福建师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟满分：150分
命题：刘文清 黄道辉 审核：周裕燕
试卷说明：
（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的。
1．集合P={x∣x<2},Q={y|y=12x}，则P∩Q=
A．−∞,14B．0,14C．0,2D．⌀
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有
A．10种B．20种C．25种D．32种
3．设k=1,2,3,4,5，则x+25的展开式中x​k的系数不可能是
A．10B．40C．50D．80
4．已知a=1,0,b=1,a−b=3，则a与a−b的夹角为
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
5．已知锐角θ满足2cs2θ=1+sin2θ，则tanθ=
A．13B．12C．2D．3
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，则“对∀n∈N∗,an+1>an”是“nSn+1>n+1Sn”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F1，点P是C上的一点，PF2⊥F1F2,∠F1PF2的平分线与x轴交于点A，记△PF1A,△PF2A的面积分别为S1,S2，且S1S2=32，则C的离心率为
A．3B．5C．7D．3
8．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为平行四边形，EF//面ABCD，记该刍甍的体积为V1，三棱锥E−ABD的体积为V2，AB=a,EF=b，若V2V1=25，则ba=
A．1B．12C．13D．23
二、多项选择题：每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9．2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第xx=1,2,3,4,5天的数据如表所示.
根据表中数据可知x,y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为y=20x+10，则
A．样本相关系数在(0,1]内B．当x=2时，残差为−2
C．点3,15a一定在经验回归直线上D．第6天到该医院就诊人数的预测值为130
10．设F是抛物线C:y2=4x的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是
A．∣AB∣≥4
B．∣OA∣+∣OB∣>8
C．若点P4,1，则∣PA∣+∣AF∣的最小值是5
D．若AB倾斜角为π3，且∣AF∣>∣BF∣，则∣AF∣=3∣BF∣
11．已知函数fx的定义域为0,+∞,x>1时，fx>2，且对任意的x,y∈0,+∞，有fxy=fx⋅fy−fx−fy+2.则下列说法正确的是
A．f1=2
B．当x∈0,1时，fx<2
C．fx在区间0,1上单调递减
D．存在实数k使得函数y=∣fx+k∣在区间0,1上单调递减
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设复数z=i+1i−1（i为虚数单位），则z+1z= .
13．如图，在三棱锥P−ABC中，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，且PA=AB，E为PB中点，AF⊥PC于点F，写出图中一条一定与EF垂直的线段为 .
14．设a>0，已知函数fx=ex−alnax+b−b，若fx≥0恒成立，则ab的最大值为 .
四、解答题：6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或油算步骤。
15．（12分）
某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.
（1）求王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
（2）如果王同学第2天去A餐厅用餐，求他第1天在A餐厅用餐的概率；
（3）A餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升.改造提升后，A餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）.
依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为学生对于A餐厅的就餐满意程度与餐厅的改造提升有关联？如果有关联，请分析两者的影响规律.
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
16．（13分）
设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且C=π3.
（1）若a+b=1，求c的最小值；
（2）求csA+csB−csA−B2的值.
17．（13分）
已知数列{an}满足：a1=1，an+an+1=3n+λn∈N∗，λ∈R.
（1）证明：数列{a2n}是等差数列；
（2）是否存在λ，使得数列{an}为等差数列？若存在，求λ的值及数列{an}的前n项和Sn；否则，请说明理由.
18．（13分）
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘,AB=2BC=12，E是AB的中点，D在AC上，DE⊥AB，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A1的位置，且二面角A1−DE−B的大小为60​∘.
（1）求证：A1C⊥BE；
（2）求直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值.
19．（13分）
已知函数fx=sinxexx∈R.
（1）求fx的单调区间；
（2）若对于任意的x∈[0,π2],fx≥kx恒成立，求实数k的取值范围.
20．（13分）
已知椭圆C:x​2a​2+y​2b​2=1a>b>0的短轴长为2，离心率为32.
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左、右顶点分别为A,B，直线l经过点1,0，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A,B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为α,β，试问α−β是否存在最大值？若存在，求当α−β取最大值时，直线AM,BN的方程；若不存在，说明理由.
【参考答案】
福建师大附中2023-2024学年第一学期期末考
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的。
1．C 2．D 3．C 4．A 5．A 6．C 7．B 8．B
二、多项选择题：每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9．AD 10．ACD 11．ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．0
13．AF（或PB，答案不唯一）
14．12e
四、解答题：6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或油算步骤。
15．（1） 【详解】解：设事件Ai：第i天去A餐厅用餐，事件Bi：第i天B餐厅用餐，其中i=1,2，
王同学第2天去A餐厅用餐的概率为：PA2=PA1PA2∣A1+PB1PA2∣B1=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7；
（2） 如果王同学第2天去A餐厅用餐，那么他第1天在A餐厅用餐的概率为：
PA1∣A2=PA1A2PA2=0.5×
（3） 解：提出零假设H0：学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升没有关联.
χ2=100×28×3−57×12285×15×40×60=20017=11.765>7.879
根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联.从表中的数据计算：改造提升前满意率与不满意率分别为2840=710,1240=310；改造提升后满意率与不满意率分别360=120,5760=1920；由310120=6，可见被调查中，改造提升前不满意率的频率是改造提升后不满意率的频率的6倍。所以根据根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为餐厅改造提升后学生不满意率明显下降，所以学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联。
16．（1） 【详解】由余弦定理知c2=a2+b2−2abcsπ3，
方法1：c2=a2+b2−ab=a+b2−3ab≥a+b2−3a+b22=14
所以c≥12，当a=b=12时取等，此时△ABC为正三角形.
故c的最小值12.
方法2：c2=a2+b2−ab=a2+1−a2−a1−a
=3a2−3a+1=3a−122+14≥14
所以c≥12，当a=12时取等.
故c的最小值为12.
（2） 方法1：因为A+B=π−C=2π3，
=csA+cs2π3−A−cs2A−2π32
=csA+(−12csA+32sinA−csA−π3
=12csA+32sinA−12csA−32sinA=0
方法2：因为A+B=π−C=2π3，
原式=csA+B2+A−B2+csA+B2−A−B2−csA−B2
=csA+B2csA−B2−sinA+B2sinA−B2+csA+B2csA−B2+sinA+B2sinA−B2−csA−B2
=2csA+B2csA−B2−csA−B2
=2csπ3csA−B2−csA−B2 =csA−B2−csA−B2=0
综上所述：csA+csB−csA−B2=0.
17．（1） 【详解】解：an+an+1=3n+λ,an+1+an+2=3n+3+λ，
两式相减得an+2−an=3，因为a1+a2=3+λ,∴a2=2+λ，
故{a2x}是首项a2=2+λ，公差为3的等差数列；
（2） 解：由题知a1+a2=3+λ,∴a2=2+λ，
若{an}为等差数列。则a2−a1=12a3−a1=32.
故2+λ−1=32，即λ=12，
由（1）得an+2−an=3，∴数列{a2n+1},{a2n}都是公差为3的等差数列，
∴a2n+1=a1+3n,a2n=a2+3n−1，
又∵a1=1,a2=2+λ=2+12=52，
∴a2n+1−a2n=a1+3n−a2−3n−1=a1−a2+3=32，
a2n−a2n−1=a2+3n−1−a1−3n−1=a2−a1=32，
即对∀n∈N∗有an+1−an=32，
故{an}为等差数列，且an=32n−12，
所以Sn=na1+an2=34n2+14n.
18．（1） 【详解】依题DE⊥BE,DE⊥A1E,BE∩A1E=E，所以DE⊥平面A1EB，
则∠A1EB为二面角A1−DE−B的平面角，即∠A1EB=60∘，因为EA1=EB，所以△BEA1为等边三角形，取BE中点O，连接OA,OC,CE，则BE⊥A1O，因为BC=BE=CE，所以BE⊥OC，又OC∩OA1=O，所以BE⊥平而OCA1，又A1C⊂平面OCA1，所以BE⊥A1C.
（2） 因为DE⊥EB,DE⊥A1E,EB∩A1E=E，所以DE⊥面A1EB，，从而DE⊥A1O
因为DE⊥BE,BE⊥OC，所以DE//CO，所以CO⊥A1O，
所以OC,OB,OA1两两垂直，以O为原点，以OC,OB,OA1的方向分别为x,y,z轴的正方向，
建立空间坐标系O−xyz，则A10,0,33,C33,0,0,D23,−3,0,E0,−3,0.
所以EA1=0,3,33,A1C=33,0,−33,CD=−3,−3,0，
设平面A1CD的一个法向量n=x,y,z，则
n⋅AC→=0n⋅CD→=0，所以33x−33z=0−3x−3y=0，令y=1，则平面A1CD的一个法向量n=−3,1,−3，设直线A1E与平面A1CD所成角为θ，则sinθ=cs⟨EA1,n⟩=0+3−96×7=77，
则直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值77.
19．（1） 【详解】因为fx=sinxex，则f′x=csx−sinxex=2csx+π4ex，
令fx>0，则csx+π4>0，即2kπ−π2解得fx的递增区间为2kπ−3π4,2kπ+π4k∈Z；
令f′x<0，则csx+π4<0，即2kπ+π2解得fx的递减区间为2kπ+π4,2kπ+5π4k∈Z；
所以fx的递增区间为2kπ−3π4,2kπ+π4k∈Z，递减区间为2kπ+π4,2kπ+5π4k∈Z.
（2） 因为对于任意的x∈[0,π2],fx≥kx恒成立，
所以sinxex≥kx对于任意的x∈[0,π2]恒成立，
当x=0时，k∈R；当x∈(0,π2]时，k≤sinxxex，
令gx=sinxxe​x,x∈(0,π2]，所以g′x=xcsx−sinx−xsinxx2ex，
令ℎx=xcsx−sinx−λsinx,x∈(0,π2]，所以ℎ′x=−xsinx−sinx−xcsx<0在x∈(0,π2]上恒成立，
所以ℎx在(0,π2]上单调递减，所以ℎx<ℎ0=0，即g′x<0在x∈(0,π2]上恒成立，
所以gx在(0,π2]上单调递减，所以gxmin=gπ2=2πeπ2，所以k≤2πeπ2.
综上，实数k的取值范围为(−∞,2πeπ2].
20．（1） 【详解】由分析题意得2b=2,ca=32,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为x​24+y​2=1.
（2） α−β存在最大值，当α−β取最大值时，
直线AM的方程为x+3y+2=0，BN的方程为3x−y−23=0，理由如下：
由（1）可得A−2,0,B2,0，
由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+1，Mx1,y1,Nx2,y2，
联立x=my+1x24+y2=1，得m2+4y2+2my−3=0，所以Δ=4m2+12m2+4=16m2+48>0，
y1+y2=−2mm2+4,y1y2=−3m2+4，所以my1y2=32y1+y2. 又tanαtanβ=y1x1+2y2x2−2=x2−2y1x1+2y2=my2−1y1my1+3y2=my1y2−y1my1y2+3y2=32y1+y2−y132y1+y2+3y2=12y1+32y232y1+92y2=13
所以tanβ=3tanα，可知0<α<β<π2或π2<β<α<π.
若α−β取最大值，则π2<β<α<π，此时tanα<0,tanβ<0.
此时
tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ=tanα−3tanα1+3tan​2α=−2tanα1+3tan​2α=2−1tanα+−3tanα≤22−1tanα×−3tanα=33，
当且仅当−1tanα=−3tanα，即tanα=−33,tanβ=−3时等号成立，
此时直线AM的方程为y=−33x+2，即x+3y+2=0，
直线BN的方程为y=−3x−2，即3x+y−23=0.x
1
2
3
4
5
y
21
10a
15a
90
109
就餐满意程度
A餐厅改造提升情况
合计
改造提升前
改造提升后
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xa
2.706
3.841
6.635
7.879