四川省德阳市2026届高三上学期第一次诊断考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省德阳市2026届高三上学期第一次诊断考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若（，且），则（ ）
A．4B．C．2D．
2．复数的虚部为（ ）
A．-3B．C．D．
3．若角的终边过点，则的终边与单位圆交点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（ ）
A．B．C．2D．3
5．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．7D．-7
7．若函数有且只有1个零点，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
8．随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（ ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2）
A．2.3，1.91B．2.3，2.27C．1.7，1.91D．1.7，2.27
二、多选题
9．下列选项正确的是（ ）
A．；B．若，则；
C．若，则；D．若，则.
10．下列说法错误的是（ ）
A．数据0，1，2，3，5的分位数是2
B．线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
C．经验回归直线一定过点
D．残差散点图所在的带状区域越窄，则两个变量的相关性越弱
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是函数最小正周期为的充要条件；
B．的最大值是；
C．若在单调递增，则的取值范围是；
D．若在单调递增，在单调递减，则的取值范围是.
三、填空题
12．的展开式中，常数项为 （用数字作答）.
13．椭圆的长轴顶点是双曲线的焦点且椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是 .
14．点是函数的图象上在轴右侧任意一点，过作直线的垂线，垂足为，过作轴的垂线与的图象交于另一点，则 .
四、解答题
15．数列的通项公式，的通项公式，且.
(1)求，的值；
(2)求的前项和.
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且.
(1)求；
(2)求.
17．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称.
(1)求；
(2)若的最小值是2，求.
18．大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，.
(1)求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率；
(2)求小丁同学第天在餐厅就餐的概率；
(3)若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望.
（若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则 ）
19．关于在可导的函数，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：的导数在单调递增在是凹函数；的导数在单调递减在是凸函数.已知在是凸函数，在是凹函数；.
(1)求在点处的切线方程；
(2)若在是凸函数，求实数的取值范围；
(3)若在及是凸函数，在是凹函数；且在单调递增，在上单调递减，求证：.
参考答案
1．D
【详解】由题得到，则，因为，且，所以；
故选D
2．C
【详解】由题复数，
所以复数的虚部为.
故选：C
3．D
【详解】由题可得，
所以，
所以的终边与单位圆交点在第四象限，横坐标为.
故选：D
4．A
【详解】由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为，
圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为，
所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是.
故选：A
5．B
【详解】解不等式，解得或，
所以集合或，
解得，即，
所以集合，
所以.
故选：B
6．B
【详解】根据等差数列性质，可知，即，
化简得，可知.
故选：B.
7．C
【详解】由题可得，所以函数定义域为关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，
又为增函数，和均为上的增函数，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
所以有最大值为，又时，，
所以若函数有且只有1个零点，则.
故选：C
8．A
【详解】由题可得总体10人消费的平均数为，
总体10人消费的方差为.
故选：A
9．AC
【详解】因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，故A正确；
当，满足，但，故B错误；
若，则，则即，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：AC
10．ABD
【详解】对于A，因为，所以数据0，1，2，3，5的分位数为第3个数和第4个数的平均数，即，故A错误；
对于B，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，故B错误；
对于C，由线性回归方程的性质知，经验回归直线一定过样本中心点，故C正确；
对于D，在残差的散点图中，残差散点图所在的带状区域越窄，拟合精度越高，则两个变量的相关性越强，故D错误；
故选：ABD.
11．BCD
【详解】时，，函数最小正周期为，充分性成立，
当函数最小正周期为时，，必要性不成立，
所以是函数最小正周期为的充分不必要条件，A错误；
，
所以的最大值是，B正确；
若，则时，，
因为在单调递增，所以，
解得，，又，所以，，
解得，，
所以，则，故的取值范围是，C正确；
若，
因为，在单调递增，在单调递减，
所以，
且，
所以，即的取值范围是，故D正确.
故选：BCD
12．
【详解】由题可得二项式展开式通项公式为，
所以当时得展开式常数项为.
故答案为：
13．
【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，
可知，，
则椭圆离心率，双曲线的离心率，且
所以，当且仅当，
即时，等号成立，
综上所述的最小值为.
14．4
【详解】由，
当时，，
则时，，
所以，
所以，
由函数定义域为关于原点对称，
且当时，，
当时，，
所以函数为偶函数，图象关于对称，
因为点是函数的图象上在轴右侧任意一点，
所以设，
又过作直线的垂线，则垂线的斜率为1，
所以垂线方程为：，
即，
联立，解得：，
即，
又过作轴的垂线与的图象交于另一点，
且函数为偶函数，
所以，
即，
又，
，
所以，
故答案为：4.
15．(1)，
(2)，.
【详解】（1）由题意得，，
又
，即，，.
（2）依题意：
由（1）可得，，
，.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为结合正弦定理可得，，
因为，所以，所以，则，
因为，所以，则，得，则；
（2）因为是的角平分线，且，，，
所以，得，
在中利用余弦定理得，
在中利用余弦定理得，
因为，，所以，
则在中利用余弦定理得，得，
因为，所以，
所以，解得，解得或，
又，解得，于是.
17．(1)
(2)
【详解】（1）依题意得；
（2）由题对恒成立，
当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且，
则函数无最小值，不符合，所以，
所以为增函数，令，
所以时，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以.
综上所述，.
18．(1)
(2)，；
(3)，.
【详解】（1）（1）依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为，设第二天在B餐厅就餐的概率为
于是：；
（2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为,，第天在餐厅就餐的概率为则：
当时，
即，即，
所以 是以为公比，为首项的等比数列；
所以，于是，；
（3）依题意： ， .
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意，，
所以切点为，切线斜率为，
所以在处的切线方程为；
（2）令，则，
所以依题意，
所以，.
则，若在是凸函数，
则在R上单调递减，令，
则在上恒成立，即在上恒成立，
设，即，
，所以时，时，
于是在上单调递增，在上单调递减，
于是；
（3）由（2），
由题在和上单调递减，在上单调递增，则的有两个变号零点为，
又时，单调递增，此时至多只有一个零点，不符合题意；
另外由（2）知时，单调，不符合题意，于是，
令为减函数，
令，
所以时，时，
即在上单调递增，在上单调递减，
注意到，，
而，，时，，于是有，
此时，即，
所以，
又时，，时，，时，，
即在，上单调递减，在上单调递增，而，
又时，，时，，时，，
又时，，于是只能有，
即时，恒成立，这只需，