江苏省锡山高级中学锡西分校2025_2026学年高一上学期12月阶段性检测练习数学试卷（含解析）

这是一份江苏省锡山高级中学锡西分校2025_2026学年高一上学期12月阶段性检测练习数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，每小题只有1个选项符合题意，共计40分）
1. sin390°的值是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据终边相同的角，将化成，再利用的三角函数值与的公式，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，得
故选：A．
2. 若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用扇形的弧长公式可求得该扇形的半径.
【详解】因为扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为.
故选：A.
3. 设，则它们的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据指数函数的单调性即可求解.
【详解】由于，故，
而，故，
故选：D
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】
先根据条件分析出的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到的大致图象.
【详解】因为，且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，所以排除BC，
又因为当且较小时，可取，所以，所以排除D，
故选：A.
本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等.
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据，，三者间关系求解即可.
【详解】因为①，两边平方得，
故，
所以与异号，又，所以，，
所以②，
由①②解得 ，
所以．
故选：C
6. 已知，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用诱导公式进行求解即可.
【详解】
，
故选：B
7. 近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：m/s），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（ ）
A. 40m/sB. 36m/sC. 78m/sD. 95m/s
【正确答案】A
【分析】根据题中条件确定kg，kg，m/s，按公式直接运算即可.
【详解】解：由于，其中kg，kg，m/s，
所以（m/s）.
故选：A.
8. 已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，则关于x的方程的实数根个数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【正确答案】B
【分析】先设，求出方程的解，利用函数的奇偶性作出函数在时的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】解：设，则关于x的方程，等价，
解得或，
当时，，此时不满足方程．
若，则，即，
若，则，即，
作出当时，的图象如图：
当时，对应3个交点．
∵函数是奇函数，
∴当时，由，
可得当时，，此时函数图象对应4个交点，
综上共有7个交点，即方程有7个根．
故选：B．
本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
二、多选题（本题共有3小题，共计18分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知实数，，，其中，以下叙述正确的是（ ）
A. 若，那么.B. 若，那么.
C. 若，那么D. 若，那么
【正确答案】AB
【分析】由不等式的性质判断A选项，作差法判断BC选项，举反例判断D选项.
【详解】A选项，由于，则，若，则由不等式的性质可得，，A正确；
B选项，若，则， 则，所以，B选项正确；
C选项，若，则，则，C错误；
D选项，若，则，则，D错误；
故选：AB.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为2
B. 若正实数a，b满足，则的最小值为
C. 关于x的不等式的解集是，则
D. 函数（且）的定义域为R，则实数m的取值范围是
【正确答案】BC
【分析】A由三角函数的性质，结合特殊情况判断；B应用基本不等式“1”的代换求最值；C由一元二次不等式的解集求参数a、b，即可判断；D由对数函数、二次函数的性质有即可判断.
【详解】A：当时，显然，故错误；
B：由，当且仅当时等号成立，正确；
C：根据不等式的解集可知1,2是方程的根，所以，可得，则 ，正确；
D：由题意，在R上恒成立，则，解得，错误.
故选：BC
11. 已知函数，若，且，则（ ）
A.
B.
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
【正确答案】ACD
【分析】作出函数的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】由可得，解得.
作出函数的图象如下图所示：
由图象可得，
由，可得，即，得，A选项正确；
令，解得，
当时，令，解得，由于，，
所以，函数的图象关于直线对称，
则点、关于直线对称，可得，B选项错误；
，C选项正确；
，下面证明函数在上为减函数，
任取、且，则，
，则，，所以，，
所以，函数在上为减函数，
，则，D选项正确.
故选：ACD.
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，共18分.请将解答填写在答题卡相应的位置.）
12. 已知函数且的图象过定点，且点在指数函数图象上，则___________.
【正确答案】
【分析】先求出点，设指数函数为且，根据条件求出指数函数的解析式，然后利用对数性质运算即可.
【详解】由函数且，
令时，，
所以，
设指数函数为且，
因为点在指数函数图象上，
所以，
所以，
所以，
故答案为.
13. 函数的单调递增区间是___________.
【正确答案】
【分析】先求出的定义域，再结合复合函数的单调性求解.
【详解】由，即，得或，
故的定义域为，
令，则，
因在上单调递增，在上单调递减，
且在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故函数的单调递增区间是.
故
14. 已知，若函数的图象关于直线对称，且对于任意正数都有成立，则________，实数的最小值是________.
【正确答案】 ①. 23； ②. ##.
【分析】由，可得，或，或，
再由的图象关于直线对称，可得，，则可得，是的两个根，从而可求出，则可得，将不等式转化为，然后求出的最大值即可.
【详解】由，可得，或，或，
因为的图象关于直线对称，
所以，，
所以和是方程的两个根，
所以，得，
所以，
所以不等式可化为，
所以，
令，则其对称轴为，
所以当时，取得最大值，其最大值为，
所以，所以实数的最小值是.
故23；.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，.
（1）若集合，求实数的值；
（2）若，“”是“”充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【正确答案】（1）3 （2）
【分析】（1）根据题意，由一元二次不等式的解集，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因，
所以方程的两根分别为和3，
由韦达定理得解得.
所以实数的值为3.
【小问2详解】
由，得，，
由于“”是“”的充分不必要条件，则，
当时，，此时不成立；
当时，，
因为，则有且等号不同时成立，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
16. 已知．
（1）化简函数；
（2）若，求和的值．
【正确答案】（1）；
（2），.
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得.
（2）由（1）的结论，结合正余弦的齐次式法计算得解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由（1）知，即，
所以；
.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求的最大值和最小值.
【正确答案】（1）最小正周期，对称轴为
（2）
（3）最大值为2，最小值为1
【分析】（1）由周期公式可得周期，将看作整体角，令，求解即可得对称轴；
（2）由，解的范围可得单调增区间；
（3）当时，求出整体角的范围，转化为正弦函数在的最值求解即可.
【小问1详解】
的最小正周期.
由，
得函数的对称轴为，.
【小问2详解】
由，
得
所以函数的单调递增区间为
【小问3详解】
由，得
所以，当，即时，
当，即时，
所以，函数的最大值为2，最小值为1.
18. 已知函数对任意实数x，y恒有，当时，，且．
（1）求的值并判断的奇偶性;
（2）判断函数单调性，求在区间上最大值;
（3）若对所有的恒成立，求实数m的取值范围．
【正确答案】（1）；为奇函数
（2）为上的减函数；6
（3）
【分析】（1）令，求得，再令，从而得.
（2）设且，结合条件用单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性求解区间上的最大值.
（3）根据函数对所有的恒成立，说明的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【小问1详解】
令，则，所以，
为奇函数，证明如下：
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
【小问2详解】
在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为6.
【小问3详解】
由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故m的取值范围为.
19. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4常数．阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用.但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米，关于的函数为．
（1）求函数的表达式；
（2）当时，设，求的值域；
（3）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或．
【分析】（1）根据题意，过作，分别表示出，结合矩形的面积公式代入计算，即可得到结果；
（2）将解析式化简，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果；
（3）由解析式可得，即可得到时，取得最小值，然后代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
过作，垂足为，由题意可得：，
所以，
所以矩形的面积
【小问2详解】
当时，
，
令，因为，所以，
则函数，其对称轴为，
当时，，
当或时，，所以
【小问3详解】
因为，
当时，
当且仅当，即
，解得或时，等号成立．
所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或．