上海市洋泾中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

这是一份上海市洋泾中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共19道试题）
一、填空题（第1-6题每题3分，第7-10题每题4分，满分34分）
1. 若，则的终边在第___________象限．
【正确答案】二
【分析】直接计算的范围即可得终边所在象限.
【详解】由，所以，所以的终边在第二象限.
故二.
2 若，，则___________．（填“”或“”或“”）
【正确答案】
【分析】先对集合进行分类讨论化简，再判断两个集合之间的关系即可.
【详解】对于，
当时，，
当时，，
化简得，
令，则，
与集合形式相同，故.
故
3. 已知幂函数的图像不经过原点，则实数___________．
【正确答案】
【分析】根据幂函数的定义及其性质求解.
【详解】由幂函数的定义及其性质可得，解得，
故答案为.
4. 已知，且满足，则___________．
【正确答案】##
【分析】根据两角差的余弦公式得，再根据角的范围求解.
【详解】根据题意，，
因为，则，
所以，则.
故
5. 已知是第三象限的角，则___________．
【正确答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系建立方程组，进而求解即可.
【详解】因为是第三象限的角，所以，
因为，所以，
联立方程组，解得（正根舍去），
故
6. 函数的定义域为___________．
【正确答案】
【分析】根据具体函数定义域基本要求可构造不等式组，解不等式组可求得结果.
【详解】根据题意，，
则，
解得或，
所以函数定义域为.
故
7. 函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为___________．
【正确答案】和
【分析】先根据题意，得当时，函数的单调性，再根据奇偶性得当时，函数的单调性即可求解．
【详解】当时，，二次函数开口向上，对称轴为，
所以当时，在上单调递减，单调递增，
又因为函数是定义在上的偶函数，
所以当时，在单调递减，在单调递增，
综上，函数在上的单调增区间为和．
故和．
8. 已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________．
【正确答案】
【分析】根据二次函数性质，以及零点存在定理，列出不等式，求出参数范围.
【详解】设函数，依题意，函数有两个零点，且在区间内有一个零点，
根据零点存在定理，可知需使，即，
化简得，解得，
当时，即，解得，此时方程有两根为1和3，符合条件；
当时，即，解得，此时方程有两根4和，不合题意.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为.
9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________．
【正确答案】
【分析】由函数的值域为，知能取到所有正实数.分析和两种情况，可得实数的取值范围.
【详解】因为函数的值域为，所以能取到所有正实数.
若，则.当时，能取到所有正实数，满足题意；
若，要使能取到所有正实数，须使，解得.
综上所述，实数取值范围是.
故答案为.
10. 对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”．已知函数，若对任意的，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围为___________．
【正确答案】
【分析】根据题意可知对任意的恒有两个不同的解，再根据根的判别式结合恒成立问题求解即可．
【详解】由题意可知，对任意的恒有两个不同的解，
即由，需使对任意的恒成立，
即关于的不等式对任意的恒成立
当时，，需使，解得，则；
当时，，需使，解得，则且．
综上，．
故．
二、选择题（每题4分，满分16分）
11. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据零点存在性定理和二分法，不断将区间一分为二后计算即可求得.
【详解】依题意，设函数在内的零点为；
因为，，所以，所以；
取区间的中点，则，所以，所以；
取区间的中点，则，所以，所以；
即两次二分法后，函数零点所在的区间为.
故选：C.
12. 若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. 2C. D.
【正确答案】B
【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长.
【详解】设扇形的半径为，则，故，
故弧长为.
故选：B
13. 已知函数若恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】将恰有3个零点，转化为函数的图象与直线恰有三个交点.作出函数的图象，结合图象分析零点的取值情况，由此得到的取值范围.
【详解】由恰有个零点，得方程有个实根，
即函数的图象与直线恰有三个交点.
函数在上单调递减，且当时，；
又，所以.
所以，所以；
由，得，
因为，所以，所以，即，.
所以.
因此，，即.
故选：C.
14. 已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（ ）
A. 1B. 3C. 5D.
【正确答案】A
【分析】先令得，再令得，从而，即的图象关于对称，进而利用对称性及的最小值求解的最大值即可.
【详解】令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
所以函数图象关于对称，
故由的最小值为，得的最大值为.
故选：A
三、解答题（共5题，总分50分）
15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，为角终边上的一点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由三角函数定义求得，代入求值；
（2）由诱导公式化简，代入求值.
【小问1详解】
因为，所以，
所以
.
【小问2详解】
16. 设是定义在R上的奇函数，且对于任意的实数，恒有．当时，．
（1）求证：是周期函数，并指出其最小正周期；
（2）求方程在区间上解的个数．
【正确答案】（1）证明过程见解析，最小正周期为6；
（2）8
【分析】（1）根据，得到，故是一个周期为6的周期函数，并结合奇偶性得到最小正周期为6；
（2）上，有2个解，结合函数的周期性和奇偶性，可知在，，上，各有2个解，画出函数图象，数形结合得到答案.
【小问1详解】
因，所以，
故是一个周期为6的周期函数，
又时，，
故当时，，则，
是定义在R上的奇函数，故，
显然在上，的图象无周期性，
综上，的最小正周期为6；
【小问2详解】
当时，，
令，则有2个根，故在上有2个解，
结合函数的周期性和奇偶性，可知在，，上，各有2个解，
画出函数在上的图象如下：
由于与有8个交点，故在上共有8个解.
17. 某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完．
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【正确答案】（1）
（2）当年产量时，企业获利最大，最大值为
【分析】（1）根据题意，分别求得，和时的函数关系式，进而得到答案；
（2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求得最大值，即可求解.
【小问1详解】
时，；
时，.
即
【小问2详解】
，，时取得最大值；
，
因为，所以
当且仅当时，即时取得等号.
综上：当年产量时，企业获利最大，最大值为.
18. 已知函数．
（1）求的定义域并证明是奇函数；
（2）解不等式．
【正确答案】（1）定义域为R，证明过程见解析；
（2）
【分析】（1）先得到定义域为R，并得到，所以为奇函数；
（2）先根据奇偶性得到，并得到函数单调性，从而得到，变形后，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出解集.
【小问1详解】
由于恒成立，恒成立，
故的定义域为R，
又
，
所以是奇函数，
【小问2详解】
，
因为为奇函数，故，
所以，
又当时，单调递增，
故在上单调递增，
又为奇函数，且，故在R上单调递增，
所以，即，
故，所以，解得，
所以不等式解集为.
19. 已知函数具有以下性质：
①两函数的定义域均为；
②在上是严格增函数；
③两函数中一个是奇函数，另外一个是偶函数；
④．
（1）求函数与函数的表达式；
（2）设函数，求解下列问题：
（i）的值；
（ii）在上的最小值．
【正确答案】（1）；；
（2）（i）1；（ii）
【分析】（1）先分别假设，的奇偶性，再结合在上是严格增函数判断可得两函数的表达式；
（2）（i）直接代入函数表达式计算可得；（ii）先化简表达式，再令，将函数转化为二次函数，再对二次函数分三种情况讨论可得函数在闭区间上的最小值.
【小问1详解】
因为两函数中一个是奇函数，另外一个是偶函数，假设为奇函数，为偶函数，
再由——①，所以，即——②.
①②相加得，所以.
又因为在上是严格增函数，所以不符合题意，故为偶函数，为奇函数.
由，得，即，
两式相加可得：，，且在上是严格增函数.
故，.
【小问2详解】
由（1）知，，
（i）
（ii）因为
令，，所以，由对勾函数性质可知函数在上单调递减，所以.
所以，.
当时，即，函数在上单调递增，所以；
当时，即，函数在上单调递减，在上递增，所以；
当，即，函数在上单调递减，所以.
所以