江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

这是一份江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【正确答案】C
【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角.
【详解】直线的斜率为，
令该直线倾斜角，则有，
而，于是，
所以直线的倾斜角为.
故选：C
2. 圆的圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3. 已知等差数列的前4项为，，2，，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【正确答案】A
【分析】根据等差中项可得，即可求解公差，进而利用等差数列的性质求解.
【详解】由题意可知，2，成等差，故，解得，
故公差，
故，
故选：A
4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点即所求圆的圆心，两圆半径相同，得到所求圆.
【详解】由，得圆心为，半径，
设圆心关于直线的对称点为，
则
解得
故所求圆的方程为．
故选：C.
5. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【正确答案】C
【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故选：C
6. 若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为.
设圆，
由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以，
解得，即或.
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
7. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
8. 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】为椭圆双曲线共焦点问题，利用椭圆和双曲线的定义，求出离心率之间的关系解题.
【详解】由题意可得，，
两式相减得，
所以，即，
所以，
令，则，，
且函数在上单调递增，则，
所以的取值范围是.
故D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
9. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 当时，取得最大值
C. D. 使得成立的最大自然数是15
【正确答案】ABC
【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；由可判断C；利用下标和性质表示出可判断D.
【详解】解：因为等差数列中，，，
所以，，，A正确；
当时，取得最大值，B正确；
由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确；
，，
故成立的最大自然数，D错误．
故选：ABC．
10. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）．
A. 若曲线为圆，则的值为2；
B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为；
C. “”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件；
D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为.
【正确答案】AC
【分析】根据方程表示圆、双曲线、椭圆的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，当方程表示圆时，，圆的方程为，A正确.
B选项，时，方程为，表示双曲线，渐近线方程为，B错误.
C选项，当方程表示椭圆时，，所以“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件，C正确.
D选项，当双曲线离心率为时，双曲线为等轴双曲线，则，此方程无解，D错误.
故选：AC
11. 平面内到定点的距离比到直线：的距离大1的动点的轨迹为曲线C，则（ ）
A. 曲线C的方程为
B. 点P是该曲线上的动点，其在x轴上的射影为点Q，点A的坐标为，则的最小值为5
C. 过点F的直线交曲线C于A，B两点，若，则
D. 点M为直线上的动点，过M作曲线C的两条切线，切点分别为，，则
【正确答案】ACD
【分析】确定曲线是抛物线，及其焦点、准线得标准方程，判断A；利用转化为求到和点距离和的最小值，判断B；利用直线与抛物线相交，设，设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，再由向量共线的坐标表示求出两点纵坐标，得焦点弦长，判断C；设，再设切点坐标，得切线方程，由两切线都过点，代入后得出直线方程，此方程代入抛物线方程，应用韦达定理，得，然后计算，判断D．
【详解】到定点的距离比到直线：的距离大1的动点的轨迹即为到定点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹，此轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确；
在曲线上，则，所以，当且仅当共线有在线段上时取等号，因此最小值是3，B错；
设方程为，，
，，，
又，所以，即，所以，，
，，，所以，C正确；
设，
由得，所以，切线方程为，
，同理方程为，
又都过点，所以，
所以过两点的直线方程为，
代入抛物线方程得，，
，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知与，若两直线平行，则的值为_______
【正确答案】
【详解】两直线平行则斜率相等，所以，解得
13. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，利用数形结合，可求出符合条件直线的斜率取值范围．
【详解】
双曲线的渐近线方程，
当过焦点的直线与两条渐近线平行时，
直线与双曲线右支分别只有一个交点
因为双曲线正在与渐近线无限接近中，
由图可知，斜率不在的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线），
斜率在的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线）．
所以此直线的斜率的取值范围
故答案为
本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
14. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出，可求得的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可．
【详解】由题意得，
由抛物线的定义得，所以，
由于是锐角三角形，则为锐角，
在轴上取一点，由轴，所以，则为锐角，
设点，，
则，所以，
则，
故．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.
15. 已知数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前n项和.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用 ，即可得的通项公式；
（2）由题可知，利用分组求和法即得.
【小问1详解】
因为，
当时，，
当时，，
因为也满足，
综上，；
【小问2详解】
由题可知，
所以.
16. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，
（1）求圆C的方程；
（2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）或.
【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程；
（2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案.
【小问1详解】
因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（），
因为圆经过，两点，
所以，解得，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
由，可得圆心，半径为，
因为直线与圆相交于两点，且，
所以圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
所以直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
17. 已知双曲线的焦距为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）已知斜率为且不经过坐标原点的直线与交于两点，若的中点在直线上，求的值.
【正确答案】（1）.
（2）.
【分析】根据焦距可得的值，再由已知条件将点代入曲线可列出关于的方程，最后联立关系求解即可得到双曲线的方程；
设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式即可求解.
【小问1详解】
由题意得，即，所以，
因为双曲线经过点，所以代入可得，
解得，，
所以的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，，，的中点为.
联立，消去整理得：，
所以，，
则，，所以.
因为在直线上，所以，又，所以.
本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题.
18. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当轴时，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q．是否存在定点M，使得四边形为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；
（2）存，.
【分析】（1）根据当轴时，，列方程即可求出；
（2）先设出的方程，与抛物线方程联立可得中点的坐标，再设出的方程，与抛物线方程联立可得的坐标，根据中点坐标公式可得的坐标.
【小问1详解】
由抛物线知其焦点为.
当轴时，，代入得.
不妨取，则，此时，解得，
所以抛物线C的方程为.
【小问2详解】
存在，理由如下：
如图，因为直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，
所以直线l的斜率存在且不为0.
设的方程为，令可得，即，
将代入可得，即，
将代入整理可得，
设，由韦达定理知，
所以所以线段的中点坐标为，
若四边形为平行四边形，则也是的中点.
设直线的方程为，代入整理可得.
由韦达定理知，即，解得，
将代入抛物线方程得，即.
由中点坐标公式可得，，即.
所以存在定点，使得四边形为平行四边形.
19. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程.
（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点.
（ⅰ）若为原点，求面积的最大值；
（ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值.
【正确答案】（1）
（2）（ⅰ）1；（ⅱ）的值为1.
【分析】（1）根据题意先判断三点在椭圆上，再代入椭圆方程解方程组即可求解；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，点，，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，求得面积，令，得，最后利用均值不等式即可求解；
（ⅱ）由得，即点在线段的垂直平分线上，得，利用两点间的距离公式计算，代入得，又，代入即可求解.
【小问1详解】
由对称性知，和在椭圆上，
所以所以，椭圆方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）设直线的方程为，点，，
由，消去得：，
则，，则或.
所以，
所以面积.
令，则，，
当且仅当，即时，面积的最大值为1.
（ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以，
所以点在线段的垂直平分线上，所以.
所以，同理得，
，.
所以，
于是，
因为，
所以
所以的值为1.