2）①∵在中，，
∴设，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，
∵D是的中点，
，
由①知，
，
∴在中，，
，
，
∴是等腰直角三角形，
∴
，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
测量万佛塔高度
活动形式
以小组为单位
测量工具
无人机、测角仪等
测量步骤及结果
①如图2，无人机在距地面的点处测得塔顶的仰角为．
②无人机向靠近塔的方向水平飞行到达点，再次测得塔顶的仰角为．
测量示意图
任务
求万佛塔的高度．
备注
点，，C，，在同一竖直平面内，点，在同一水平直线上．（结果精确到，参考数据：）