山东省潍坊市诸城繁华中学2025_2026学年高一上学期12月质量监测数学试题 [含答案]

这是一份山东省潍坊市诸城繁华中学2025_2026学年高一上学期12月质量监测数学试题 [含答案]，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．“是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．若，且，则的最大值为（ ）
A．6B．C．7D．
5．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的零点所在区间为（ ）.
A．B．C．D．
7．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（ ）
A．B．C．D．
8．已知方程的两个根分别为，，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多选题
9．如果a，b，c，，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
10．已知，且，函数的大致图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．在上单调递增
C．若，则的最小值为3
D．若恒成立，则的最大值为6
三、填空题
12．已知：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
13．已知函数满足，则的解析式为 ．
14．若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为
四、解答题
15．已知集合，不等式的解集为集合B.
（1）当时，求，；
（2）设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16．（1）计算；
（2）已知函数，求不等式的解集.
17．已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立.
（1）若和均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围.
18．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式．
（2）根据（1）中所求模型，
（ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间．
（参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7）
19．已知函数是偶函数，是奇函数，且．
（1）求的值；
（2）设函数，证明：曲线是轴对称图形；
（3）当，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【分析】解对数不等式化简集合A，解绝对值不等式化简集合B，进而利用补集运算和交集运算的概念求解即可.
【详解】，，则或，.
故选D.
2．【正确答案】D
【分析】根据不等关系结合充分与必要条件判断即可.
【详解】当时，满足，但是此时；
当，满足，但此时；
故“是“”的既不充分也不必要条件.
故选D.
3．【正确答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.
【详解】命题“，”，则其否定为，.
故选A
4．【正确答案】D
【分析】直接利用基本不等式即可得到不等式，解出即可.
【详解】，解得，
当且仅当，即时等号成立.
故选D.
5．【正确答案】B
【分析】根据指数函数的单调性可比较，根据对数函数的单调性可比较，即可得解.
【详解】因为，所以，
，所以，
综上所述，.
故选B.
6．【正确答案】B
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，则，
故函数的零点所在区间为.
故选B.
7．【正确答案】A
【分析】由已知得出，，，代入等式计算即可.
【详解】由题意可得，，，
所以该试验火箭的理想速度为
.
故选A.
8．【正确答案】D
【分析】利用根与系数的关系结合对数的运算法则计算即可.
【详解】由题意可知，即是方程的两个根，
则，可得，
所以.
故选D
9．【正确答案】ABC
【分析】利用不等式的性质或特殊值法逐项分析即可.
【详解】选项A：取，，则，故A错；
选项B：取，则，故B错；
选项C：取，，，，则，，故C错；
选项D：由题意可知.
由于，所以，所以，
则，故D正确．
故选ABC．
10．【正确答案】AC
【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D；再分，两种情况判断即可.
【详解】由，定义域为，
且，则是偶函数，排除D；
当时，，
且在上单调递增，A符合题意，B不符合题意；
当时，，
且在上单调递减，C符合题意.
故选AC.
11．【正确答案】ABD
【分析】根据偶函数的定义即可判断选项A；根据单调性的定义即可判断选项B；根据函数的奇偶性及单调性，即可判断选项C；分离参数后结合基本不等式即可求解，进而判断选项D.
【详解】因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确；
设，则，
因为，所以.因为，，所以，因此，
所以，故在上单调递增，故B正确；
因为为偶函数，且在上单调递增，所以，
两边同时平方，整理得，故，故无最小值，故C错误；
由于在上单调递增，在上单调递减，所以，
故可整理为，
令，则，故在上恒成立.
因为，当且仅当时取等，故，即的最大值为6.故D正确.
故选ABD.
本题考查利用定义法证明函数的单调性、奇偶性、利用函数的单调性和奇偶性解函数函数不等式以及函数不等式恒成立问题.
（1）定义法证明函数的奇偶性时，需要先说明函数的定义域关于原点对称；
（2）定义法证明函数的单调性的步骤：假设、作差、变形、判断符号、得出结论.
（3）不等式恒成立问题通常可参变分离求最值.
12．【正确答案】
【分析】的解为，的解为：，再根据是的必要不充分条件，从而求解.
【详解】对于，由可解得，
对于，由可解得，
因为是的必要不充分条件，所以解得．
故的取值范围为.
故答案为.
13．【正确答案】.
【分析】应用方程组法计算求解解析式.
【详解】因为，
所以，所以，
则的解析式为.
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】根据复合函数的单调性和对数函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】易知在定义域上是增函数，
由复合函数单调性可知在区间上是增函数，
所以解得，且，解得，
综上可知，a的取值范围为.
故
15．【正确答案】（1）或，；
（2）.
【分析】（1）解一元二次不等式、指数不等式求集合，再由集合的交、补运算求结果；
（2）由题意是的真子集，利用包含关系列不等式求参数范围即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
所以或，；
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集，
因为，.
所以，所以，
则的取值范围是.
16．【正确答案】（1）9；（2）.
【分析】（1）根据对数运算法则直接运算求解即可；
（2）根据对数函数的单调性在定义域内解不等式即可.
【详解】解：（1）原式.
（2）依题意有解得，所以的定义域为.
因为，所以，所以，解得.
又，所以.
故不等式的解集为.
17．【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）根据题意，分析、为真命题时的取值范围，进而可得关于的不等式组，求解即可；
（2）由题意，分为真命题为假命题和为假命题为真命题两种情况，根据（1）可得，为真命题为假命题时，满足，为假命题为真命题时，满足，求解即可.
【详解】（1）若为真命题，
函数在区间上单调递增，
因为在区间上没有零点，
所以或者，
得或，
若为真命题，
令，其开口向上，对称轴为，
所以，
因为，使得成立，所以，
所以，
若和均为真命题，则，解得或，
即实数的取值范围为；
（2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，则由（1）可得，
①若p真，q假，则，解得；
②若p假，q真，则，解得；
综上，实数a的取值范围是.
18．【正确答案】（1）选模型②，理由见详解，解析式为
（2）（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式；
（2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可．
【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
模型③为单调递增的函数，不符合，
模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②，
则，解得，
所以；
（2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，
所以推测实验室室温为；
（ii）令，则，
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
19．【正确答案】（1）4
（2）见详解
（3）
【分析】（1）利用函数的奇偶性得到，结合平方差公式，将转化为，代入已知式子计算.
（2）将变形为的形式，证明是偶函数（利用的偶性及构造函数的偶性），结合函数图象的平移，得出的图象关于直线对称.
（3）代入、的表达式，换元令，将方程转化为关于的函数，分析的范围与函数的单调性，根据零点唯一的条件确定的取值范围.
【详解】（1）由，得①
因为函数是偶函数，是奇函数，
则②
联立①②，解得，．
．
（2），即．
设，则其定义域为．
由，
所以是偶函数．
因为是偶函数，所以是偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象关于直线对称，
所以曲线是轴对称图形．
（3）由（1）知，，，
因为函数有且只有一个零点，
所以方程在上有且只有一个实数根．
即方程在上有且只有一个实数根．
令，则，
因为单调递增，
所以当时，，
所以问题转化为方程有且只有一个实数根，
即在上有且只有一个实数根．
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，且，
所以或，
所以或
所以实数的取值范围是．时间/分钟
0
1
2
3
4
5
水温/℃
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33