江西省新余市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份江西省新余市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（解析版），共21页。
1．本卷共有四个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时问120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】集合，
.
故选：D.
2. 已知，那么是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得.
【详解】因为，且在上单调递增，所以，
又在R上单调递减,
所以,
所以，成立，
时，不能得出成立.
故选：A.
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】得出函数的单调性后借助零点的存在性定理即可得.
【详解】由，故在上单调递增，
又，，
故函数的零点所在的区间为.
故选：C.
4. 若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得.
【详解】把代入可得：，易得：，则，
显然函数的定义域为R，由知为偶函数.
且，由，
因故，即，故函数在上为增函数.
由，将两边平方整理可得：，
解得：或.
故选：C.
5. 已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数的图象恒过定点，进而可得，结合基本不等式和指数的运算性质进而得到答案．
【详解】当时，，
故函数的图象恒过定点，
由点在直线上，则,
故，
当且仅当等号成立,故的最小值是.
故选：B
6. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.
【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
7. 今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:）
A. 年B. 年C. 年D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得:，解得，
所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.
故选：B.
8. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围.
【详解】设为奇函数，且当时，，则时，.
则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.
由在有解得：
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分）
9. 已知一组样本数据，，…，均为正数且互不相等．若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据可能相等的是（ ）
A. 中位数B. 极差C. 平均数D. 标准差
【答案】AC
【解析】
【分析】由样本特征数的概念进行判断.
【详解】不妨令．
对于A选项，当时，，，…，的中位数为，，，…，的中位数为，可知当时，中位数相等，故A正确；
对于B选项，，，…，的极差为，，，…，的极差为，因为，所以，故B错误；
对于C选项，设，，…，的平均数为，即，
所以，，…，的平均数为，由可知，当时，两组数据的平均数相等，故C正确；
对于D选项，设，，…，的标准差为，，，…，的标准差为，
则，，
因为，所以，则，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误．
故选：AC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据的分位数是23.5
B. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是
C. 函数的定义域为，则的定义域为
D. 若，则的值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】由百分位数概念可判断A；根据不等式的解集可知，以及的关系，进而可判断结果B；对于C，可求得的定义域，利用抽象函数的定义域的求法可判断结果；对于D，利用指对互化可得，再利用换底公式代入即可求得结果.
【详解】对于A，由 ，可知样本数据的分位数是第7项和第8项数据的平均数，即为，故A正确；
对于B，不等式的解集为，可知，
由题意可得 与是关于的方程的两根，
所以,解得.
所以不等式可化为，解得:，故B正确；
对于C，因为函数的定义域为，所以，则，
所以，解得:，所以的定义域为，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD
11. 伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．
A. 若，则与不互斥B. 若，则与不相互独立
C. 若，则与相互独立D. 若，则与互斥
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据已知条件，分析和时所有的基本事件的结果，利用事件互斥和两事件相互独立的定义分别判断即可.
【详解】A选项：时，若两次实验中结果为一次正面，一次反面，则事件与同时发生，
由互斥事件定义，与不互斥，A正确；
B选项：时，两次实验的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）种，
，，，，
所以与不相互独立，B正确；
C选项：时，三次实验的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），
（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）种情
况，，，，，
所以与相互独立，C正确；
D选项：时，若三次实验结果为（正，正，反），则事件与同时发生，
由互斥事件定义，与不互斥，D错误.
故选：ABC
12. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，的取值范围为
C. 为奇函数D. 方程仅有6个不同实数解
【答案】BC
【解析】
【分析】根据和可得的图象关于对称，且周期为8，并得到在一个周期所有解析式，作出图象逐一判断即可.
【详解】由可得：的图象关于对称，所以，
又因为，所以，
故，所以的周期为8，
令，则，所以，
令，则，所以
令，则，所以
所以得到在一个周期内所有解析式，
作出在图象并根据周期补充在的图象如下所示：
对于A，，故A不正确；
对于B，当 时，由图可知，故B正确；
对于C，的图象可以由的图像向左平移三个单位，
从而得到图象关于原点对称，故为奇函数，即C正确；
对于D，在同一坐标系作出的图象如下图：
当时，，当时，，由图可知有5个交点，
所以D不正确.
故选：BC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则等于___________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据分段函数的性质代入计算函数值即可.
【详解】由题意可知.
故答案为：6
14. 若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是______．
【答案】
【解析】
【分析】由指对数的关系易知在定义域上的单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性判断，即可知目标函数的单调减区间.
【详解】因为与函数互为反函数，所以，在定义域上为减函数，
令，解得：，
可知的定义域为，
则上递增，在上递减，
利用复合函数的单调性可知：
在上递减，在上递增.
故答案为：.
15. 已知，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】化为，分别求出，，根据已知条件确定，确定原式满足基本不等式成立的条件，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以有，所以，即；
因为，即；又因为所以，
所以，
当且仅当时，解得，又因为，所以，
时等号成立，所以的最小值为；
故答案为：
16. 设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】画出图象，换元后得到方程在内有两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，
令，则当，方程有个不同的实数解，
则方程化为，
使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
令
所以,
解得:，
所以实数取值范围为
故答案
【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18~22题各12分，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入值，再根据并集和补集的运算即可；
（2）由题意得，分和讨论即可.
【小问1详解】
当时，集合，所以或，
.
【小问2详解】
由已知，，
因为是的必要条件，于是得，
①当时，，解得；
②当时，由得，解得：,
综上所述，.
18. 某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图.
（1）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
（2）样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率.
【答案】（1）中位数为，平均数为；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再求出中位数和平均数即得.
（2）求出在内抽的人数，再利用列举法结合古典概型概率公式求解即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图知，解得
语文成绩在的
频率依次为，
显然语文成绩的中位数落在，则，
解得，所以语文成绩的中位数为；
语文成绩的平均数为.
【小问2详解】
语文成绩在区间内的人数比为，
因此5名学生中分数在的学生应抽4名，记为，在的学生应抽1名，记为，
则所有抽取情况有，共10种，
恰有一人成绩在有，共4种，
所以这5名学生中随机选出2人，恰有一人成绩在中的概率为.
19. 已知函数的图象经过点．
（1）求的值，判断的单调性并说明理由；
（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；是上的单调递增函数，理由见解析；
（2）,
【解析】
【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围．
【小问1详解】
函数经过点，
所以，解得，即，
，
则是上的单调递增函数，理由如下：
任取、x2∈R，且，则，
则，
所以，即，
所以是定义域上的单调递增函数．
【小问2详解】
因为，
故是奇函数且在上单调递增，
则不等式等价于，
所以，即，
即存在,不等式有解，
即在,上有解，
由,，可得，
由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增，
且，故在的最大值为，
所以，即
所以，
即实数的取值范围是,．
20. 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表：
（1）给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数. 请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；
（2）若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的.
【答案】20. 选择模型②，
21. ，4
【解析】
【分析】（1）根据数据的变化得到选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出，检验后得到答案；
（2）求出的解析式，分和两种情况，结合函数单调性求出最小值，比较后得到结论.
【小问1详解】
由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，
又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②，
观察表格中的4组数据，
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，
即，解得，
可以检验相对合理，
从而；
【小问2详解】
由（1）可得 ，
当时，由基本不等式得，
当且仅当时取到最小值，
当时，，
由单调性的性质可得在上单调递减，
故在时，有最小值，最小值为万元，
又，
综上所述，当时取得最小值.
21. 已知函数是奇函数．
（1）求的值和函数在区间上的值域；
（2）若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数代特值求出，再利用复合函数单调性求值域；
（2）先化简，再分离参数结合基本不等式求出函数最值可得解.
【小问1详解】
由得，
所以定义域为，
由是奇函数，则，
即，解得.
所以经检验满足.
令，易知单调递减，则
故，所以函数在区间上的值域为.
【小问2详解】
，其中，
所以，即，所以，
令，
则恒成立，
因为，当且仅当即等号成立，
所以，所以
22. 已知R.
（1）当时，解不等式；
（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.
（3）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；
【答案】（1）；
（2）；
（3）0或.
【解析】
【分析】（1）根据对数的计算法则解不等式即可；
（2）求出f(x)的单调性，再求出f(x)在区间上的最大值与最小值之差，问题转为为该差值小于或等于1对恒成立，根据二次函数单调性求最值即可求解；
（3）分类讨论解方程即可.
【小问1详解】
当时，，
，
∴不等式解集为；
【小问2详解】
∵y＝在u＞0时单调递增，u＝在x＞0时单调递减，
∴在上单调递减，
∴函数在区间上的最大值与最小值的差为，
因此，
即对任意恒成立，
∵，∴，∴在上单调递增，
∴，
因此；
【小问3详解】
，
①当时，仅有一解，满足题意；
②当时，则，
若时，解为，满足题意；
若时，解为，
此时
即有两个满足原方程的的根，∴不满足题意；
综上，或.第x天
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10
Q(x)（万件）
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