北京市东城区2022-2023学年高一下学期期末统一检测数学试卷（解析版）

这是一份北京市东城区2022-2023学年高一下学期期末统一检测数学试卷（解析版），共15页。
1. 已知向量．若∥，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】因为，且∥，所以，解得.
故选：D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得，.
故选：B.
3. 某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表：
则该校高中学生的平均身高可估计为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：抽取的总人数为，各年级的频率依次为，
所以该校高中学生的平均身高可估计为.
故选：C.
4. 已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知，如图，
为圆锥的轴截面，边长均为，
则圆锥的高，底面半径，
故圆锥体积.
故选：A.
5. 设为实数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，，
因为为实数，所以，解得.
故选：B.
6. 将函数图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
图象向左平移个单位后，
得，排除AB；
由，C正确；
由，D错.
故选：C.
7. 已知长方形墙把地面上两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得米，米．现欲通过计算，能唯一求得两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（ ）
A. 点到的距离B. 长度和长度
C. 和D. 长度和
【答案】D
【解析】连接，在中，，，，所以，
所以，，
对于A，若测量点到的距离，则在或中只有一条边长度是已知，
无法求解的长，所以A错误；
对于B，若测量长度和长度，则在中有两边长度是已知，
或中只有一条边长度是已知，无法求解的长，所以B错误；
对于C，若测量和，则在或中只有一条边是已知，
无法求解的长，所以C错误；
对于D，若测量长度和，则中，
可求出，
而，所以由余弦定理得，
从而可求出，所以D正确.
故选：D.
8. 设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，平方得，即，
又因为，即，所以，所以夹角为钝角或平角，
所以“夹角为钝角”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9. 如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（ ）
A. 存在点，使
B. 不存在点，使
C. 对任意点，都有
D. 存在点，使平面
【答案】C
【解析】A选项，由于平面，，平面，
则一定异面，A选项错误；
B选项，根据直三棱柱性质，平面，平面，故，
又，，平面，故平面，
又平面，故，显然，即，
故重合时，，B选项错误；
C选项，直棱柱的侧面必是矩形，而，故矩形成为正方形，
则，B选项已经分析过，平面，由平面，
故，又，平面，故平面，
又平面，则必然成立，C选项正确；
D选项，取中点，连接，根据棱柱性质可知，和平行且相等，
故平面可扩展成平面，过作，垂足为，
根据平面，平面，故，显然，故，
由，，平面，故平面，
若平面，则，过作//，交于，连接，
于是共面，又，平面，故平面，
由于平面，故，延长交于，易得//，
则，而在线段上，这是不可能的，D选项错误.
故选：C.
10. 如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点.动点的纵坐标关于（单位：）的函数在下列哪个区间单调递增是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为在单位圆上的角速度大小为，
起点为射线与的交点，所以，，
所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数，
由，得，
因为，所以，，，，
所以动点的纵坐标关于（单位：s）的函数的单调递增区间是，，
，.
故选：B.
二、填空题. 共5小题，每小题4分，共20分．
11. 已知，，则___________.
【答案】1
【解析】因为.
故答案为：.
12. 在边长为的正方形中，为中点，则__________．
【答案】
【解析】由题知，
.
故答案为：.
13. 下表是某市6月1日至14日的空气质量指数统计表．由表判断，从6月__________日开始，连续三天的空气质量指数方差最大．
【答案】3
【解析】由表可知，第3天开始，连续三天的数据波动最大，此时的方差最大.
故答案为：3.
14. 已知为复数，且，写出满足上述条件的一个复数__________；的最大值为__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】（空1）时，符合题意；
（空2）复数在复平面上对应一条向量，满足向量的三角不等式，
于是，解得.
故答案为：（答案不唯一） .
15. 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：
①平面；
②平面平面；
③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等；
④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①④
【解析】对于①，根据正八面体性质可知，，
又因为平面，平面，所以平面，故①正确；
对于②，如下图所示，取中点，连接，
根据等边三角形性质可知，
所以是二面角的平面角，
设该正八面体棱长为，则，，
则在中，，
所以，所以平面与平面不垂直，故②错误；
对于③，直线与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点，
则过点至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误；
对于④，如下图所示，取中点，的中心，
连接，则即正方体的一条棱，
设该正八面体棱长为，则，，
根据，，得，
所以，
所以以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的，故④正确.
故答案为：①④.
三、解答题. 共5小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 在中，角所对的边为 ，．
（1）求；
（2）若，求的面积．
解：（1）因为，，
在中，由正弦定理得，
所以．
（2）因为，，所以，
在中，，
根据余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
所以．
17. 某市举办“强国有我，爱我中华”科技知识竞赛，赛后将参赛的2000名学生成绩分成4组：①，②，③，④，并进行统计分析，公布了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这2000名学生科技知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）某同学获知自己的成绩进入本次竞赛成绩前，估计该同学的成绩不低于多少分？
解：（1）因为，
所以这2000名学生竞赛成绩的平均数可以估计为83.5．
（2）因为这组数据占总数的，该同学的成绩进人本次竞赛成绩前，
所以，所以可以估计该同学的成绩不低于92分．
18. 已知函数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并求在区间上的最大值与最小值．
条件①：；
条件②：为的一个零点；
条件③：图象相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）因为，所以的定义域为，
因为为偶函数，所以，
即，即，
所以．
（2），
若，，
若，，其中，
选择条件①②：
当时，，
此时，故，
当时，，
，
得，，
设满足上面两式，
即，，
则，，，，
故，，，，
故若是，的解，
则，，满足时也必定是方程的解，
故函数不唯一，不符合题意.
选择条件①③：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，即，所以，即，
当时，，
此时，故，
当时，，
所以，所以，
因为，所以，
当，即时，取得最大值3；
当，即时，取得最小值0．
选择条件②③：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，即，所以，即，
因为为的一个零点，所以，
当时，，
此时，故，
当时，
即，所以，
所以，
因为，所以，
当，即时，取得最大值3；
当，即时，取得最小值0．
19. 如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点．
（1）当是中点时，求证：∥平面；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：因为点是中点，点是中点，所以∥，
因为平面平面，
所以∥平面．
（2）证明：如图，取中点，连接，
因为侧面是正三角形，所以，
因为底面是菱形，且，
所以是等边三角形．所以，
因为平面，
所以平面，因为平面，所以．
（3）如图，取中点，连接，
因为四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，
所以，所以，
又，AB、BE在面ABE内，
所以平面，
过作∥交于点，
因为∥∥，所以点平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为的中点，∥，
所以，所以．
20. 对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，．
（1）若，求及；
（2）证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使；
（3）已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值．
解：（1）因为，，，
所以.
（2）设，
假设对，则均不为0，
所以，即，
因为，
所以，
所以，
与矛盾，故假设不正确，
综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使．
（3）设，因为，
所以有或，
当时，可得三式相加得，
又，可得，
当时，也可得，
于是，
设的三个分量为这三个数，
当时，的三个分量为这三个数，
所以，
当时，的三个分量为，
则的三个分量为的三个分量为，
所以，
所以，由，可得，
因为，所以任意的三个分量始终为偶数，
且都有一个分量等于2，
所以的三个分量只能是三个数，
的三个分量只能是三个数，
所以当时，；当时，，
所以的最小值为505．年级
高一
高二
高三
抽样人数
36
34
30
平均身高
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
空气质量指数
60
79
90
50
38
26
32
49
48
62
52
38
30
37