山东省潍坊市诸城第一中学2025~2026学年高二上册9月中旬月考数学试卷【含答案】

这是一份山东省潍坊市诸城第一中学2025~2026学年高二上册9月中旬月考数学试卷【含答案】，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=2,1,−5，b=6,y,z，且a//b，则y+z=( )
A. −8B. −12C. 8D. 12
2.下列说法其中正确的是( )
A. 四边相等的四边形是菱形．
B. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
C. 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
D. 两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线．
3.如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，N是A1B的中点，若CA=a，CB=b，CC1=c，则CN=( )
A. 12a+b−c)B. 12a+b+cC. a+b+12cD. a+12b+c
4.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A1,1,1，B2,−1,0，若点P与点A关于Oyz平面对称，则BP=( )
A. 14B. 13C. 2 3D. 11
5.如图，在60 ∘二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=4，AC=6，BD=6，则线段CD的长为( )
A. 29B. 10C. 2 31D. 2 13
6.以下说法中正确是( )(其中m，n表示直线，α,β,γ表示平面)
A. 若m//n,n//α，则m//αB. 若m⊥n,m⊥α，则n//α
C. 若α⊥β,β⊥γ，则α//γD. 若α//β,m//n,m⊥α，则n⊥β
7.如图，PA⊥面ABC，∠ACB=90 ∘，且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于( )．
A. 2B. 2C. 3D. 3 22
8.已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a+3b，AC=a−c，AD=2b+λc.若A，B，C，D四点共面，则λ=( )
A. −34B. 34C. 43D. −43
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=2,0,2，b=−12,1,−32，c=1,−2,3，则下列结论正确的是( )
A. a与b垂直
B. b与c共线
C. a与c所成角为锐角
D. a，b，c，可作为空间向量的一组基底
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为AB,AD,B1C1的中点，以下说法正确的是( )
A. EF//平面A1D1BB. A1C⊥平面EFG
C. 点C到平面EFG的距离为 23D. 三棱锥A1−EAF外接球体积为 6π
11.下列命题中正确的有( )
A. 与向量a=(1,− 2,1)共线的一个单位向量为−12, 22,−12
B. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP=34OA+18OB+18OC，则P，A，B，C四点共面．
C. 正四面体OABC的棱长为 2，则OA+OB+OC= 6．
D. 若a=4，向量e为单位向量，=2π3，向量a在向量e方向上投影的数量−2．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线a,b与平面α,β,γ，能使α⊥β的条件是 ．①α⊥γ,β⊥γ;②α∩β=a,b⊥a,b⊂β; ③a⊥β,a//α；④a⊂β,b⊂α,a⊥b．
13.如图所示正方体ABCD−A1B1C1D1中棱长为1，E是棱CC1的中点，则由D1，A，E三点确定的平面与正方体ABCD−A1B1C1D1相交所得截面图形的周长为 ．
14.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台(两个底面都是正方形的四棱台)，如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为 平方分米．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间三点A−2,0,2，B−1,1,2，C−3,0,3，设a=AB，b=AC，
(1)求a和b的夹角θ；
(2)若向量ka+b与ka−b互相垂直，求k的值．
(3)求|a+3b|.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．证明：

(1)BE//平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
17.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，∠BAD=90∘，∠DAA1=∠BAA1=60∘，M为A1C1与B1D1的交点．设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a，b，c表示BM，并求BM的值；
(2)求BM⋅AC1的值．
18.(本小题17分)
已知在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，AD=4，AB=2，∠BCD=135 ∘，BB1=2，E，F分别是线段AB，BC的中点．
(1)求直线A1F和平面BCD的夹角的正弦值；
(2)求证：平面A1BD⊥平面A1AF；
(3)棱AA1上是否存在点G，使EG//平面A1FD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠ABC=90 ∘，且侧面PAD⊥底面ABCD，O是AD的中点，2AB=2BC=AD=PA=PD．

(1)已知N是PD的中点，求证：平面CON//平面PAB
(2)求证：AC⊥平面POB；
(3)当AB=2时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥P−ABM的体积为 33，若存在，请求出PMPC的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.A
5.D
6.D
7.B
8.C
9.BC
10.BD
11.ABD
12.③
13.3 22+ 5
14.33π
15.【详解】(1)空间三点A−2,0,2，B−1,1,2，C−3,0,3．
设a=AB=1,1,0,b=AC=−1,0,1,
∴a⋅b=−1+0+0=−1,a= 2,b= 2,∴csθ=a⋅bab=−12，
∵0≤θ≤π，∴θ=2π3
(2)ka+b⋅ka−b=k2a2−b2=2k2−2=0，
解得k=±1．
(3)a+3b= a2+9b2+6a⋅b= 2+9×2+6×−1= 14．

16.【详解】(1)取PD的中点F，连接EF,AF，
∵E,F分别是PC,PD的中点，
∴EF//DC，且EF=12DC，
又AB//DC，且AB=12DC，
∴EF//AB且EF=AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE//AF，
又BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD，
∴BE//平面PAD
(2)∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AD⊥AB，AB//DC，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD

17.【详解】(1)因为平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，
所以M是A1C1中点，也是B1D1中点，
又因为AB=a,AD=b,AA1=c，且平行六面体中A1B1=AB=a，A1D1=AD=b，
那么BM=12BA1+12BC1，
因为BA1=AA1−AB=c−a，BC1=BB1+B1C1=c+b，
所以BM=12(c−a)+12(c+b)=12b−12a+c，
|BM|2=(12b−12a+c)2=14b2+14a2+c2−12a⋅b+c⋅b−c⋅a，
因为∠BAD=90 ∘，所以a⋅b=0，又|a|=|b|=|c|=1，∠DAA1=∠BAA1=60 ∘，
所以c⋅a=c⋅b=1×1×12=12，
|BM|2=14×1+14×1+1−12×0+12−12=32，所以|BM|= 32= 62．
(2)因为AC1=AB+AD+AA1=a+b+c，
所以BM⋅AC1=(c−12a+12b)⋅(a+b+c)
=c⋅a+c⋅b+c2−12a2−12a⋅b−12a⋅c+12b⋅a+12b2+12b⋅c
=12+12+1−12−0+0−12×12+12+12×12=2．

18.【详解】(1)四棱柱ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD，
所以直线A1F和平面BCD的夹角为∠A1FA，
在直角梯形ABCD中，过点C作CH⊥AD于H，如图所示：
由AD⊥AB，AD=4，AB=2，∠BCD=135 ∘，
得▵CHD为等腰直角三角形，所以四边形ABCH为正方形，所以BC=2，
所以BF=1，
在▵A1FA中，A1F= AA12+AF2= AA12+AB2+BF2= 4+4+1=3
所以sin∠A1FA=AA1A1F=23；
(2)由AD⊥AB，AD=4，AB=2，∠BCD=135 ∘，
得▵CHD为等腰直角三角形，所以四边形ABCH为正方形，
所以BF=1，△DAB∽△ABF，所以∠BAF=∠ADB，
所以∠BAF+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90 ∘，
从而得到DB⊥AF，
在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD，
所以DB⊥AA1，
又因为AF∩AA1=A,AF,AA1⊂平面AA1F，所以DB⊥平面AA1F，
因为BD⊂平面A1BD，
所以平面A1BD⊥平面A1AF；
(3)存在点G，且AG=34，使得EG//平面A1FD，
则在AD上取点M，使AM=38AD=32，连接EG，EM，MG，如图所示：
此时tan∠AME=132=23，tan∠ADF=23，
所以∠AME=∠ADF，即EM//DF，
在平面ADD1A1中，AGAA1=AMAD=38，所以MG//A1D，
此时由EM//DF，DF⊂平面A1FD，EM⊄平面A1FD，得EM//平面A1FD，
由MG//A1D，MG⊄平面A1FD，A1D⊂平面A1FD，得MG//平面A1FD，
又MG∩EM=M,MG,EM⊂平面EMG，
所以平面EMG//平面A1FD，
因为EG⊂平面EMG，所以EG//平面A1FD．

19.【详解】(1)因为O是AD的中点，N是PD的中点，所以ON为▵PAD的中位线，即ON//PA，
又ON⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以ON//平面PAB，
又2AB=AD，O是AD的中点，且AD//BC，所以AO//BC且AO=BC，
所以四边形ABCO为平行四边形，所以AB//OC，
又OC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以OC//平面PAB，
又ON⊂平面CON，OC⊂平面CON，且ON、OC相交于点O，
所以平面CON//平面PAB；
(2)由(1)得，四边形ABCO为平行四边形，
又∠ABC=90 ∘，AB=BC，所以四边形ABCO为正方形，
所以AC⊥BO，
又PA=PD，O是AD的中点，PO⊂平面PAD，所以PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD与底面ABCD相交于AD，
所以PO⊥底面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，
又PO⊂平面PBO，BO⊂平面PBO，且PO、BO相交于点O，
所以AC⊥平面POB；
(3)当AB=2时，可得BC=2，AD=PA=PD=4，O是AD的中点，则AO=2，PO⊥AD，
在直角三角形POA中，根据勾股定理，可得PO= PA2−AO2= 42−22=2 3，
▵ABC为等腰直角三角形，其面积S▵ABC=12⋅AB⋅BC=12×2×2=2，
所以VC−PAB=VP−ABC=13⋅PO⋅S▵ABC=12⋅AB⋅BC=13×2 3×2=4 33，
设三棱锥C−PAB的高为h1，三棱锥M−PAB的高为h2，
则VM−PABVC−PAB=13h2⋅S▵PAB13h1⋅S▵PAB=h2h1，又VM−PAB=VP−ABM= 33，
所以h2h1=VM−PABVC−PAB= 334 33=14，
又点M在棱PC上，所以PMPC=h2h1=14．
所以，在棱PC上存在点M，使得三棱锥P−ABM的体积为 33，此时，PMPC的值为14．