福建师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份福建师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
命题：曾豪阁 审核：周裕燕
试卷说明：
（1）本卷共四大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合中的范围，再在数轴上表示出两集合的范围，即可求出.
【详解】根据题意，，
所以.
故选:B.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角差的余弦公式逆用即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
3. 已知函数，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式直接运算即可.
【详解】，所以，所以.
故选：B
4. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则“是第一象限角或第二象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由象限角与三角函数符号的对应关系结合充分不必要条件的定义即可判断.
【详解】若是第一象限角或第二象限角，则，若，则，但不是象限角；
所以“是第一象限角或第二象限角”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论.
【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；
由三角函数单调性可知；
利用指数函数为单调递增可得；
所以
故选：C
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将写成，利用诱导公式，化为，然后利用余弦函数的二倍角公式可得出答案.
【详解】
故选：A
7. 函数的部分图象如图，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦型函数的图象及五点法求参数，写出函数解析式，再求函数值.
【详解】由图及题设知，把点代入，得，
由五点描图法可得，所以，故，
所以.
故选：A
8. 已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据是偶函数,即可解出,即可解出的解集,再根据为解集的子集,列出等式,即可找到的最大值.
【详解】因为是偶函数,即,对恒成立.
即对恒成立.
即.
又,即.
.
又对于恒成立.
所以
当
即当,
当,
所以当时, 的最大值为.
故选:B
【点睛】本题结合恒成立综合考查了三角函数的性质,属于中档题.熟练掌握三角函数的基础性质是解本题的关键.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由平方关系、商数关系以及二倍角公式即可求解.
【详解】由题意，解得，故A错误；
而，且，即，所以，故C正确；
联立与，解得，所以，故B正确；
又，所以，故D错误.
故选：BC.
10. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 是图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用函数的最小正周期为求出可判断A；代入法可判断B，利用余弦函数的单调性可判断C；根据的范围求出的值域可判断D.
【详解】对于A：因为函数的最小正周期为，
所以，可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，因为在单调递减，故C错误；
对于D，当时，，所以，
可得，故D错误.
故选：AB.
11. 如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意，的最大值为，最小值为，即可求出，再根据函数的周期即可求出，根据时，，利用待定系数法即可求出，解正弦不等式即可判断D.
【详解】由题意，的最大值为，最小值为，
则，
所以，故A正确；
由旋转一周需要60s，得函数的周期，所以，故B正确；
故，
当时，，
则，所以，故C错误；
由，得，
因为，所以，
由，得，
令，得，
所以，故，
所以离水面的距离不小于3.7m的时长为，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 在是减函数
D. 存在实数使得函数在是减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A选项，利用赋值法，令，求出，再令，进行检验，即可判断A；
对B选项，当时，则，故，令，得出与关系，进而得出的范围，即可判断B；
对C选项，利用函数单调性的定义，由，结合已知条件可得，从而得出函数的单调性，即可判断C；
对D选项，因为函数在上为增函数，若在上递减，则时，，则，由此可求得，即可判断D．
【详解】令，则，即，
解得或，
当时，令，，则，解得，
与时，矛盾，所以，故A正确；
当时，则，故，
令，则，
整理得，则，
∵，∴，，∴，故B正确；
设，则，
，
∵，，∴，，
∴，∴，
所以函数在上单调递增，故C错误；
因为函数在上为增函数，所以在上也为增函数，
若在上递减，则时，，
则时，，即，
又因为当时，，所以，故D正确．
故选：ABD．
Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则的最小值是____________.
【答案】
【解析】
【分析】将表达式等价变形，利用基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
14. 若扇形的周长为，面积为，则它的圆心角的弧度数为______.
【答案】
【解析】
【分析】由扇形的面积公式和周长公式列方程，再由弧长公式解出即可.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
由题意可知，解得，
设扇形的圆心角为，则.
故答案为：
15. 在区间上单调递增；则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数与对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在单调递减，
因为在区间上单调递增，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知函数的图像关于中心对称，且在区间上单调递减，则的值可以是______.（写出一个符合题意的的值即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用辅助角公式可得，结合图像关于中心对称且在区间上单调递减，从而可求解.
【详解】由题意得，则，
即，，解得，，
又因，即，，
单调递减，所以，，解得，，
所以当，时，得时满足题意（本题答案不唯一，只需所取同时满足和即可）.
故答案为：.
四、解答题：6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 已知函数.
（1）判断的奇偶性；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）在上是奇函数
（2）
【解析】
【分析】（1）按函数奇偶性的定义判断即可；
（2）由对数函数单调性列不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意的定义域为，它关于原点对称，
且，
所以在上是奇函数.
【小问2详解】
由题意，所以，解得，
即不等式的解集为.
18. 在平面直角坐标系中，角与的顶点均与直角坐标系的原点重合，始边均与x轴的非负半轴重合.已知角的终边与单位圆交于点，若将绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边重合.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义以及二倍角公式即可求解；
（2）首先得，进一步根据两角和差的三角函数运算即可求解.
小问1详解】
由题意角的终边与单位圆交于点，
所以，.
【小问2详解】
由题意，
.
19. 已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.
（1）求的值；
（2）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合的取值范围可求得的值；
（2）利用三角恒等变换化简得出，由可得，结合题意可得出关于的不等式，解之即可.
【小问1详解】
解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得到函数，
由题意可知，函数为奇函数，则，
可得，又因为，则.
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
则，
因为，则，
由，可得，
因为在区间上有且只有一个零点，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
20. 如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，扇形的半径为，，.记弧的中点为G，连接，分别与，交于点M，N，连接，设.
（1）求矩形的面积关于的函数；
（2）求矩形的最大面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用的正余弦表示出边长，再用面积公式表示出函数关系即可；
（2）由正弦函数的性质求出最值即可.
【小问1详解】
由题意可知，，
代入数值并化简可得
，
所以矩形的面积关于的函数
①，
利用降幂公式，二倍角公式，辅助角公式化简上式可得
①，
所以
【小问2详解】
由正弦函数的值域可知，当时，
21. 已知函数在上为奇函数，.
（1）求实数m的值；
（2）存在，使成立.
（i）求t的取值范围；
（ii）若恒成立，求n的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）由奇函数定义列出恒等式即可求解.
（2）（i）由复合函数单调性得在上单调递减，结合奇函数性质得，由此即可求解；（ii）将原不等式转换为恒成立，通过换元法即可求解.
【小问1详解】
由题意函数在上为奇函数，
所以，
因为，所以解得，经检验符合题意.
【小问2详解】
（i）由（1）得在上为奇函数，
显然在上单调递增，在上单调递减，
所以由复合函数单调性可知在上单调递减，
从而在上单调递减，
所以
，
即，
因为，所以，所以；
（ii）由（2）（i）得，所以，
若恒成立，
则恒成立，
所以当，即时，，
所以n的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问（i）的关键是先得函数单调性，结合奇函数性质可得关于的函数方程，由此即可顺利得解.
22. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足 ，则称函数为“自均值函数”.
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案.
（2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案.
【小问1详解】
，，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
即，即，
函数的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是为“自均值函数”.
【小问2详解】
存在，对于，存在，有，
即，
当时，的值域是，
在值域包含，
当时，，则，
若，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得，，
要使在的值域包含，
则在的最小值小于等于，
又时，递减且，而有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，
所以取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握.