广西壮族自治区崇左市2024-2025学年高二上学期1月期末考试 数学 含解析

这是一份广西壮族自治区崇左市2024-2025学年高二上学期1月期末考试 数学 含解析，共16页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先求，进而可得.
【详解】由题意可得，故，，
故选：A
2. 已知直线经过点，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率公式即可求解；
【详解】由，
可得：，
故选：C
3. 已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意为方程的两根，结合数列的单调性确定，再根据等差数列通项公式求公差.
【详解】因为，
所以为方程的两根，
又因为为递增的等差数列，
所以，故公差.
故选：D
4. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出抛物线的标准方程即可得到焦点坐标.
【详解】由得，，故抛物线的焦点坐标为.
故选：A.
5. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由焦点到渐近线的距离公式即可求解.
【详解】设双曲线的焦距为，焦点为因为双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，，所以双曲线的离心率为.
故选：C.
6. 记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 7B. 49C. D. 43
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的片段和性质有，并设，结合已知求、，即可求值.
【详解】设，则，
因为，
所以，解得，
所以.
故选：C
7. 在平行四边形中，，，，是中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据面面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可.
【详解】在中，，则，即，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，于是，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
于是，得，
所以直线与所成角的余弦值为.
故选：A
8. 设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（ ）
A. 4B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据的关系，构造法求数列的通项公式，并确定为等差数列，最后应用等差中项的性质求.
【详解】因为，
当时，，得，
当时，，
所以，则，
所以，又，
所以，所以是等差数列.
因为，所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是椭圆，则B. 若是双曲线，则
C. 若，则的周长为8D. 若，则的离心率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A由于的大小范围不确定故不能判断焦点位置，对于B若是双曲线，则的焦点在轴上即可求解，对于C若，则是椭圆，则的周长为，对于D若，则是双曲线即可求解.
【详解】对于A：若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，所以A错误；
对于B：若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确；
对于C：若，则是椭圆.因为，，，所以的周长为，故C正确；
对于D:若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ）
A. 圆上有两个点到直线的距离为2
B. 圆上只有一个点到直线的距离为2
C.
D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是
【答案】BC
【解析】
【分析】求出圆的圆心及半径，求出点到直线的距离判断AB；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，
对于AB，圆心到直线的距离，
则，故A错误，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由切线的性质，得切线长为，D错误.
故选：BC
11. 在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内（含表面），且满足，记动点P的轨迹为Ω，则（ ）
A. Ω的面积为
B. 平面与Ω所在平面平行
C. 当时，存在点P，使得
D. 当时，三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】取的中点，连接，四边形为动点P的轨迹Ω，求得面积判断A；连接，可证明平面平面，从而可判断B；以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，转化为是否有解问题处理，求解可判断C；确定的位置，进而可判断D.
【详解】因为，所以在确定的平面内，又，
取的中点，连接，则四边形为动点P的轨迹Ω，
因为长方体中，，，
所以，，进而可求得等腰梯形的高，
所以梯形的面积为，故A正确；

连接，因为且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，又，平面，
所以平面平面，又平面平面，
所以平面与Ω所在平面不平行，故B错误；
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
当，则，
所以，
假设，则，即，解得，
所以当时，存在点P，使得，故C正确；
当时，点在上，则时点到平面的距离为定值，又三角形的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，将是否存在点P，使得，转化为方程是否有解问题，转化思想是数学的一种常见思想方法.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线被圆截得的弦长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据圆的性质，结合点到直线距离公式、勾股定理求解即可.
【详解】由，
可得：，即圆心，，
圆心到直线l的距离为：，
所以弦长为
故答案为：2
13. 若数列满足，则__________.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根据递推式写出前几项，得到数列的周期，利用周期性求项.
【详解】因为，
所以，
所以数列是周期为4的周期数列，故.
故答案为：
14. 在正四面体中，，则______（用，，表示）．若，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，化简得到 ，再根据向量的模的计算，结合向量数量积的定义与向量数量积的运算律即可求出答案.
【详解】 ，
，
，
且正四面体为正四面体，
所以，且之间夹角都是，
则，

故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知有，应用等比数列的定义写出通项公式；
（2）由（1）得的通项公式，应用裂项相消法求.
【小问1详解】
因为，所以，又，
所以是首项为2，公比为4的等比数列，.
【小问2详解】
因，所以，
所以.
16. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案；
（2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案.
【小问1详解】
由题意知动点到点的距离等于到直线的距离，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以的方程为.
【小问2详解】
设，，则，
两式相减得，整理可得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.
17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，.
（1）证明：平面平面.
（2）若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面平面得平面即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，由平面与平面的夹角为得点的坐标，利用向量法求点到平面的距离即可.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，，
所以平面.因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
取的中点，连接.因为，所以.
因为平面平面，所以平面.
以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
设，平面法向量为，
因为，，
所以，令，得.
平面的一个法向量为.
因为平面与平面的夹角为，所以，所以.
设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得.
因为，所以点到平面的距离.
18. 已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知，可得，，则，，即可求得椭圆的标准方程，再求出，可求得离心率；
（2）设直线的方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，由利用韦达定理得，得，化简可得，可得为定值.
【小问1详解】
因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点，
当时，，当时，，则，，
所以，，
所以椭圆的标准方程为．
因为，所以椭圆的离心率为．
【小问2详解】
由（1）知直线的斜率为，
设直线的方程为，，，
联立方程组，消去得，则．
因为，，所以，
因为，
且，所以，
所以，即为定值．
19. 对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足．
（1）求数列的通项公式．
（2）若数列的前n项和为，证明：．
（3）若对恒成立，求λ的取值范围．
【答案】（1），；
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据定义及等差数列的定义得，再应用累加法求的通项公式，同理得到，由等比数列的定义求的通项公式；
（2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论.
（3）由（1）得到对恒成立，构造数列，确定其最大项即可求解；
【小问1详解】
因为，所以，
所以是公差为1的等差数列，所以.
因为，所以，所以，即.
因为，
所以.
因为，所以.
因为，
所以，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即.
【小问2详解】
因为，所以，则，
所以，
故.
【小问3详解】
由（1），
可化成：
即对恒成立，
令，
则，
当时，，当时，，
所以中最大项为，
所以