北京市东城区2023-2024学年高一上学期期末统一检测数学试卷 含解析

这是一份北京市东城区2023-2024学年高一上学期期末统一检测数学试卷 含解析，共15页。试卷主要包含了 已知集合,，则， 下列函数中，与是同一函数的是， 若，，则的值为， 已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
2024.1
本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交运算法则直接计算即可.
【详解】因为集合,，
所以，
故选：B.
2. 下列函数中，与是同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案.
【详解】函数的定义域为，
对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确；
对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误；
对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误；
对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误.
故选：A.
3. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可求解.
【详解】对于A，为奇函数，且为单调递增的幂函数，故A正确，
对于B，为非奇非偶函数，故不符合，
对于C，为反比例函数，在和均为单调递增函数，但在定义域内不是单调递增，故不符合，
对于D，在单调递增，但在定义域内不是单调递增，故不符合，
故选：A
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊值结合不等式的性质，逐项判断即可.
【详解】对于A,若取，
则，即，故A错误；
对于B，令，则有，故B错误；
对于C，令，则有，故C错误；
对于D，根据不等式性质可知D正确，
故选:D.
5. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数的平方关系及诱导公式进行计算即可.
【详解】因为，，
所以，
则，
故选：C
6. 下列函数中，满足对任意的，，都有的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各项函数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案.
【详解】对于A：若，则，，
，成立；
对于B：若，由，得，
取，得不成立；
对于C：若，由，得，
取，得不成立；
对于D：若，由，得，
取，得不成立.
故选：A
7. 已知，，，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过化简，并比较与1大小即可得出结论.
【详解】由题意，
，，
所以.
故选：D.
8. “角与的终边关于直线对称”是“”的（ ）
A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足
的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.
【详解】角与的终边关于直线对称,则,
,则，
“角与的终边关于直线对称”是“”的充分必要条件.
故选:A
9. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，）
A. 20B. 16C. 12D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，再代入，求解即可.
【详解】根据题意可得，
则，，
则经过n年时，有，
即，则，
所以，
则.
故选：B.
10. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求．
【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，，
所以时，函数单调递增，,
所以的解集,,，的解集，
当时，的解集,,，
时的解集,,，
则不等式可转化为或，
解得或或．
故选：C．
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分.
11. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】要使函数有意义，则应有，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
12. 设，则的最小值为__________.
【答案】5
【解析】
【详解】 ，当且仅当时取等号
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
13. 已知，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先由指数式化为对数式可得，，再利用即可求的值.
【详解】由，可得：，，
所以，则，
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】不妨考虑第四象限角，由，
取，此时，
故答案为：（答案不唯一）
15. 已知函数，则______2（用“”“”“”填空）；的零点为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据对数运算性质及对数的单调性比较大小，根据对数运算及指对互化求解函数的零点.
【详解】，
由得，所以，所以，
所以函数的零点为.
故答案为：，
16. 已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据新定义分析得到的图象，即可判断①②③；将方程有且仅有3个根转化为与的图象有3个交点，然后结合图象即可判断④.
【详解】因为符号表示不超过x的最大整数，若函数，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以函数的图象如图所示：

对于①，由上面的图象可知，①是正确的，
对于②，由上面的图象可知，②是错误的，
对于③，由上面的图象可知，③是正确的，
对于④，由上面的图象可知，，，，
因为方程有且仅有3个根，等价于与的图象有个交点，
结合图象可知，当或.
故答案为：①③④.
三、解答题：共5小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 设全集，集合，．
（1）求；
（2）当时，求；
（3）若，都有，直接写出一个满足条件的m值．
【答案】（1）或
（2）
（3）3（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）解出集合,直接求解即可；
（2）根据集合的并运算直接求解即可；
（3）根据条件可知，列出条件，可解得m的范围，在范围内写出一个值即可.
【小问1详解】
因为，，
所以或.
【小问2详解】
当时，，
则.
【小问3详解】
，
若，都有，则,
所以，则，
故的值可以为3（答案不唯一）.
18. 已知函数．
（1）当时，
①求的值；
②求的图象与直线的交点坐标；
（2）若的值域为R，求实数a的取值范围．
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）①直接利用代入法即可求解；②令分别求出x，即可求解；
（2）分别求出两段函数的值域，然后并集为R即可求解.
【小问1详解】
①当时，，所以，
当时，，所以，
所以；
②当时，，得，解得；
当时，，即，解得或-1（舍去），
所以函数的图象与直线的交点坐标为；
【小问2详解】
当时，，所以，
即当时，；
当时，，
由，得，
即当时，，
所以，得，解得，
即实数a的取值范围为.
19. 已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）当时，求最小值及此时x的值．
【答案】（1）；
（2）0；
【解析】
【分析】（1）结合图象，根据最小值可求得,根据周期可求得，利于图象上点可求得，继而求得解析式，整体代换可求得单调减区间；
（2）根据变量范围，结合函数单调区间可直接求得的最小值及此时x的值.
【小问1详解】
根据函数的最小值可知,
又,所以，
此时，
又过点，所以，
所以，结合，
所以，
故.
令,
得，
所以的递减区间为.
【小问2详解】
当时,，
所以当时，
取最小值0，此时.
20. 已知是定义在上的奇函数，当时．
（1）求的解析式；
（2）根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见详解；在上的单调递减
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，利于奇函数的定义求解即可；
（2）根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性；
（3）根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为恒成立，利于，解不等式即可.
【小问1详解】
依题是定义在上的奇函数，
当时，
当时，，
则，
所以.
小问2详解】
当时，，
任取，且，
则
，
因为，且，
所以，
故，即，
所以在上单调递减，
根据奇函数的性质可知在上的单调递减.
【小问3详解】
因为，
化为，
即，
根据在上的单调递减，
则，在时恒成立，
即恒成立，
故，
解得，
故实数k的取值范围为.
21. 某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度工（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．
（1）求出S关于的函数解析式；
（2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数）
【答案】（1）,
（2）6
【解析】
【分析】（1）利于给定条件，求出值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.
（2）根据条件建立不等式，解出后进一步分析即可.
【小问1详解】
依题意，当时，，所以，
所以，，
则（万元），.
【小问2详解】
若，
不等式化为，
解得
又，
所以隔热层的厚度不能超过6厘米.